（人教A版）2024年高中数学高一暑假讲义+练习02《集合间的基本关系》(2份打包，原卷版+教师版)

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1．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．
2．子集、真子集、集合相等的相关概念
思考1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？
(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？
提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．
3．空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
(2)规定：空集是任何集合的子集．
思考2：{0}与∅相同吗？
提示：不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.
4．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；
②若AB，BC，则AC.
(3)若A⊆B，A≠B，则AB.
1．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )
A．N∈M B．N∉M
C．N⊇M D．N⊆M
D [∵1∈{1,2,3}，∴1∈M，又2∉N，∴N⊆M.]
2．下列四个集合中，是空集的为( )
A．{0} B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}
B [满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅.]
3．集合{0,1}的子集有________个．
4 [集合{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．]
4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C.
(1)＝ (2) (3) (4)∈ [集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.]
集合间关系的判断
【例1】 判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
(3)A＝{x|－1[解] (1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.
(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC.
(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故AB.
判断集合关系的方法.
1观察法：一一列举观察.
2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
3数形结合法：利用数轴或Venn图.
提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系.
1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
B [解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．]
子集、真子集的个数问题
【例2】 已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．
[解] 由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
1．求集合子集、真子集个数的3个步骤
2．与子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集的个数有2n个．
(2)A的非空子集的个数有2n－1个．
(3)A的真子集的个数有2n－1个．
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．
[解] ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．
3.已知集合，则集合A的所有非空子集．的个数为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【解题思路】解出集合A，再由含有n个元素的集合，其真子集个数为2n﹣1个可得答案．
【解答过程】解：已知集合A＝{x∈N|∈N}＝{2，4，5}，则集合A真子集的个数为23﹣1＝7个，故选：C．
4.已知集合，，则集合M，N的关系是（ ）
A．M＝NB．M⊂NC．M⊃ND．M∩N＝ϕ
【解题思路】通过分析两个集合中元素的关系，结合集合子集的定义分析求解即可．
【解答过程】解：因为集合M＝{y|y，x∈Z}，集合N＝{y|yx﹣1，x∈Z}＝{y|y，x∈Z}，即M＝N．故选：A．
由集合间的关系求参数
[探究问题]
集合A＝{x|1提示：不一定．当b≤1时，A＝∅，其不含有任何元素，当b>1时，集合A中的元素用数轴可表示为：
【例3】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围．
[思路点拨] eq \x(B＝{x|m＋1≤x≤2m－1})
eq \(――→,\s\up15(分B＝∅和B≠∅),\s\d15(结合数轴))eq \x(列不等式组)―→eq \x(求m的取值范围)
[解] (1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠∅时，如图所示．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解这两个不等式组，得2≤m≤3.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2[解] (1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠∅时，如图所示，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>－2，,2m－1<5，,m＋1≤2m－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>－3，,m<3，,m≥2，))即2≤m<3，综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．
2．若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围．
[解] 当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1>m＋1，,m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>2，,m≤－3，,m≥3，))∴m不存在．即不存在实数m使A⊆B.
1.已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（ ）
A．或B．C．或0D．或0
【解题思路】先求出A＝{﹣3，2}，根据B⊆A即可得出﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅，从而得出﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0，解出a的值即可．
【解答过程】解：A＝{﹣3，2}；∵B⊆A；∴﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅；
∴﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0；∴或或0．故选：D．
2.已知集合A＝{x∈R|2a≤x≤a+3}，B＝{x∈R|x＜﹣1或x＞4}．若A⊆B，则实数a的取值范围是 ．
【解题思路】对集合A＝∅，A≠∅两种情况讨论，根据集合的子集关系建立不等式，由此即可求解．
【解答过程】解：当A＝∅时，满足A⊆B，此时2a＞a+3，解得a＞3，
当A≠∅时，要满足A⊆B，只需满足或，
解得2＜a≤3或a＜﹣4，综上，实数a的范围为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．
3.已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
（1）若M⊆N，求实数a的取值范围；
（2）若M⊇N，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；
（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立
【解答过程】解：（1）∵M⊆N，∴，∴a∈∅；
（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．
②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，
则，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．
1．利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
2．数学素养的建立
通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题．
1．A⊆B隐含着A＝B和AB两种关系．
2．求集合的子集时，可按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
1．思考辨析
(1)空集中只有元素0，而无其余元素．( )
(2)任何一个集合都有子集．( )
(3)若A＝B，则A⊆B或B⊆A.( )
(4)空集是任何集合的真子集．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是( )
A．16 B．8 C．7 D．4
C [易知集合A＝{0,1,2}，含有3个元素，∴A的真子集有23－1＝7个．]
3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.
4 [由B⊆A可知，m＝4.]
4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若AB，求a的取值范围；
(2)若B⊆A，求a的取值范围．
[解] (1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2.
(2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.因为a≥1，所以1≤a≤2.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列关系式不正确的是( )
A．{1}⊆{1,2} B．{0}⊆{1,2} C．{2}⊆{1,2} D．1∈{1,2}
答案 B
解析 ∵0∉{1,2}，∴{0}⊆{1,2}不正确；根据子集的概念可知A，C正确；D显然正确．
2．若集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,2)－\f(1,3)，n∈Z))))，P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(p,2)＋\f(1,6)，p∈Z))))，则M，N，P的关系是( )
A．M＝N⫋P B．M⫋N＝P C．M⫋N⫋P D．N⫋P⫋M
答案 B
解析 M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(6m＋1,6)，m∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3n－2,6)，n∈Z))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3q＋1,6)，q∈Z))))(n∈Z，q＝n－1∈Z)，P＝eq \b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝eq \f(3p＋1,6)}，p∈Z.∴MN＝P.
3．若集合A满足A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 D
解析 ∵A⊆B，A⊆C，∴A中最多能含有0,2两个元素，∴A＝∅，{0}，{2}，{0,2}共4个．
4．已知集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论正确的是 
A.1∈A B.B⊆A C.1，1⊆B D.∅∈A
答案 B
解析 B＝＝{1，1}，故B⊆A.
5.已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为 
A.{－1} B.{1} C.{－1，1} D.{－1，0，1}
答案 D
解析 因为B⊆A，所以当B≠∅，即a≠0时，B＝，因此有－eq \f(1,a)∈A，所以a＝±1；当B＝∅，即a＝0时满足条件．综上可得实数a的所有可能取值的集合是{－1,0,1}．
二、填空题
6．满足条件{x|x2＋1＝0}M⊆{x|x2－1＝0}的集合M共有________个．
答案 3
解析 因为{x|x2＋1＝0}＝∅，{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，其非空子集为{－1}，{1}，{－1,1}，所以满足条件{x|x2＋1＝0}M⊆{x|x2－1＝0}的集合M共有3个．
7．设A＝{x|－1a}，若AB，则a的取值范围是________．
答案 a≤－1
解析 从几何角度看，集合A是数轴上一条定线段，集合B是方向向右的动射线，因为AB，所以射线应当“盖住”线段，如图所示．
从图上看，a＝－1也符合题意，所以a≤－1.
8．给出四个对象：0，{0}，∅，{∅}，用适当的关系符号表示它们之间的一些关系(写出你认为正确的所有关系)：____________________________________.
答案 0∈{0},0∉∅，0∉{∅}，∅{0}，∅{∅}，∅∈{∅}
解析 由元素与集合、集合与集合之间的关系可得．
三、解答题
9．设集合A＝{y|y＝x2＋2x＋2，x∈R}，B＝{s|s＝t2＋4t＋5，t∈R}，试判断集合A与B的关系．
解 因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1(x∈R)和t2＋4t＋5＝(t＋2)2＋1(t∈R)都表示大于或等于1的实数，所以集合A与B都表示所有大于或等于1的实数构成的集合，从而A＝B.
10．已知集合A＝{x|2m≤x≤m＋2}，集合B＝{x|－3≤x≤5}，若A⊆B，求实数m的取值范围．
解 ①当A＝∅时，满足题意，此时，2m>m＋2，即m>2；
②当A≠∅时，由A⊆B，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m≤m＋2，,2m≥－3，,m＋2≤5，))解得－eq \f(3,2)≤m≤2.
综上可得，实数m的取值范围是m≥－eq \f(3,2).
B级：“四能”提升训练
1．已知集合A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，试用列举法表示集合B，并判断A与B的关系．
解 对于集合B，从“x⊆A”可知，B中的元素是集合A的子集．
所以B＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}
很明显，集合A是集合B的一个元素，从而A∈B.
2．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，集合B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
解 易知A＝{－4,0}，因为B⊆A，所以分B＝A和BA两种情况．
①当A＝B时，B＝{－4,0}，则有－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是得a＝1.
②当BA时，若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1；
若B≠∅，则B＝{－4}或{0}，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，验证知B＝{0}满足条件，
综上可知，所求实数a的值满足a＝1或a≤－1.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)
2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)
3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)
1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．
2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养.