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2024年四川省乐山市部分学校中考数学模拟试题（原卷版+解析版）
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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若算术平方根是5，则的算术平方根是（ ）
A. B. C. D. 2
2. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，，点C在的延长线上，且，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
3. 打陀螺是北方人们比较喜爱的一种游戏，图中是一款陀螺的示意图，其主视图为（ ）
A. B. C. D.
4. 2024年春节期间国内旅游出行合计约人次，比2023年大幅增加．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为（ ）
A. B. C. D.
6. 小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ）
A. - =1B. - =1C. - =1D. - =1
7. 若，则的值为（ ）
A. 6B. 27C. 3D. 9
8. 在市中学生田径运动会上，参加男子跳高项目的名运动员的成绩如表所示：
则这些运动员成绩的中位数，众数分别为（ ）
A. 1.70，1.75B. 1.65，1.75C. 1.65，1.70D. 1.70，1.70
9. 如图，是的外接圆，是直径，平分，，则的半径为（ ）
A. 2B. 1C. D.
10. 如图，点是平行四边形边上一动点，的路径移动，设点经过的路径长为x，的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是（ ）
A B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 若一个角的余角的倍比这个角的补角多，则这个角的度数为_________．
12. 命题“等角的余角相等”的逆命题是________命题（填“真”或“假”）．
13. 对于一次函数的图象，无论k为何值，都过一个定点，则这个点的坐标是___________．
14. 某校为了了解七年级学生参加课外兴趣小组的情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了频数分布直方图，已知图中第一组至第四组小长方形的高之比为2：3：4：1，那么第三组的频数是______．
15. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算______．
16. 如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是______．
三、解答题：本题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：；
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 课堂上，老师给出了如下一道探究题：“如图，在边长为1的正方形组成的6×8的方格中，△ABC和△A1B1C1的顶点都在格点上，且△ABC≌△A1B1C1．请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得△ABC通过一次或两次变换后与△A1B1C1完全重合．”
（1）小明的方案是：“先将△ABC向右平移两个单位得到△A2B2C2，再通过旋转得到△A1B1C1”．请根据小明的方案画出△A2B2C2，并描述旋转过程；
（2）小红通过研究发现，△ABC只要通过一次旋转就能得到△A1B1C1．请在图中标出小红方案中的旋转中心P，并简要说明你是如何确定的．
20. 如图，矩形沿着直线对折，点D恰好落与边上的点H重合，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的面积．
21. 临近期末考试，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：.享受美食，.交流谈心，.体育锻炼，.欣赏艺术.
（1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是 ．
（2）同时采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率.
22. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程一根为负数，求m的取值范围．
23. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接平分，过点C作交的延长线于点E．
（1）求证：为的切线．
（2）求证：．
（3）若，求线段的长．
24. 在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时．
（1）货船从A港口航行到B港口需要多少时间；
（2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线交反比例函数的图象于点C．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点D在直线上，且的面积为3，求点D的坐标．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，与于点（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值；
（3）若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围．
成绩
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
3
2
3
4
1
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若算术平方根是5，则的算术平方根是（ ）
A. B. C. D. 2
2. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，，点C在的延长线上，且，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
3. 打陀螺是北方人们比较喜爱的一种游戏，图中是一款陀螺的示意图，其主视图为（ ）
A. B. C. D.
4. 2024年春节期间国内旅游出行合计约人次，比2023年大幅增加．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为（ ）
A. B. C. D.
6. 小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ）
A. - =1B. - =1C. - =1D. - =1
7. 若，则的值为（ ）
A. 6B. 27C. 3D. 9
8. 在市中学生田径运动会上，参加男子跳高项目的名运动员的成绩如表所示：
则这些运动员成绩的中位数，众数分别为（ ）
A. 1.70，1.75B. 1.65，1.75C. 1.65，1.70D. 1.70，1.70
9. 如图，是的外接圆，是直径，平分，，则的半径为（ ）
A. 2B. 1C. D.
10. 如图，点是平行四边形边上一动点，的路径移动，设点经过的路径长为x，的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是（ ）
A B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 若一个角的余角的倍比这个角的补角多，则这个角的度数为_________．
12. 命题“等角的余角相等”的逆命题是________命题（填“真”或“假”）．
13. 对于一次函数的图象，无论k为何值，都过一个定点，则这个点的坐标是___________．
14. 某校为了了解七年级学生参加课外兴趣小组的情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了频数分布直方图，已知图中第一组至第四组小长方形的高之比为2：3：4：1，那么第三组的频数是______．
15. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算______．
16. 如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是______．
三、解答题：本题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：；
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 课堂上，老师给出了如下一道探究题：“如图，在边长为1的正方形组成的6×8的方格中，△ABC和△A1B1C1的顶点都在格点上，且△ABC≌△A1B1C1．请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得△ABC通过一次或两次变换后与△A1B1C1完全重合．”
（1）小明的方案是：“先将△ABC向右平移两个单位得到△A2B2C2，再通过旋转得到△A1B1C1”．请根据小明的方案画出△A2B2C2，并描述旋转过程；
（2）小红通过研究发现，△ABC只要通过一次旋转就能得到△A1B1C1．请在图中标出小红方案中的旋转中心P，并简要说明你是如何确定的．
20. 如图，矩形沿着直线对折，点D恰好落与边上的点H重合，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的面积．
21. 临近期末考试，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：.享受美食，.交流谈心，.体育锻炼，.欣赏艺术.
（1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是 ．
（2）同时采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率.
22. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程一根为负数，求m的取值范围．
23. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接平分，过点C作交的延长线于点E．
（1）求证：为的切线．
（2）求证：．
（3）若，求线段的长．
24. 在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时．
（1）货船从A港口航行到B港口需要多少时间；
（2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线交反比例函数的图象于点C．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点D在直线上，且的面积为3，求点D的坐标．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，与于点（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值；
（3）若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围．
成绩
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
3
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