数学：江苏省南京市联合体2024年中考一模试题（解析版）

这是一份数学：江苏省南京市联合体2024年中考一模试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 2024年1月17日，国家统计局公布：2023年末全国人口140 967万人，比上年末减少208万人．140 967用科学记数法可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】140 967=1.40967×105，
故选：C．
2. 整数a满足，则a的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以，只有选项C符合题意，
故选：C
3. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】得，则，
∴，
∴，故选：B．
4. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
故选D．
5. 若k为任意整数，则的值总能（ ）
A. 被2整除B. 被3整除
C. 被5整除D. 被7整除
【答案】B
【解析】
，
能被3整除，
∴的值总能被3整除，
故选：B．
6. 如图，在中，，D为的中点．若点E在边上，且，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 1或D. 1或2
【答案】D
【解析】在中，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
如图，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
如图，当时，取的中点H，连接，
∵点D是中点，点H是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7. 计算： _____，_____________．
【答案】①2 ②2
【解析】；，
故答案为：2；2
8. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】x≠1
【解析】∵分式在实数范围内有意义，
∴x−1≠0，
解得：x≠1
故答案为x≠1．
9. 计算(－a)3÷(－a2)的结果是_________．
【答案】
【解析】 故答案为：
10. 方程的两个根为．若，则____________．
【答案】
【解析】∵是方程的两根，
∴，，解得：，
，故答案为：．
11. 分解因式a3-4a的结果是 ______________．
【答案】a（a+2）（a-2）
【解析】a3-4a=a（a2-4）=a（a+2）（a-2），
故答案为：a（a+2）（a-2）．
12. 若正比例函数与函数的图像没有交点，则k的取值范围是_________．
【答案】
【解析】∵函数的图像在一，三象限，
而正比例函数与函数的图象没有交点，
∴正比例函数的图象经过二、四象限，
∴．
故答案为：
13. 若一组数据 2，3，4，5，x 的方差比另一组数据 5，6，7，8，9 的方差小，则 x 可以为__．（例举一个满足条件的值）
【答案】4（答案不唯一）
【解析】5，6，7，8，9，这组数据的平均数为7，方差为S12=×（22+12+0+12+22）=2；
数据2，3，4，5，x的方差比这组数据方差小，则有S22＜S12=2，
当x=4时，2，3，4，5，4的平均数为3．6，方差为×（1.62+0.62+0.42+1.42+0.42）=1.16，满足题意，故答案为：4（答案不唯一）．
14. 如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是_______．

【答案】
【解析】如图所示：可得直线经过，
不等式可变形为：，
由图象可得：的解集是：，

不等式的解集是．
故答案为：
15. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为_______
【答案】
【解析】如图，连接，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
平分，
，
，
在与,
，
，
，
，
O为对角线的中点，
，故答案为：．
16. 如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过AB的中点D，若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是_____．
【答案】3．
【解析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB中点，
∴OD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2，
在Rt△OBD中，OD＝=＝1，
∵将弧沿沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴＝，
∴AC＝DC，
∴AE＝DE＝1，
易得四边形ODEF为正方形，
∴OF＝EF＝1，
在Rt△OCF中，CF＝＝＝2，
∴CE＝CF+EF＝2+1＝3，而BE＝BD+DE＝2+1＝3，
∴BC＝3． 故答案为3．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．）
17. 化简：
解：原式＝．
18. 解不等式组，并写出不等式组的整数解．
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为：3、4．
19. 如图，在菱形中，是对角钱，E，F分别为边的中点，连接，交于点G．
（1）求证；
（2）若，，则的长为________．
解：（1）连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵E，F分别为边的中点，
∴，
∴；
（2）∵四边形是菱形，
∴，，
∴，．
∴．
∴．
∴是等边三角形，
，∴．
故答案为：1．
20. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．
解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数，∴，；
（2）甲组身高的平均数为，
甲组身高的方差为
乙组身高的平均数为，
乙组身高的方差为
∵
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
（3）168，168，172的平均数为
∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172．
21. 甲城市有2个景点、，乙城市由3个景点、、，从中随机选取景点游览，求下列事件的概率：
（1）选取1个景点，恰好在甲城市；
（2）选取2个景点，恰好在同一个城市．
解：（1）随机选取1个景点，有5种等可能结果：、、、、，其中恰好在甲城市的为、占2种，
∴恰好在甲城市的概率，即随机选取1个景点，恰好在甲城市的概率为．
（2）随机选取2个景点，共有10种等可能结果：、、、、、、、、、，其中满足恰好在同一个城市的为：、、、，占其中4种，
∴恰好在同一个城市的概率即随机选取2个景点，恰好在同一个城市的概率为．
22. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？
解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得（20+2x）（40﹣x）=1250，
解得：x1=x2=15，
答：衬衫的单价降了15元．
23. 人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西方向，B在灯塔C的南偏东方向，且在A的正东方向，米．

（1）求B养殖场与灯塔C距离（结果精确到个位）；
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：，）
解：（1）如图，过点作于点，

由题意得：，，
米，米，
答：养殖场与灯塔的距离为2545米．
（2）米，
米，
则甲组到达处所需时间为（分钟）分钟，
所以甲组能在9分钟内到达处．
24. 如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC；
（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．
解：（1）作AB的垂直平分线交BC于点P即为所求作；
（2）①在BC上取点D，过点D作BC的垂线，
②在垂线上取点E使DE=DB，连接EC，
③作EC的垂直平分线交BC于点F；
∴Rt△DEF即所求．
25. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
（1）若对于，有，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
解：（1）∵对于，有，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为．
∴；
（2）∵当，，
∴，，
∵，，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，
∴，即．
26. 如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求⊙O的半径；
（3）若是中点，直接写出与的数量关系．
解：（1）连，
在和中，
，
∴≌，
，
与相切，
，
，
，
，
为半径，
是切线；
（2）连接，
∵，
∴设，则，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
半径为；
（3），理由如下：
连接，，
由（1）可知：，
，，
又，，
≌，
，，
，
，
，
点是中点，，
，
，
，
，
，
．
27. 【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示．

【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图2所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．

【数形结合 深度探究】
（3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是__________；一般地，当取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．
解：（1）在矩形中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴，∴．
∵，点是的中点，
∴．
在中，，
∴．∴．
∴关于的表达式为：．
（2）取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称．
理由如下：
若为图像上任意一点，则．
设关于原点的对称点为，则．
当时，
．
∴也在的图像上．
∴当取任意实数时，的图像关于原点对称．
函数图像如图所示．

（3）根据函数图象可得①函数值随的增大而增大，故①正确，
②由(1)可得函数值，故函数值的范围为，故②错误；
③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故③错误；
④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形，故④正确；
故答案为：①④．
（4）关于的函数表达式为；
当取任意实数时，有如下相关性质：
当时，图像经过第一、三象限，函数值随的增大而增大，的取值范围为；
当时，图像经过第二、四象限，函数值随的增大而减小，的取值范围为；
函数图像经过原点；
函数图像关于原点对称；
平均数
中位数
众数
166.75
m
n
甲组学生的身高
162
165
165
166
166
乙组学生的身高
161
162
164
165
175