数学：江苏省苏州市昆山市六校2024年中考一模模拟试题（解析版）

这是一份数学：江苏省苏州市昆山市六校2024年中考一模模拟试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的相反数是（ ）
A. 2024B. C. ﹣2024D. 1
【答案】B
【解析】相反数是，
故选：B．
2. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，且在“斗”中能看到侧棱，即看到的图形为 ，
故选C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意得：
选项中，，故本选项不正确，不符合题意；
选项中，，故本选项不正确，不符合题意；
选项中，，故本选项不正确，不符合题意；
选项中，，故本选项正确，符合题意，
故选：．
4. 一只蜘殊爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图可知：阴影部分的面积占到总面积的，∴；
故选：C．
5. 《九章算术》是我国古代数学名著，卷“盈不足”中有题译文如下：现有一伙人共同买一个物品，每人出钱，还余钱；每人出钱，还差钱，问有人数、物价各是多少?设物价为钱，根据题意可列出方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设物价为钱，根据题意可列出方程
故选：B
6. 如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（ ）

A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】连接，如图，

沿翻折至，
，
，，
，
当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，
四边形是矩形，
，
，，
，
长度的最小值，
设，则，
，，
，，解得，，
，的面积是，
故选：．
7. 如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接EF，
∵正方形ABCD的面积为3，

∵
∴
∴
∴

∵平分

∴
∴ ∴等腰直角三角形，

∵分别为的中点，

故选D
8. 如图①，点A，B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】从图②看，当时，，即此时A、O、P三点共线，
则圆的半径为，
当时，，
∴是直角三角形，且，
则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示，
此时，走过的角度为，则走过的弧长为，
∴点P的运动速度是 ，
当时，，即是等边三角形，
∴，
∴，
此时点P走过的弧长为：，
∴，
故选：C．
二、填空题（共 8 小题）
9. 若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是____________
【答案】
【解析】代数式有意义，
，
解得．
故答案：．
10. 因式分解：_______．
【答案】
【解析】，
故填：．
11. 古代为便于纪元，乃在无穷延伸的时间中，取天地循环终始为一巡，称为元，以元作为计算时间的最大单位，元年，其中用科学记数法表示为___________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12. 如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，且与相交于点，则的值为____________
【答案】
【解析】如图，过点作，
，
过格点，
连接，
，
，
，
，
，
的值为．
故答案为：．
13. 现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度（米）与注水时间（小时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为_____________小时．
【答案】
【解析】设甲蓄水池的函数解析式为，
由题意，将点代入得：，解得，
则甲蓄水池的函数解析式为，
设乙蓄水池的函数解析式为，
由题意，将点代入得：，解得，
则乙蓄水池的函数解析式为，
联立得，解得，
即当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为小时，
故答案为：．
14. 如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________．

【答案】
【解析】∵中，，
∴，，
由作图知平分，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，将直线y=-3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数（x＞0）的图象经过点C，则k的值为____．

【答案】4；
【解析】如图，过点C作轴于点E,作轴于点F，
轴，轴
为等腰直角三角形，
,
在和中
,
将直线y=-3x向上平移3个单位可得出直线AB，
直线AB的表达式为：，
点A，点B，
,
为等腰直角三角形，
,
,
反比例函数（x＞0）的图象经过点C，
．
16. 如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的长为___________．
【答案】
【解析】如图，延长交的延长线于，连接，设，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
整理得：，
解得或（舍弃），
，
，
故答案为：．
三、解答题（共 11 小题）
17. 计算：．
解：
．
18. 解不等式组：
解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
19. 先化简，再求值：÷（﹣1﹣x），其中x的值是方程x2﹣x﹣7＝0的根．
解：原式＝

＝﹣
∵x的值是方程x2﹣x﹣7＝0的根，
∴x2﹣x＝7，
当x2﹣x＝7时，原式＝．
20. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．
（1）求证：．
（2）若，，，求的度数．
解：（1）为中点．，
在和中，
，，
；
（2）由（1）知，
，又，
，又，
，
．
21. 将数，，分别写在三张相同的不透明卡片上的正面，将卡片洗匀后背面朝上置于桌面，甲乙两个同学从中随机各抽取一张卡片（注：第一个同学抽取到的卡片不放回）．
（1）甲同学抽到的卡片上数字是的概率是 ；
（2）求甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
解：（1）有3张卡片，其中只有一张卡片上的数字是，
（甲同学抽到的卡片上数字是），故答案为：；
（2），
画树状图如下：
一共有6种等可能的结果，其中甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数有2种可能，
（甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数）．
22. 某楼举办了青年大学习知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取20名学生成绩进行统计、整理与分析，绘制成如图所示的两幅统计图．成绩用x分表示，并且分为A，B，C，D，E五个等级（A：；B：；C：；D：；E：）
七、八年级竞赛成绩数据的平均数、中位数、众数如下表：
其中，七年级成绩在C等级的数据为77，75，75，78，79，75，73，75；八年级成绩在E等级的有3名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中B等级所在扇形对应的圆心角的度数是__________，表中m的值为__________．
（2）通过以上数据分析，你认为哪个年级对青年大学习知识掌握得更好？请说明理由．
（3）请对该校学生对青年大学习知识的掌握情况作出合理的评价．
解：（1）由条形统计图可得，调查人数为 (人)，
扇形统计图中B等级所占圆心角的度数是：，
将七年级这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是75分，即，
故答案为：，；
（2）八年级学生的成绩较好，
理由：由表可知八年级学生成绩的平均数、中位数、众数均比七年级学生的平均数、中位数、众数大，所以八年级学生成绩较好；
（3）青年学生对深入学习青年大学习知识掌握情况一般，还需要进一步加强学习和宣传．
23. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．

（1）求的长．
（2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）
解：（1）如图，过点B作于点E，
在中，
∴，
在中，，，
∵，∴．答：．

（2）如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，
在中，，
∴，
∴，
在中，,
∴，∴，
∴，即云梯大约旋转了．

24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当时，直接写出自变量的取值范围；
（3）已知一次函数的图象与轴交于点，点在轴上，若的面积为9；求点的坐标．
解：（1）将代入，
解得：，
∴反比例函数表达式为，
将代入，解得：，
∴，
将，代入，
得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）∵，
根据函数图象可得：当时，；
（3）∵，令，解得：，
∴，
设，
则，
∵的面积为9，
∴，
解得：或，
∴或．
25. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点、的分别交、于点、．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）在（）的条件下，求的长．
解：（1）如图，连接，

则，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
点在上，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
∴，
∴的半径为；
（3）如图，连接，

∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
26. 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形中，，，若，求的长．
（3）如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值．
解：（1）由旋转得：，，
∵，
∴，
∴四边形是等补四边形，
故答案为：是；
（2）如图2，∵，，
∴将绕点顺时针旋转得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线，
∵，∴，
∴，∴（负值舍去）；
（3）∵，
∴将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3，
∴，
∵，∴，∴三点共线，
∴，
当时，的面积最大，为，
则四边形面积的最大值为8．
27. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，的面积等于面积的，求此时点M的坐标；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是上一动点，连接，以为腰作等腰，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接．求长度的取值范围．
解：（1）直线AC：y=-5x+5，
x=0时，y=5，
∴C（0，5），
y=-5x+5=0时，解得：x=1，
∴A（1，0），
∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y=x2-6x+5；
（2）当y=x2-6x+5=0时，
解得：x1=1，x2=5，
∴B（5，0），
∵A（1，0），C（0，5），
∴AB=4，OC=5
∴
设M(x，x2-6x+5)
∴
∵的面积等于面积的
∴
解得，
∴y=x2-6x+5=-3
∴M点的坐标为（2，-3）或（4，-3）；
（3）如图2，连接BP，过点A作AQ⊥AB，并截取AQ=AB=4，连接DQ，
∵∠PAD=∠BAQ=90°，
∴∠BAP=∠QAD，
∵AB=AQ，AP=AD，
∴△BAP≌△QAD（SAS），
∴PB=DQ=2，
∴点D在以Q为圆心，以2为半径的圆上运动，
∴当Q在线段DF上时，DF最长，如图3所示，
Rt△AQF中，AQ=4，AF=4+2=6，
∴，
∴此时DF的最大值是2+2；
当D在线段QF上时，DF的长最小，同理可得DF的最小值是2-2；
∴FD的取值范围是：．
平均数
中位数
众数
七年级
76
m
75
八年级
77
76
78