（人教A版）2024年高中数学高一暑假讲义+练习10《单调性与最大(小)值》(原卷版+教师版)

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第1课时 函数的单调性
1．增函数与减函数的定义
思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
提示：定义中的x1，x2有以下3个特征：
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
思考2：函数y＝eq \f(1,x)在定义域上是减函数吗？
提示：不是．y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
C [由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C.]
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝－eq \f(1,x) B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝1－x
D [函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0，＋∞)上均为增函数，故选D.]
3．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．
(－∞，1] [因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．]
求函数的单调区间
【例1】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－eq \f(1,x)； (2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1；)) (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
[解] (1)函数f(x)＝－eq \f(1,x)的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0.))
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；
(2)利用函数的图象，如本例(3)．
提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．
1．(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是增函数还是减函数；
(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
[解] (1)函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．
(2)先画出f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－3，x<－1或x>3，,－x2－2x－3，－1≤x≤3))的图象，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．
函数单调性的判定与证明
【例2】 证明函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是减函数．
[思路点拨] eq \x(设元0eq \(――→,\s\up15(变形))eq \x(判号：fx1>fx2)eq \(――→,\s\up15(结论))eq \x(减函数)
[证明] 设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1∵0∴eq \f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是减函数．
利用定义证明函数单调性的步骤
1取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x12作差变形：作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.
3定号：确定fx1－fx2的符号.
4结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性.
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.
2．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝eq \f(2x,x－1)在(1，＋∞)上是减函数．
[证明] f(x)＝2＋eq \f(2,x－1)，设x1>x2>1，则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2,x1－1)－eq \f(2,x2－1)＝eq \f(2x2－x1,x1－1x2－1)，
因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
函数单调性的应用
[探究问题]
1．若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？
提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a2．决定二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c单调性的因素有哪些？
提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a的符号及－eq \f(b,2a)的大小．
【例3】 (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
[思路点拨] (1)eq \x(分析fx的对称轴与区间的关系)eq \(――→,\s\up15(数形结合))eq \x(建立关于a的不等式)eq \(――→,\s\up15( ))eq \x(求a的范围)
(2)eq \x(f2x－3>f5x－6)eq \(――――――――――――――――→,\s\up15(f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数))eq \x(建立关于x的不等式)eq \(――→,\s\up15( ))eq \x(求x的范围)
(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.∴实数x的取值范围为(－∞，1)．]
1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．
[解] 由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.
所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．
[解] 由题意可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3>0，,5x－6>0，,2x－3<5x－6，))解得x>eq \f(3,2).∴x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).
函数单调性的应用
1函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
2若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.
1．定义单调性时应强调x1，x2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．
2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．
3. 已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如f(x)在D上递增，则f(x1)1．思考辨析
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )
(2)若函数y＝f(x)在区间[1,3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1,3]．( )
(3)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．( )
(4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)(5)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
C [由图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.]
3．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为( )
A．b＝3 B．b≥3
C．b≤3 D．b≠3
C [函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，
若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C.]
4．证明：函数y＝eq \f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函数．
[证明] 设x1>x2>－1，则y1－y2＝eq \f(x1,x1＋1)－eq \f(x2,x2＋1)＝eq \f(x1－x2,x1＋1x2＋1).
∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴eq \f(x1－x2,x1＋1x2＋1)>0，即y1－y2>0，y1>y2，
∴y＝eq \f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函数．
第2课时 函数的最大(小)值
函数最大值与最小值
思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
1．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－1,0 B．0,2
C．－1,2 D.eq \f(1,2)，2
C [由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.]
2．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
D [∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)3．函数f(x)＝eq \f(1,x)，x∈[1,2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
1 eq \f(1,2) [∵f(x)＝eq \f(1,x)在区间[1,2]上为减函数，∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即eq \f(1,2)≤f(x)≤1.]
利用函数的图象求函数的最值(值域)
【例1】 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈2，5].))
(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
[解] (1)图象如图所示：
(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(2,5)，单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]．
利用图象求函数最值的方法
1画出函数y＝fx的图象；
2观察图象，找出图象的最高点和最低点；
3写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.
1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x>1，))求f(x)的最大值、最小值．
[解] 作出函数f(x)的图象(如图)．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
利用函数的单调性求最值(值域)
【例2】 已知函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1).
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
[解] (1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2x1＋1,x1＋1)－eq \f(2x2＋1,x2＋1)＝eq \f(x1－x2,x1＋1x2＋1)，
因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)(2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝eq \f(2×2＋1,2＋1)＝eq \f(5,3)，
最大值f(4)＝eq \f(2×4＋1,4＋1)＝eq \f(9,5).
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
2．求函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)在[1,4]上的最值．
[解] 设1≤x1∵1≤x10，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．
同理f(x)在[2,4]上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.
函数最值的实际应用
【例3】 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
[解] (1)当020时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋32x－100，020))(x∈N*)．
(2)当020时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．
即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．
解实际应用题的四个步骤
1审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.
2建模：建立数学模型，列出函数关系式.
3求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法一定注意自变量的取值范围.
4回归：数学问题回归实际问题，写出答案.
3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
[解] 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.
故当x＝70时，ymax＝9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元．
二次函数的最值问题
[探究问题]
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？
提示：
2．求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？
提示：若求二次函数f(x)在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝－eq \f(b,2a)与区间[m，n]的关系．
【例4】 已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．
[思路点拨] eq \x(fx＝x2－ax＋1)eq \(\A\AL(――→,\s\up15(分类讨论)))eq \x(\A\AL(分析x＝\f(a,2)与,[0，1]的关系))eq \(\A\AL(――→,\s\up15(数形结合)))eq \x(\A\AL(求fx的最大值))
[解] 因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝eq \f(a,2)，
当eq \f(a,2)≤eq \f(1,2)，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当eq \f(a,2)>eq \f(1,2)，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.
1．在题设条件不变的情况下，求f(x)在[0,1]上的最小值．
[解] (1)当eq \f(a,2)≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝1.
(2)当eq \f(a,2)≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝2－a.
(3)当02．在本例条件不变的情况下，若a＝1，求f(x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
[解] 当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝eq \f(1,2)，
①当t≥eq \f(1,2)时，f(x)在其上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；
②当t＋1≤eq \f(1,2)，即t≤－eq \f(1,2)时，f(x)在其上是减函数，
∴f(x)min＝f(t＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＝t2＋t＋1；
③当t二次函数在闭区间上的最值
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：
1．函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．
2．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：
(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；
(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；
(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．
3．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．
1．思考辨析
(1)任何函数都有最大(小)值．( )
(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．( )
(3)函数的最大值一定比最小值大．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为( )
A．[0,3] B．[－1,0]
C．[－1，＋∞) D．[－1,3]
D [∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，
当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.]
3．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝______.
1 [若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1.]
4．已知函数f(x)＝eq \f(2,x－1)(x∈[2,6])．
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；
(2)求函数的最大值和最小值．
[解] (1)函数f(x)在x∈[2,6]上是减函数．
证明：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝eq \f(2,x－1)是区间[2,6]上的减函数．
(2)由(1)可知，函数f(x)＝eq \f(2,x－1)在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是eq \f(2,5).
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.
2．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上单调递减，则( )
A．k＞eq \f(1,2) B．k＜eq \f(1,2) C．k＞－eq \f(1,2) D．k＜－eq \f(1,2)
答案 D
解析 当2k＋1＝0时，不符合题意，∴2k＋1≠0，由一次函数的单调性可知2k＋1＜0，即k＜－eq \f(1,2).
3．若函数y＝f(x)是定义域为R的增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
答案 C
解析 因为函数y＝f(x)是定义域为R的增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.
4．若y＝f(x)是定义域为R的减函数，对于x1<0，x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2) B．f(－x1)C．f(－x1)＝f(－x2) D．无法确定
答案 B
解析 因为x1<0，x2>0，所以－x1>－x2，又y＝f(x)是定义域为R的减函数，所以f(－x1)5．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的单调递减区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) B．[－1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2))) D．(－∞，＋∞)
答案 C
解析 y＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)，其对称轴为x＝－eq \f(1,2)，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－eq \f(1,2)时单调递减．故选C.
二、填空题
6．若在[1，＋∞)上函数y＝(a－1)x2＋1与y＝eq \f(a,x)都单调递减，则a的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 由于两函数在(1，＋∞)上都单调递减，应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1<0，,a>0，))所以07．设函数f(x)满足：∀x1，x2∈R，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是______．
答案 f(－3)>f(－π)
解析 由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)．
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－3x＋5，x≤1，,\f(2a,x)，x>1))是定义域为R的减函数，则实数a的取值范围是________．
答案 (0,2]
解析 依题意得实数a应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－3<0，,2a>0，,a－3＋5≥2a，))解得0三、解答题
9．证明：函数f(x)＝－x3＋1是减函数．
证明 函数f(x)＝－x3＋1的定义域为R，
∀x1，x2∈R，且x10，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,2)x1))2＋eq \f(3,4)xeq \\al(2,1)>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)＝－x3＋1是减函数．
10．已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递减，试比较feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))与f(a2－a＋1)的大小．
解 ∵a2－a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)，∴eq \f(3,4)与a2－a＋1都在区间[0，＋∞)内．
又∵y＝f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))≥f(a2－a＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(等号当且仅当a＝\f(1,2)时取到)).
B级：“四能”提升训练
1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈2，5].))
(1)画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间及值域．
解 (1)f(x)的图象如下图．
(2)由图象和解析式可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]和[2,5]，其值域为[－1,3]．
2．已知函数f(x)，∀x，y∈R，总有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)在R上单调递增；
(2)若f(4)＝5，求解不等式f(3m2－m－2)<3.
解 (1)证明：∀x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x2－x1＋x1)＝f(x1)－f(x2－x1)－f(x1)＋1＝1－f(x2－x1)．
因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)>1.
故f(x1)－f(x2)<0，
即当x1(2)f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3.
由此可得f(3m2－m－2)由(1)可知f(x)在R上单调递增，所以3m2－m－2<2，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)
2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)
3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)
1.借助单调性的证明，培养逻辑推理素养．
2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养．
条件
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时
都有f(x1)＜f(x2)
都有f(x1)＞f(x2)
结论
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图示
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点)
2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点)
3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点)
4．通过本节内容的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力．(重点、难点)
1.借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养．
2．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．
最大值
最小值
条件
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
∃x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
对称轴与区间的关系
－eq \f(b,2a)＜m＜n，即－eq \f(b,2a)∈(－∞，m)
m＜－eq \f(b,2a)＜n，即－eq \f(b,2a)∈(m，n)
m＜n＜－eq \f(b,2a)，即－eq \f(b,2a)∈(n，＋∞)
图象
最值
f(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)
f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)))
f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)