数学：江苏省淮安市淮安经济技术开发区2024年中考模拟试题（解析版）

这是一份数学：江苏省淮安市淮安经济技术开发区2024年中考模拟试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分，共24分，请把正确答案填在答题卡上）
1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
2. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
故选C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．与不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．与不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；；
D．，故此选项符合题意．
故选∶ D．
4. 同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10，这组数据的众数为（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】A
【解析】在9，7，10，8，10，9，10这7个数据中，10出现的次数最多，
∴这组数据的众数是10．
故选：A．
5. 若与的相似比为，若，则的长是（ ）
A. B. 2C. 4D.
【答案】C
【解析】∵，相似比为，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
6. 平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵两个点关于原点对称，这两个点的坐标符号相反，
∴点关于原点对称的点的坐标是，
故选：C．
7. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接BC，
由题意可得：OB=OC=BC，
则△OBC等边三角形，
故sin∠AOC=sin60°=．
故选D．
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8．
∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，
∴CD是斜边AB的中线，
∴BD=AD=4，
∴BF=DF=2，
∴AF=AD+DF=4+2=6．故选B．
二、填空题（每题3分，共24分，请把正确答案填在答题卡上）
9. 使有意义的x的取值范围是______．
【答案】
【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须,．
故答案为：．
10. 甲、乙、丙、丁四名学生最近次数学考试平均分都是分，方差，，，，则这四名学生的数学成绩最稳定的是________．
【答案】甲
【解析】因为甲、乙、丙、丁四名学生最近4次数学考试平均分都是128分，
方差，，，，
所以甲的方差最小，
所以这四名学生的数学成绩最稳定的是甲，
故答案为：甲．
11. 方程的解为________．
【答案】
【解析】
两边同时乘以，得：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为1：，
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
12. 若二次函数的图象经过点，则________．
【答案】2025
【解析】依题意得：，
即：，
，
故答案为：2025．
13. 已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是___．
【答案】5
【解析】这组数据中5出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数是5，
故答案为：5．
14. 比较大小：________（填“”，“”或“”）．
【答案】
【解析】∵，，，∴，故答案为：．
15. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形A′B′C′D′,形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为______．

【答案】
【解析】根据题意得：，，，
∴，
∴，即点D，之间的距离为．
故答案为：．
16. 如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为____.
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线，
∵,
∴,
∴，
∴，
∴，
∴则PQ的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题102分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
17. （1）计算：；
（2）化简：．
解：（1）
，
（2）
．
18. 解不等式组：，并写出它的正整数解．
解：
解不等式①：
解不等式②：
故不等式组的解集为：，
正整数解为：1，2，3．
19. 如图，矩形，点E在边上，点F在的延长线上，且．求证：．

证明：四边形是矩形，
，，
，即，
在和中，，．
20. 某同学家准备购买一辆新能源汽车．在预算范围内，收集了A，B两款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：

（1）数据分析：
①B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为 ；
②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能，售后服务四项评分数据按1∶3∶3∶3的比例统计，求A款新能源汽车四项评分数据的平均数．
（2）合理建议：
请你按照第（1）问中四项评分数据的比例，并结合销售量，在A、B两款汽车中给出你的推荐，并说明理由．
解：（1）①将B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量排序为：
1563，2248，3279，4667，4922，8153，8840，
处于中间位置的是4667，故中位数为4667．
故答案为：4667
②
∴A款新能源汽车四项评分数据的平均数为67.5分．
（2）∵B款新能源汽车四项评分数据的平均分为（分），
∴B车平均分高于A车的平均分，
又A车销量一直下滑，
∴我推荐B车．
21. 如图，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF.求证：△ABE≌△DCF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，，
∴∠B=∠DCF．
在与中，
∴．
22. 某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为31°，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，，然后在点测得建筑物顶点的仰角为53°，已知斜坡的坡度.(参考数据：，)
（1）求点到地面的高度；
（2）求建筑物的高度．
解：（1）如图所示，作BE⊥AD于E点，
∵斜坡的坡度，
∴，
根据正切函数的定义：，
设，，
在Rt△ABE中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴点到地面的高度为；
（2）作BF⊥CD于F点，则四边形BEDF为矩形，
由题意，∠CBF=53°，
在Rt△CBF中，，
∴设，则，
∴，，
在Rt△ACD中，由题意，∠CAD=31°，
∴，即：，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，且符合实际意义，
∴，
∴建筑物的高度为．
23. 如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，为边的中点，连．

（1）请判断是否为的切线，并证明你的结论．
（2）当时，时，求的半径r．
解：（1）是的切线，
连接，，，如图所示：

是圆的直径，
，
在中，为边的中点，
，
在和中，，
，
，
是的切线；
（2）连接，如图所示：

∵是的直径，
，
，
为的中点，
，
，，
，
，
，
设，，
，
或（负值舍去），
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
的半径．
24. 某商场销售一种小商品，进货价为40元/件.当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨元/件（为偶数），每天的销售量为件．
（1）当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为______件．
（2）请写出与的函数关系式．
（3）设每天的销售利润为元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少?
解：（1）∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件，
∴当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为（件），
故答案为：200
（2）设销售价格上涨元/件，
销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件.
其销售量；
（3）依题意可得每天的销售利润为，
故当时，最大值，
但为偶数，当或时，有最大利润，
为了让利于顾客，
，符合题意，此时．
此时销售单价为（元），
∴每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．
25. 如图，是的直径，，延长至点C，使．动点P从点A 出发，沿圆周按顺时针方向以每秒个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，连接，作点C关于直线的对称点D，连接、、、．

（1）当时．
①求的度数；
②判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求t的值．
解：（1）①∵是的直径，，
∴，
设，
当时，
∴，即：；
②与相切，理由如下：
连接，

由①可知，，，
∴为等边三角形，则，，
又∵，
∴，则，
∴，则，
∴与相切；
（2）由（1）可知，，，
由轴对称可知，，，
在中，，，
∴，
∴，则，
则，解得：．
26. 如图，将一张三角形纸片（其中，，）的边与直线l重合放置．现将三角形纸片的直角顶点沿方向，从点C 向终点B移动，移动过程中始终保持点A的对应的落在边上，记点C、点B的对应点分别为、，连接．
（1）当时， ， ．
（2）设点、到直线BC的距离分别为a、b，求与满足的数量关系；
（3）运动过程中的度数是否为一个定值？ 如果是请求出这个定值，如果不是请说明理由；
（4）当点从点C运动到点B时，的中点P运动的路径长为 ．
解：（1）过点作于点E，如图所示：
∵，，，
∴，，
根据题意可得：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）过点作于点E，过点作于点D，如图所示：
则，
根据题意可得：，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
（3）根据解析（2）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（4）连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴点从点C运动到点B时，的中点P在以点B为圆心1为半径的圆上，
当点在点时，与重合，此时点P在的中点上，当点在点B时，的位置，如图所示：
∵，
∴的中点P运动的路径为的长，
∵点P为的中点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴的中点P运动的路径长为．
27. 抛物线的顶点为P，作轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧），交抛物线的对称轴于点H，且，则称为该抛物线的顶端三角形．
（1）求抛物线的顶端三角形的面积；
（2）下列说法正确的有 ；（ 填序号 ）
①抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形：
②当时，若点P的纵坐标为k，则点H的纵坐标为；
③当时，若点P的纵坐标为k，则点H的纵坐标为．
（3）抛物线的顶端三角形面积为 ；
（4）已知抛物线的顶端三角形面积为2，且点在的内部（含边界），求a的值及b、c的取值范围．
解：（1）抛物线的顶点P的坐标为，
∵，
∴，
∴直线此时与x轴重合，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3；
（2）∵轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧），
∴点M和点N关于对称轴对称，
∴，
∴抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形，故①正确；
当时，由于轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧），
∴一点在定点P的下方，
∵，点P的纵坐标为k，
∴点H的纵坐标为，故②错误；
当时，由于轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧），
∴一点在定点P的上方，
∵，点P的纵坐标为k，
∴点H的纵坐标为，故③正确；
故答案为：①③；
（3）∵点P是抛物线的顶点，
∴点P的坐标为，
当时，由（2）的结论可得，点H的坐标为，
∴点M和点N的纵坐标为，
设，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，由（2）的结论可得，点H的坐标为，
∴点M和点N的纵坐标为，
设，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当时，抛物线的顶端三角形面积为，当时，抛物线的顶端三角形面积为；
故答案为：当时，抛物线的顶端三角形面积为，当时，抛物线的顶端三角形面积为；
（4）①当时，
∵抛物线的顶端三角形面积为2，
∴，
∴，
∵
∴点P的坐标为，，
∴，，
∵点在的内部（含边界），
当在上时，则顶点在轴上，即，
当点与点重合时，，解得：，
当点与点重合时， ，解得：，
∴当在上时，M在N的左侧，则
∵，∴，∴
∴当时，，
②当时，则
∵
∴点P的坐标为，，
∴，，
当上时，∵，则顶点在轴上，即，
当点与点重合时，，解得：，
当点与点重合时， ，解得：，
∴当在上时，
∴
∵
∴
∴
即
∴当时，，
综上所述：当时，，；当时，，．