广东省深圳市名校联考2023-2024学年高一下学期数学期中考试试题

这是一份广东省深圳市名校联考2023-2024学年高一下学期数学期中考试试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(共8题；共40分)
1. 设复数 ， 则（ ）
A . B . C . D .
2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ， 则（ ）
A . B . C . D . 2
3. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合， ， 则的面积是（ ）
A . 2 B . C . 4 D .
4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
5. 已知 ， ， 且 ， 的夹角为 ， 则在上的投影向量为（ ）
A . B . C . D .
6. 在长方体中，直线与平面的交点为 ， 与交于点 ， 则下列结论正确的是（ ）
A . ， ， 三点确定一个平面 B . ， ， 三点共线 C . ， ， ， 四点共面 D . ， ， ， 四点共面
7. 如图，平行四边形ABCD中，M是BC中点，N是CD上靠近点D的三等分点，若（ ， ），则的值为（ ）
A . B . C . D .
8. 已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面 ， 则（ ）
A . B . C . D .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．(共3题；共18分)
9. 下列说法正确的有（ ）
A . 若与是单位向量，则 B . 若非零向量与是相反向量，则 C . D . 若与共线，与共线，则与共线
10. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
11. 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱 ， 为上底面上的动点（包括边界），则下列结论中正确的是（ ）
A . 若 ， 则满足条件的点不唯一 B . 若 ， 则点的轨迹是一段圆弧 C . 若∥平面 ， 则的最大值为 D . 若∥平面 ， 且 ， 则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．(共3题；共15分)
12. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的侧面积约为.
13. 设 ， 向量 ， ， 且 ， 则；当时，的取值范围为．
14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是边BC边上一点， ， ， 且 ， 则的最小值为．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(共5题；共77分)
15. 已知复数（为虚数单位，），且是纯虚数.
（1） 求复数；
（2） 在复平面内，复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.
16. 已知向量满足 ， ， ．
（1） 求与的夹角；
（2） 若 ， ， 求 ．
17. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径为R，且 ．
（1） 求B；
（2） 若 ， ， 求的取值范围．
18. 如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点．
（1） 证明：∥平面；
（2） 在线段是否存在一点 ， 使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．
19. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知 ， 弓形花园的弦长 ， 记弓形花园的顶点为 ， 设.
（1） 将用含有的关系式表示出来；
（2） 该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？