2024年河南省驻马店市确山县八校联考中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数，根据相反数的定义即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键．
【详解】解：的相反数是，
故选：．
2. 年月底，年第四季度中国好人榜发布，共有名河南人上榜．一个正方体的表面展开图如图所示，个面写有“河南人民真中”，把它折成正方体后，与“南”字所在面相对的面上的字是（ ）
A. 人B. 民C. 真D. 中
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方体的展开图，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可求解，掌握正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形是解题的关键．
【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“河”与“中”是相对面，“人”与“真”是相对面，“南”与“民”是相对面，
故选：．
3. 如图，直线相交于点．过点作，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了邻补角的性质、垂直的定义、对顶角的性质，由，，可得，即可得，又，由角的和差关系即可求出的大小，利用邻补角的性质求出是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
4. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加法、零指数幂，幂的乘方，完全平方公式，根据二次根式的加法、零指数幂，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别运算即可判断求解．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意．
故选：．
5. 如图，在菱形中，E，F分别为，的中点，若菱形的周长为16．则的长度为（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，
首先根据菱形的性质得到，然后利用三角形中位线的性质求解即可．
【详解】∵菱形的周长为16
∴
∵E，F分别为，的中点，
∴是得中位线
∴．
故选：B．
6. 2023年河南欲举办“一片甲骨惊天下”专题展，让甲骨文文化滋养古都安阳．在“甲骨文文化”知识竞赛中，某学习小组的得分（单位：分）依次为80，76，74，73，72，76，那么这组数据的众数是（ ）
A. 74B. 75C. 76D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了众数的概念，根据“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，即可得到答案．
【详解】解：在这组数据中，出现了两次，次数最多，
即众数是，
故选：C
7. 正常成人全身所有红细胞表面积之和相当于体表面积的2000倍，若一名成年人的体表面积是1800cm．则其全身所有红细胞表面积之和用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
详解】解：；
故选B．
8. 如图，在中，顶点，，，将与正六边形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形和圆，正三角形、正六边形以及旋转的性质，根据正三角形、正六边形的性质求出点的坐标，再根据旋转的性质分别得出旋转第次、第次、第次点对应点的坐标，根据所呈现的规律解答即可得出答案，根据题意，找到点坐标的变化规律是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作轴的垂线，垂足为，由对称性可知，点在上，
∵点，点，
∴点的坐标为，
将与正六边形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，
则第次旋转结束时，点的对应点的坐标为，
第次旋转结束时，点的对应点的坐标为，
第次旋转结束时，点的对应点的坐标为，
第次旋转结束时，点的对应点的坐标为，
第次旋转结束时，点的对应点的坐标为，
第次旋转结束时，点的对应点E6的坐标为，
，
∵，
∴第次旋转结束时，点的对应点的坐标为，
故选：．
9. 根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；如果血乳酸浓度降到以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是（ ）
A. 体内血乳酸浓度和时间是变量
B. 当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过
C. 采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳
D. 运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可求解，理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，
、体内血乳酸浓度和时间均是变量，该说法正确，故选项不合题意；
、当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过，该说法正确，故选项不合题意；
、采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳，原说法错误，故选项符合题意；
、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，该说法正确，故选项不合题意；
故选：．
二、填空题（每小题3分，共15分）
10. 如果正比例函数的图象经过点，则它的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，正比例函数解析式为，把代入计算即可求解，掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】解：设正比例函数解析式为，
∵正比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴正比例函数解析式为，
故答案为：．
11. 若不等式组只有一个正整数解，则写出一个满足条件的m值为_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】先确定不等式组的整数解，再求出m的取值范围即可解答．
【详解】解：由得：，
由得：，
∵不等式组只有一个整数解，
∴，
则m可取，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了解不等式组的整数解的问题，掌握解不等式组的整数解的方法是解题的关键．
12. “河南生产了全国四分之一的馒头”，是名副其实的“面食之都”．有4张卡片正面分别写着“面”“食”“之”“都”，卡片除汉字不同其他别无二致，将卡片正面朝下洗匀，然后同时随机抽取2张，刚好抽到“面”“食”二字的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出对应的表格或画出树状图是解题的关键．先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到抽到“面”“食”二字的结果数，最后依据概率计算公式进行求解即可．
【详解】解：设用A、B、C、D分别表示“面”“食”“之”“都”这四个字，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽到“面”“食”二字（即抽到A和B）的结果数有2种，
∴抽到“面”“食”二字的概率为，
故答案为：．
13. 如图，扇形圆心角为，将扇形沿着射线方向平移，当点落到线段中点时平移停止，若的长为，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求不规则图形的面积，由图形可得，利用求出扇形的半径即可求解，通过图形得到是解题的关键．
【详解】解：由图可得，，
设扇形的半径为，
∵，的长为，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，，点O是边的中点，点P是边上一动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上，连接，若为直角三角形，则的长为______．
【答案】或3
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识点，先利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，当时，如图1，过P点作于E点，于F点，计算，再根据旋转的性质得到，则利用等腰三角形的性质得到，接着证明四边形为矩形，得出，然后在中利用含30度角的直角三角形三边的关系可求出的长；当时，如图2，过P点作于E点，在中，先求出，则，接着证明四边形为矩形得到，然后计算即可，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵点O是边的中点，
∴，
当时，如图1，过P点作于E点，于F点，
在中，
∵，
∴，
∵线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴；
当时，如图2，过P点作于E点，
在中，
∵，
∴，
∵线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上，
∴ ，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
综上所述，的长为或3．
故答案为：或3．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
15. （）计算：；
（）化简：．
【答案】（）；（）．
【解析】
【分析】（）根据立方根、绝对值、负整数指数幂分别运算，再合并即可求解；
（）根据二次根式的性质、运算法则进行计算即可解答；
本题考查了实数的运算，分式的化简，掌握实数和分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（）原式，
；
（）原式
，
．
16. 某市教育局以“学习强国”学习平台知识内容为依托，要求市直辖学校利用“豫事办”手机客户端开展“回顾二十大”全民知识竞赛活动，市教育局随机抽取了两所学校各10名教师进行测试（满分10分），并对相关数据进行了如下整理：
一中抽取的10名教师测试成绩：9.1，7.8，8.5，7.5，7.2，8.4，7.9，7.2，6.9，9.5；
二中抽取的10名教师测试成绩：9.2，8.0，7.6，8.4，8.0，7.2，8.5，7.4，7.5，8.2；
分析数据：两组数据的相关统计量如下（规定9.0分及其以上为优秀）：
问题解决：根据以上信息，解答下列问题：
（1）若绘制分数段频数分布表，则一中分数段的频数＿．
（2）填空：＿，＿．
（3）若一中共有教师人，二中共有教师人，估计这两个学校竞赛成绩达到优秀的教师总人数为多少人？
（4）根据以上数据，请你对一、二中教师的竞赛成绩做出分析评价．（写出两条即可）
【答案】（1）；
（2），；
（3）人；
（4）见解析
【解析】
【分析】（）把一中抽取的名教师测试成绩重新排列后，即可求出的值；
（）根据中位数的概念可求出的值，根据分及其以上为优秀即可求出的值；
（）用各学校教师总人数乘以对应的优秀教师所占的比例，然后相加即可；
（）根据一中和二中的平均数、中位数、方差以及优秀率，只要写出符合题意的即可；
本题考查了频数分布表、平均数、中位数、方差，优秀率，用样本估计总体，掌握统计有关基础知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：将一中抽取的10名教师测试成绩重新排列为：6.9，7.2，7.2，7.5，7.8，7.9，8.4，8.5，9.1，9.5．
其中在范围内的数据有6个，故．，
故答案为：；
【小问2详解】
解：将二中抽取的名教师测试成绩按从低到高重新排列为： 7.2，7.4，7.5，7.6，8.0，8.0，8.2，8.4，8.5，9.2，
∴中位数，
由（）可知，一中抽取的名教师中，达到优秀的有名，
∴优秀率，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：由题意得，
答：估计这两个学校竞赛成绩达到优秀的教师总人数约为人；
【小问4详解】
解：从平均数的角度看两个学校竞赛成绩一样，从中位数的角度看二中比一中的成绩好，所以二中教师的竞赛成绩更好；
从平均数的角度看两个学校竞赛成绩一样，从优秀率的角度看一中比二中的成绩好，所以一中教师的竞赛成绩更好．
17. 如图，平面直角坐标系中点，，反比例函数图象与线段交于点，．

（1）求反比例函数表达式．
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）（）中所作的垂直平分线分别与、线段交于点．连接，求证：是的平分线．
【答案】（1）；
（2）作图见解析； （3）证明见解析．
【解析】
【分析】（）先求出点坐标，代入解析式，可求解；
（）以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、点，连接，则为所求图形；
（）先求出点坐标，点坐标，由面积法可求的长，由角平分线的判定即可求证；
本题考查了待定系数法，作线段的垂直平分线，角平分线的判定，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，，
∴点，
∵反比例函数 的图象过点，
∴，
∴反比例函数表达式为；
【小问2详解】
解：如图，以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、点，连接，则为所求；
【小问3详解】
解：如图，过点作于，

∵ ，，
∴点，
∴点的纵坐标为，
∴点，
∴，
∵，
∴，
∵点，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴是的平分线．
18. 某校数学社团想测量郑州地标建筑“大玉米”的高度，请你依据下表计算“大玉米”的高度．（最后计算结果精确到）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设，解直角三角形分别求得，，根据得，求出，再根据即可求解，掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：设，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
答：“大玉米”的高度为．
19. 某小区拟对地下车库进行喷涂规划，每个燃油车位的占地面积比每个新能源车位的占地面积多5平方米，喷涂燃油车位每平方米的费用为20元，喷涂新能源车位每平方米的费用为40元（含充电桩喷涂）．已知用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的．
（1）求每个燃油车位，新能源车位占地面积各为多少平方米？
（2）该小区拟混建燃油车位和新能源车位共200个，且新能源车位的数量不少于燃油车位数量的3倍．规划燃油车位，新能源车位各多少个，才能使喷涂总费用最少？费用最少为多少？
【答案】（1）每个燃油车位占地面积为平方米，每个新能源车位占地面积为平方米；
（2）建燃油车位个，新能源车位个，才能使喷涂总费用最少，费用最少为元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设每个燃油车位占地面积为平方米，则每个新能源车位占地面积为平方米，根据“用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的”列分式方程求解即可；
（2）设建燃油车位个，则建新能源车位个，根据题意列一元一次不等式，求出的取值范围，设喷涂总费用为，根据题意列一次函数，再根据一次函数的性质求出最值即可．
【小问1详解】
解：设每个燃油车位占地面积为平方米，则每个新能源车位占地面积为平方米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：每个燃油车位占地面积为平方米，每个新能源车位占地面积为平方米；
【小问2详解】
解：设建燃油车位个，则建新能源车位个，
由题意得：，
解得：，
设喷涂总费用，
则，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，最小值为，
即建燃油车位个，新能源车位个，才能使喷涂总费用最少，费用最少为元．
20. 如图，森林公园的移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架工作的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水流距喷水头的水平距离，是水流距地面的高度．
（1）求抛物线的解析式．
（2）草坪上距离喷水头水平距离为米处有一棵高度为米的小树，通过计算判断喷射水流能否恰好经过小树顶端；若不能，喷灌架需向后平移多少距离？
【答案】（1）；
（2）不能，喷灌架应向后移动米．
【解析】
【分析】（）根据当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米，设水流形成的抛物线为 ，代入即可求出二次函数的解析式；
（）当时，得到，故喷射水流不能恰好经过小树顶端，设喷灌架向后平移了米，设出平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解；
此题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意求出函数的解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题可知，抛物线的顶点为，
设水流形成的抛物线的表达式为，将代入得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，，
∴喷射水流不能恰好经过小树顶端，
设喷灌架向后平移了米，则平移后的抛物线可表示为 ，
将点代入得，，
解得或(不合，舍去)，
答：喷灌架应向后移动米．
21. 图中的工具叫磨，最初叫硙，汉代才叫做磨，磨齿以洼坑为主流，形状有长方形、圆形、三角形、枣核形等，用人力或畜力可使它达到转动目的．如图2，是从石磨抽象出来的模型，在中，，在上取点D，以为直径作，切直线于点E，连接．
（1）求证：．
（2）若的半径为5，，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）连接，根据切线的性质，圆周角定理，推出，，即可得证；
（2）相似三角形的性质，求出，勾股定理求出，再证明，求出，分割法求三角形的面积即可．
【小问1详解】
证明：连接，则：，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴，负值舍去，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
22. 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的折叠与变换”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为．
根据以上操作：四边形的形状是 ；
操作二：沿剪开，将四边形折叠，使边都落在四边形的对角线上，折痕为，连接，如图2．
根据以上操作：的度数为 ，线段的数量关系是 ．
（2）迁移探究
如图3，在上分别取点，使和图中相等，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）探究下，连接对角线，若图中的的边分别交对角线于点，将纸片沿对角线剪开，如图，若，，直接写出的长．
【答案】（1）正方形；；．
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（）由正方形的性质及折叠的性质可得出答案；
（）将顺时针旋转得到，证明，得出，则可得出结论；
（）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，由勾股定理即可得出答案．
【小问1详解】
解：操作一：∵四边形是矩形，
∴，
将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形；
操作二：由折叠得，，
∴，
设相交于点，如图，
由折叠可知，，，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图，将顺时针旋转得到，
由旋转的性质可得，，，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
即三点在同一直线上，
由（1）中结论可得，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
根据旋转的性质可得，，
由()中的结论可证，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
A
B
C
D
A
B
C
D
平均数
中位数
方差
优秀率
一中
二中
目标
测量“大玉米”的高度
工具
皮尺、测角仪
示意图
测量方案及数据
在处用测角仪测得“大玉米”顶端的仰角为，沿方向前进米到达处，又测得“大玉米”顶端的仰角为．测角仪高度米，测量点与“大玉米”的底部在同一水平线上．
参考数据
，，