2024届四川省泸州市高三教学情况调研数学试题

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）．
A 5，7B. 6，7C. 8，5D. 8，7
2. 已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（ ）
A. B. C. D.
5. “”是“函数的图象关于对称”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°
7. 已知某六名同学在数学竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（ ）
A. 72种B. 96种C. 144种D. 288种
8. 已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，则
B．设随机变量服从正态分布，若，则
C．已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7
D．若事件满足，则事件相互独立
11．正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，的中点，则（ ）
A．直线与直线AF垂直B．直线与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点与点D到平面AEF的距离相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是 .
13．已知圆与圆相切，则 ．
14.已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，若，则双曲线离心率为__________的取值范围为_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数.
(1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;
(2)讨论的单调性与极值.
16．（15分）如图，在三棱柱中，侧面底面，，点为线段的中点.
(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值.
17. 某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
（1）完成列联表.根据小概率值的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？
（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为.用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中合格的人数的分布列及期望.（对应值见下表.，）
18.（17分）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
19．已知O为坐标原点，椭圆Ω:(a＞b＞0)左､右焦点分别为F1，F2，短轴长为2eq \r(3)，过F1的直线m与椭圆Ω交于C，D两点，△CDF2的周长为8．
(1)求Ω的方程；
(2)若直线l与Ω交于A，B两点，且eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝0，求|AB|的最小值；
(3)已知点P是椭圆Ω上的动点，是否存在定圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时(其中M，N分别是两切线与C的另一交点)，总满足|PM|＝|PN|?若存在，求出圆O的半径r：若不存在，请说明理由．
不达标
达标
合计
男
300
女
100
300
合计
450
600
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635