吉林省延吉市延边第二中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的运算求解即可.
【详解】.
故选：D
2. 下列各式中不能化简为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.
【详解】对于A：，故A不合题意；
对于B：，故B满足题意；
对于C：，故C不合题意；
对于D：，故D不合题意.
故选：B
3. 已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由零向量与任意向量共线判断A，根据判断B，设，建立方程，根据方程解的情况判断C，根据判断D.
【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；
对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
故选：C.
4. 在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A. 北偏西，
B. 北偏西，
C. 北偏东，
D. 北偏东，
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，作出图形，借助于直角三角形求出的模和即得.
【详解】
如图，船从点O出发，沿方向行驶才能使船垂直到达对岸，
依题意，，，
则，则，
因为为锐角，故，
故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达对岸.
故选:A.
5. 在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理解三角形.
【详解】由余弦定理，
将，，，代入得，
则有，且，解得.
故选：B.
6. 在中，在边上，且平分，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用角平分线性质定理，再利用余弦定理求出的长，然后再利用角平分线分得的两三角形面积和等于整个三角形面积，就可求得.
【详解】
由角平分线性质定理可得：，所以不妨设，则，
由三角形余弦定理得：，
代入已知条件得：，
即，解得，即，
再由三角形等面积关系得：，
即，
利用已知条件可得：
即，代入已知数据得：
，解得：.
故选：A.
7. 在中，若，，，则＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的平行四边形法则可得，由，，可得，从而得到答案.
【详解】由向量的平行四边形法则，知当时，，又，，
故，，则，所以．
故选：B
8. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可.
【详解】∵是的重心，，
又，结合题意知，
因为三点共线,
当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.全选对5分，选不全2分）
9. 已知平面向量， 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据平面向量共线的坐标表示判断A，根据数量积的坐标表示判断B、C，根据线性运算的坐标表示判断D.
【详解】因为，
所以，即与不共线，故A错误；
，所以，故B正确；
因为，，
所以，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD
10. 若复数满足（是虚数单位），则下列说法错误的是（ ）
A. 的虚部为B. 的模为
C. 的共轭复数为D. 在复平面内对应点在第一象限
【答案】AC
【解析】
【分析】先求出复数，利用复数虚部的定义判断A，利用复数模的性质判断B，利用共轭复数的定义判断C，利用复数在复平面内对应点的特征判断D即可.
【详解】若，则，
对于A，的虚部应为，故A错误，
对于B，的模为，故B正确，
对于C，的共轭复数应为，故C错误，
对于D，在复平面内对应点为，显然在第一象限，故D正确.
故选：AC
11. 下列命题错误的是（ ）
A. 若向量与满足，且，则在方向上的投影向量的模为
B. 在中，若点满足，则点是的重心
C. 已知向量．若向量与向量共线，则实数的值为
D. 平面向量，.若与夹角为锐角，则实数的取值范围.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据数量积的运算律求出，再根据投影向量的模判断A；根据重心的性质判断B；根据平面向量共线的坐标表示判断C；由且与不同向，即可判断D.
【详解】对于A：因为，且，
所以，即，解得，
所以在方向上的投影向量的模为，故A错误；
对于B：取中点，则，又，
所以，所以在中线上，且，所以为重心，故B正确；
对于C：因为，
所以，，
因为向量与向量共线，
所以，解得，故C错误；
对于D：因为，，则，
又与夹角为锐角，所以且与不同向，
若，则，解得；
若与共线，则，解得；
综上可得实数的取值范围，故D正确.
故选：AC
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为
B. 在中，为所在平面内一点，且，则
C. 已知在中，角的对边分别是，．若的面积，则的值为或．
D. 在中，分别是的内角所对的边，且.若，，则边长为
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，运用平面向量的坐标运算计算A，举反例判断B，利用给定条件，联立构造齐次方程计算C，利用正弦定理列出方程，求解边长判断D即可.
【详解】
对于A，如图，以为原点建立平面直角坐标系，连接，作，
由题意得，，由勾股定理得，，故，
可得的直线方程为，设，
易得，故，
而为边上的中线，故是的中点，
由中点坐标公式得，
易得，故，
则，故A正确，
对于B，假定是等边，且它的内角，，的对边
分别为，，，若，，
如图，以为原点建立平面直角坐标系，由题意得，，
故，易得，，故，，
而，故，此时，
故，显然，可得的方程为，
由点到直线的距离公式得到的距离为，
故，则，
故在该特殊情况下不成立，则对一般情况也不成立，故B错误，
对于C，在中，若，
可得，
故，
可得，显然，故，即，
故，而，化简得，
由余弦定理得，联立方程组并消去得，
解得或，代入得或，故C正确，
对于D，若，由正弦定理得，
整理得，故，由余弦定理得，
且在中，故，可得，
由正弦定理得，解得，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形和平面向量，解题关键是建立平面直角坐标系，然后表示出各个点的坐标，再利用平面向量的坐标运算得到所要求定值即可．
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸上）
13. 已知复数满足，则复数在复平面内对应点的集合所构成的图形面积为______
【答案】
【解析】
【分析】设，根据复数的模得到，即可求出所构成的图形的面积.
【详解】设，若，则，
则点在以坐标原点为圆心，大圆半径为，小圆半径为的圆环区域内（包括边界），
则复数在复平面内对应点的集合所构成的图形的面积为.
故答案为：
14. 若满足条件，，的有两个，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理可得，再确定的范围即可作答.
【详解】在中，由正弦定理得：，
因有两解，即给定x值，由求出的角B有两个，它们互补，
当时，，角B唯一确定，只有一解，
则，即有，而当时，是直角三角形，只有一解，
有两解，则必有，即，有，
所以取值范围是.
故答案为：
15. 如图平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义为：若（为与轴、轴同方向单位向量），则点的斜坐标为.若在该斜坐标系中，， ，则为______
【答案】
【解析】
【分析】利用向量平行求得，再利用向量数量积的运算律计算即得.
【详解】依题意，，而，
则存在使得，即，于是，解得，
因此，即，显然，
所以.
故答案为：
16. 在中，内角的对边分别为，且．若，是边的中点，且，则的内切圆的半径为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用给定条件结合向量中线定理得到，再设出内切圆的半径，等面积法建立方程求解即可.
【详解】因为，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
又，所以，
由余弦定理得，即．
又D是边的中点，且，所以，
所以，即，
又，所以，，所以．
设的内切圆的半径为r，所以，
所以．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形，解题关键是利用给定条件结合向量中线定理得到三角形的各个边长，然后利用等面积法求解内切圆半径即可．
四、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22题各12分，请写出必要的解答过程）
17. 已知是虚数单位，复数，m为实数．
（1）当实数m满足什么条件时，为纯虚数
（2）若复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数
【答案】（1）-1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数定义进行求解即可；（2）利用复数的几何意义，根据对应的点位于实轴负半轴进行求解即可.
【小问1详解】
根据纯虚数的定义，，解得；
【小问2详解】
利用复数的几何意义，复数坐标为，根据对应的点位于实轴负半轴，，解得，则
18. 已知向量的夹角为，且，若求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）9 （2）.
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积的定义表达式进行计算即得；
（2）根据向量的模的计算公式计算即得.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
因，
则
，
故.
19. 已知的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值
【答案】（1）
（2）面积的最大值为．
【解析】
【分析】（1）首先利用正弦定理，边角互化，转化为边的关系，利用余弦定理求角的值；（2）利用余弦定理结合基本不等式求面积的最大值.
【小问1详解】
因为，
所以
整理得
由余弦定理知，
所以．
因为，所以．
【小问2详解】
由（1）可知，．
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，
即面积的最大值为．
20. 已知的内角的对边分别为，面积为.
（1）求；
（2）若的周长为20，面积为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量数量积的定义、三角形的面积公式可求出，结合角的取值范围可求得角的值;
（2）结合余弦定理及面积与周长公式整理计算即可.
【小问1详解】
由题意可得，
所以，
因为，所以.
【小问2详解】
由余弦定理可得，，
即.
因为，所以.
因为，
所以
整理得，所以.
21. 海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为.

（1）救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？
（2）求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？
【答案】（1）120海里
（2），能在3小时内赶到救援，理由见解析
【解析】
【分析】（1）在中，求出，，利用正弦定理求解即可.
（2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比较时间即可判断.
【小问1详解】
在中，因为，，
所以，，
又，所以由正弦定理可得，即，解得，
所以A船距离雷达站C距离为120海里；
【小问2详解】
在中，根据正弦定理可得，
即，解得，
在中，由余弦定理可得，
解得，
因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而，
所以能在3小时内赶到救援.
22. 在圆内接四边形中，已知，，平分．

（1）若，求的长度；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由同弧的圆周角相等，结合已知条件有，在和中，由余弦定理列方程组求的长度；
（2）设，在和中，由余弦定理得，，在和中，由余弦定理得，，代入求值即可.
小问1详解】
平分，有，
又，，所以，有，
由，，
在和中，由余弦定理得，
，
有，解得，，
则有
【小问2详解】
由（1）知，有，设，
在和中，由余弦定理得，
，
有，解得，
又，，，
，在和中，由余弦定理得，
，即，
得，即，
.