2024年山东省济宁市梁山县中考数学二模试题（原卷版+解析版）

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1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的意义分析，即可求解．正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
【详解】解：的绝对值是，
故选：C．
2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项及幂的运算，正确理解合并同类项法则及幂的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则及幂的运算法则即可判断答案．
【详解】选项A，，所以A选项错误，不合题意；
选项B，，所以B选项错误，不合题意；
选项C，，所以C选项错误，不合题意；
选项D，计算正确，符合题意．
故选D．
4. 如图，已知直线，点C，A分别在直线上，以点C为圆心、长为半径画弧，交直线于点B，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和平行线的性质，由题可知，结合等腰三角形的性质得，由，可求得，再结合平行线的性质即可求解．
【详解】解：由题可知，
，
，
，
，
，
故选：B．
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式性质，不等号两边同时加上或减去一个数（式子），不等号方向不发生改变，逐一判断即可．
【详解】解：，
，
∴
选项A、B、C都不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
6. 如图，在A，B两处树立两根相同高度的路灯．某人从A处出发，沿直线走到B处在整个行走过程中，他在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和（ ）

A. 一直不变B. 逐渐变长C. 逐渐变短D. 先变短后变长
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，连接，过点作，证明，结合平行线分线段成比例，推出，进而得到是定值，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，过点作，

由题意，可得：四边形，四边形均为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵身高，两个路灯间的距离，路灯的高度均为定值，
∴的长为定值，
∴他在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和一直不变．
故选：A.
7. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方差公式进行计算，然后逐一判断即可．
【详解】解：原式．
故选：．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
8. 掷一枚质地均匀的硬币2024次，下列说法正确的是（ ）
A. 不可能1000次正面朝上B. 不可能2024次正面朝上
C. 必有1000次正面朝上D. 可能2024次正面朝上
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了概率公式：某事件的概率=这个事件所占有的情况数与总情况数之比．随机事件的概率在0与1之间．利用随机事件的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A．掷一枚质地均匀的硬币2024次，可能1000次正面朝上，只是概率很小，所以A选项不符合题意；
B．掷一枚质地均匀的硬币2024次，可能2024次正面朝上，所以B选项不符合题意；
C．掷一枚质地均匀的硬币2024次，不一定有1000次正面朝上，所以C选项不符合题意；
D．掷一枚质地均匀硬币2024次，可能2024次正面朝上，所以D选项符合题意．
故选：D．
9. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出，根据垂径定理得到，进而得出答案．
【详解】解：是的切线，
，
，
，
是的直径，
，
，
点是的中点，
，
，
故选：B．
10. 小星利用平面直角坐标系绘制的风车图案如图所示，他先将固定在坐标系中，其中，接着他将绕原点逆时针转动至，称为第一次转动；然后将绕原点逆时针转动至，称为第二次转动……按照这种转动方式，在转动2024次后，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查点的坐标变化规律，能通过计算发现点对应点的坐标按，，，循环出现是解题的关键．根据三角形的旋转方式，依次求出点的对应点的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：分别过点和点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，
由旋转可知，
，，
，
又，
．
在和中，
，
，
，．
又，
，，
则点坐标为．
同理可得，，，，，，
由此可见，点对应点的坐标按，，，循环出现．
又，
转动2024次后，点的对应点的坐标为．
故选：A．
二、认真填一填，试试自己的身手!本大题共5小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果，请把答案填写在答案卷题中横线上.
11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
【答案】x≥8
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
12. 正十二边形的外角和为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和为，理解多边形的外角和定理是解题的关键．
【详解】正十二边形的外角和是：，
故答案是：．
13. 如图是某个几何体的三视图，则该几何体的名称是______．
【答案】六棱柱
【解析】
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：根据主视图和左视图为长方形判断出柱体，根据俯视图是六边形可判断出该几何体是六棱柱．
故答案为：六棱柱．
【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
14. 若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是_____________°
【答案】m＞9
【解析】
【分析】
【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴∆＜0，即，
解得.
故答案为m＞9．
15. 把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即，）．则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出，进而求出，再求出，进而求出，最后用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
连接，则，
在中，，
∴，，
根据勾股定理得，，
∴
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了切线的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键．
三、专心解一解（本大题共7小题，满分55分）请认真读题，冷静思考.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 计算：
【答案】4
【解析】
【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．
17. 为培养学生良好学习习惯，某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动，对该校部分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样共调查了多少学生？
（2）补全统计表中所缺的数据．
（3）该校有1500名学生，估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？
（4）某学习小组4名学生的错题集中，有2本“非常好”（记为），1本“较好”（记为B），1本“一般”（记为C），这些错题集封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率．
【答案】（1）200；
（2）见解析； （3）840；
（4）两次抽到的错题集都是“非常好”的概率是
【解析】
【分析】（1）根据较好的部分对应的圆心角即可求得对应的百分比，即可求得总数，然后根据频数、频率和总量的关系即可求解．
（2）根据频数、频率和总量的关系即可求解：
（3）利用总人数乘以对应的频率即可．
（4）应用树形图或列表的方法，利用概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：∵较好的所占的比例是：，
∴本次抽样共调查的人数是：（人）．
【小问2详解】
解：非常好的频数是：（人），
一般的频数是：（人），
较好的频率是：，
一般的频率是：，
不好的频率是：．
填表如下：
【小问3详解】解：该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约有（人）．
【小问4详解】
解：画树状图如下：

∵共有12种等可能结果，两次抽到的错题集都是“非常好”的情况有2种，
∴两次抽到的错题集都是“非常好”的概率是：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18. 4月23日是“世界读书日”，随着全民阅读活动推行，人们读书的热情日益高涨，图书的需求量不断增加，某书店为适应市场的需求决定购进A，B两种新书进行销售，已知每本A种图书的进价比B种图书贵10元，用1600元购进A种图书的数量和用1200元购进B种图书的数量相同．
（1）求A，B两种图书每本的进价．
（2）已知A种图书的售价为每本60元，B种图书的售价为每本45元，该书店决定购进这两种图书共100本，且用于购买这100本图书的资金不超过3600元，若A，B两种图书全部卖完，那么该书店如何进货才能获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）A种图书每本的进价为40元，B种图书每本的进价为30元
（2）购进A种图书60本，B种图书40本时书店获利最大，最大利润为1800元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用．解题的关键是：
（1）设A种图书每本的进价为x元，则B种图书每本的进价为元，根据“1600元购进A种图书的数量和用1200元购进B种图书的数量相同”正确列出分式方程；
（2）设该书店购进A种图书m本，找出数量关系，正确列出一元一次不等式求出自变量取值范围，设获利为w元，则，根据函数的增减性解题即可．
【小问1详解】
设A种图书每本的进价为x元，则B种图书每本的进价为元．
根据题意，得，解得．
经检验，是原分式方程的解．
．
答：A种图书每本的进价为40元，B种图书每本的进价为30元．
【小问2详解】
设该书店购进A种图书m本，则购进B种图书本．
根据题意，得，解得．
设获利为w元．根据题意，得．
，随m的增大而增大．
当时，w有最大值，最大值为．
答：购进A种图书60本，B种图书40本时书店获利最大，最大利润为1800元．
19. 已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB=AF；
（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析
【解析】
【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；
（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF=CD，
∴AB=AF．
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF=CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠FAG=60°，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴四边形ACDF是矩形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
20. 已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【详解】解：∵点P在∠ABC的平分线上，
∴点P到∠ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），
∵点P在线段BD的垂直平分线上，
∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
如图所示：
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式
解：
可化为，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
（1）一元二次不等式的解集为 ；
（2）分式不等式的解集为 ；
（3）解一元二次不等式．
【答案】（1）或
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查了有理数乘除法运算法则，解一元一次不等式组，熟练掌握相关法则和步骤是解题关键．
（1）仿照例题，将化为，由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得到两个一元一次不等式组，分别求解即可得到答案；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，将分式方程化为两个一元一次不等式组，分别求解即可得到答案；
（3）可化为，由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得到两个一元一次不等式组，分别求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：
可化为，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或，
故答案为：或；
【小问2详解】
解：分式不等式，
由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
分式不等式的解集为或，
故答案为：或
【小问3详解】
解：，
可化为，
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
①，②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，不等式无解，
的解集为，
即一元二次不等式的解集为．
22. （1）【建立模型】在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在中，，，直线l经过点C，，，垂足分别为点D和点E，求证：，请你写出证明过程；
（2）【类比迁移】勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题：如图2，在平面直角坐标系中，直线的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式；
（3）【拓展延伸】创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：如图3，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点P，连接，当时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一次函数与反比例函数的综合问题，一次函数与二次函数的综合，
（1）直接根据角角边证明三角形全等即可；
（2）先求出A，C坐标，再得出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（3）过点C作，且，过点B作轴，垂足为点E，连接交抛物线于点P，求出直线的解析式，再与二次函数解析式联立，解方程即可；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，
∴
∵，，
∴
（2）∵，
∴当时，，当时，，，
∴，，
由（1）可知：，
∴，，
∴，点B的坐标为
把代入得：，解得，
∴反比例函数的解析式为：
（3）过点C作，且，过点B作轴，垂足为点E，连接交抛物线于点P，
∴，
由（2）可知，，
∴设直线的解析式为，
∴，∴，
∴
∴，
解得：，（不合题意，舍去）
当时，，
∴
整理情况
频数
频率
非常好
0.21
较好
70
一般
不好
36
整理情况
频数
频率
非常好
42
较好
70
一般
52
不好
36