数学：江苏省盐城市东台市第二教育联盟2024年中考一模试题（解析版）

这是一份数学：江苏省盐城市东台市第二教育联盟2024年中考一模试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可知：的相反数为．
故选：C．
2. 已知二元一次方程2x+3y＝3，其中x与y互为相反数，则x，y的值为（ ）
A. x＝﹣4，y＝4B. x＝4，y＝﹣4
C. x＝3，y＝﹣3D. x＝﹣3，y＝3
【答案】A
【解析】由题意得：x＋y＝0，即y＝−x，
代入已知方程得：2x−3x＝4，
解得：x＝−4，
则y＝4．
故选：A．
3. 下列运算中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．与不是同类项，不能合并，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确；
故选D．
4. 实数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】由数轴可得，且，
①，正确；
②，正确；
由，得到，③错误；
④，正确；共个正确．
故选：C．
5. 如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点，，，函数的图象经过点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，过点C作轴于点D，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
将代入得：，
解得或（不符题意，舍去），
，
由两点之间的距离公式得：，
故选：B．
6. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（ ）
A. 1：3B. 3：1C. 1：9D. 9：1
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，
∵DE=EF=FC，∴EF：AB=1：3，
∵CD∥AB，∴△EFG∽△BAG，∴，
故选C．
7. 如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A ①②B. ①③C. ①②④D. ①②③
【答案】C
【解析】∵四边形是正方形，
∴，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴不是等边三角形，
∴，故③错误；
∵，
∴，
延长交的延长线于，如图，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是斜边的中线，
∴．故④正确；
故选：C．
8. 如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】∵抛物线的图象开口向上，
∴，
∵抛物线经过点，且，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴
∴，故②正确；
由图象可知，当时，，即，
∴
∵，，
∴，故③正确；
∵，
又∵，
∴，
∵抛物线的图象开口向上，
∴，故④错误．
∴正确的有①②③共3个，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 若，，则的值是___________________．
【答案】6
【解析】，
∵，，
∴，
∴原式，
故答案为：6．
10. 红细胞的直径约为，用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】．
故答案为：
11. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________．
【答案】m＞1且m≠2．
【解析】原方程整理得：2x-m=x-1
解得：x=m-1
因为x＞0，所以m-1＞0，即m＞1．①
又因为原式是分式方程，所以，x≠1，即m-1≠1，所以m≠2．②
由①②可得，则m的取值范围为m＞1且m≠2．
故答案为：m＞1且m≠2．
12. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为__________米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）
【答案】208．
【解析】由题意可得：tan30°=，
解得：BD=30，
同理，DC=90
故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120.
13. 如图，已知圆柱底面周长为4，高为2，在圆柱的侧面上，过点A和点C镶嵌一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小值为________

【答案】
【解析】把圆柱的侧面展开，得到矩形，如下图：
则这圈金属丝的周长最小值为的长度；
∵圆柱的底面周长为4，高为2，
∴，
∴
则这圈金属丝的周长最小值为
故答案为：
14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 _____．

【答案】
【解析】∵点，点，
∴，
，
∵，
∴，
过点作于点，

∵，是的角平分线，∴
∵
∴
设，则，
∴
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
15. 如图，以AB为直径的半圆O内有一条弦AC，P是弦AC上一个动点，连接BP，并延长交半圆O于点D．若AB＝5，AC＝4，则的最大值是 __．
【答案】
【解析】如图，过D作DE⊥AC于E，过O作OF⊥AC于F，作OG⊥DE于G，连接OD，BC，
则BCDE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC3，
∵DEBC，∴△PDE∽△PBC，
∴，
∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
∴OFBC，
∵∠OFE＝∠FEG＝∠G＝90°，
∴四边形OFEG是矩形，
∴EG＝OF，
∵DE+EG＝DG≤OD，
∴DE≤1，
∴，
故的最大值是．
16. 如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：①；②；③；④；⑤若，则，你认为其中正确的是_____（填写序号）
【答案】①②③④
【解析】①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠ABD＝∠FBE＝45°，
又∵∠ABF＝45°−∠DBF，∠DBE＝45°−∠DBF，
∴，
∴选项①正确；
②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，
∴AD＝AB，BF＝BE，
∴BD＝AB，BE=BF，
∴
又∵，
∴，
∴选项②正确；
④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠BEH＝∠BDE＝45°，
又∵∠EBH＝∠DBE，
∴△EBH∽△DBE，
∴ ，即BE2＝BH•BD，
又∵BE＝BG，
∴，
∴选项④确；
③由②知：，
又∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠BAF＝∠BDE＝45°，
∴AF在正方形另外一条对角线上，
∴AF⊥BD，
∴③正确，
⑤∵，
∴设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，
∴BE=，
∵BE2＝BH•BD，
∴，
∴DH=BD-BH=,
∴，
故⑤错误，
综上所述：①②③④正确，
故答案是：①②③④．
三、解答题
17. （1）计算 ：
（2）解方程：
解：（1）
（2）
两边都乘以，得
解得
检验：当时，，
∴是原方程的解．
18. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
解：
解不等式得,解不等式得，
则不等式组的解集为：，
不等式组的整数解有：
19. 先化简，再求值：，其中．
解：原式．
代入，原式．
20. 某校九年级举办“自强不息·百题闯关”活动，分为自强赛和不息赛．已知年级所有学生都分别参加了两个阶段的活动．为了解年级活动情况，现在随机抽取n名学生，将他们两次得分情况分别按以下六组进行整理（得分用x表示）；
A：，B：，C：，
D：，E：，F：，
并绘制自强赛测试成绩频数分布直方图和不息赛测试成绩扇形统计图，部分信息如下：

已知不息赛测试成绩D组的全部数据如下：
86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1） ___________， ___________；
（2）不息赛测试成绩的中位数是___________；
（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生获得“闯关之星”称号，请说明在抽取的n名学生中，自强赛和不息赛同时获得“闯关之星”称号的人数至多是多少？并给出理由．
解：（1），
，
故答案为：20，4；
（2）不息赛A等级的人数为：（人）；
B等级的人数为：（人）；
C等级的人数为：（人）；
D等级的人数为：（人）；
将抽取的20名学生的成绩从小到大排列，处于中间位置的两个数的平均数为，
故答案为：
（3）（人）；
答：自强赛和不息赛同时获得“闯关之星”称号的人数至多是11人．
21. 如图，点E是矩形的边上的一点，且．

（1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
解：（1）如图所示：

（2）四边形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，
又∵，∴平行四边形是菱形．
22. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标．
解：（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
（2）∵点在上，
∴，
∵，都在一次函数的图象上，代入得：
，
解得，
∴一次函数的解析式为；
∵直线与x轴交于点C，如图1，
∴，
∴，
∵A的坐标为，B的坐标为，
∴
；
（3）①当时，
∵，
∴，
∴；
②当时，
作轴于点E，则．
∵，
∴，
∴，
∴．
同理可求；
③当时
设，
则，
解得，
∴．
同理可求．
综上可知，点P的坐标为．
23. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E，交的延长线于点F．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）如果 ，求的长．
解：（1）相切，理由如下：
连接，
∵为的直径，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴与相切．
（2）由（1）知，
∴在中，由勾股定理，
得．
∵，
∴．
∴．
24. 为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
（1）男装、女装的单价各是多少？
（2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
解：（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有人，
根据题意可得，
解得：，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，
设总费用为w元，则，
∵，
∴当时，w有最小值，最小值为（元）．
此时，（套）．
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
25. 如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，

∵，，
∴，即：的最小值为：；
（3）存在；
∵，∴对称轴为直线，
设，，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，

∴，
当时，，∴，∴；
②当为对角线时：，

∴，当时，，∴，∴；
③当为对角线时：，

∴，
当时，，∴，∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
26. 综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．

解：（1）∵，，，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
（3）如图，连接，
∵，正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．