（人教A版）2024年高一暑假讲义+练习08《二次函数与一元二次方程、不等式》(原卷版+教师版)

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1．一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
4．三个“二次”的关系
思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,1＋4a<0，))解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.
1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞3或x＜－\f(1,2))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤3))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥3或x≤－\f(1,2))))) D．R
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＜x＜\f(1,3))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＜x＜1))))
C．∅ D．R
3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．
4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．
一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0； (2)－4x2＋18x－eq \f(81,4)≥0； (3)－2x2＋3x－2<0.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
5写解集.根据图象写出不等式的解集.
1．解下列不等式
(1)2x2－3x－2>0； (2)x2－4x＋4>0； (3)－x2＋2x－3<0； (4)－3x2＋5x－2>0.
含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
[思路点拨] ①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
三个“二次”的关系
[探究问题]
1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？
提示：y＝x2－2x－3的图象如图所示．
函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．
2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？
提示：方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．
不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1【例3】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|21．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
1根据解集来判断二次项系数的符号；
2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
3约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
1．解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．
有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
2．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，
x1＝x2，x1＜x2.
3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.
1．思考辨析
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.( )
2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)(x－eq \f(1,a))<0的解集为________．
3．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－2或x>－\f(1,2)))))，则ax2－bx＋c>0的解集为________．
4．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12； (2)x2>2(x－1)．
第2课时 一元二次不等式的应用
1．分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
思考1：eq \f(x－3,x＋2)>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将eq \f(x－3,x＋2)>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？
提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．
2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．
(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．
(3)解不等式(或求函数最值)．
(4)回扣实际问题．
思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？
提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－2,x)≤0))))，则A∩B等于( )
A．{x|－1≤x<0} B．{x|0C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤1}
2．不等式eq \f(x＋1,x)≥5的解集是________．
3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________．
分式不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
(1)eq \f(x－3,x＋2)<0； (2)eq \f(x＋1,2x－3)≤1.
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
1．解下列不等式：(1)eq \f(x＋1,x－3)≥0；(2)eq \f(5x＋1,x＋1)<3.
一元二次不等式的应用
【例2】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[思路点拨] 将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8－x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(1＋2x%)吨，“原计划的78%”即为2 400m×8%×78%.
求解一元二次不等式应用问题的步骤
2．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
不等式恒成立问题
[探究问题]
1．若函数y＝ax2＋2x＋2对一切x∈R，f(x)>0恒成立，如何求实数a的取值范围？
提示：若a＝0，显然y>0不能对一切x∈R都成立．所以a≠0，此时只有二次函数y＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝4－8a<0，))解得a>eq \f(1,2).
2．若函数y＝x2－ax－3对－3≤x≤－1上恒有x2－ax－3<0成立，如何求a的范围？
提示：要使x2－ax－3<0在－3≤x≤－1上恒成立，则必使函数y＝x2－ax－3在－3≤x≤－1上的图象在x轴的下方，由y的图象可知，此时a应满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－32＋3a－3＜0，,－12＋a－3＜0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＋6<0，,a－2<0，))解得a<－2.
故当a＜－2时，有f(x)<0在－3≤x≤－1上恒成立．
3．若函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意－3≤a≤1时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？
提示：由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令y＝2x·a＋x2－4x＋4.
要使对任意－3≤a≤1，y<0恒成立，只需满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋x2－4x＋4＜0,－3×2x＋x2－4x＋4＜0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x＋4<0，,x2－10x＋4<0.))
因为x2－2x＋4<0的解集是空集，
所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意－3≤a≤1，y<0恒成立．
【例3】 已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．
1．(变结论)本例条件不变，若y＝x2＋ax＋3－a≥2恒成立，求a的取值范围．
2．(变条件)将例题中的条件“y＝x2＋ax＋3－a，－2≤x≤2，y≥0恒成立”变为“不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R”，求a的取值范围．
1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；
当a≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0.))
2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0.))
3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：
(1)若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则a3．在某集合A中恒成立问题
设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
若ax2＋bx＋c＞0在集合A中恒成立，则集合A是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围).
1．思考辨析
(1)不等式eq \f(1,x)>1的解集为x<1.( )
(2)求解m>ax2＋bx＋c(a＜0)恒成立时，可转化为求解y＝ax2＋bx＋c的最小值，从而求出m的范围．( )
2．不等式eq \f(x＋1x＋22x＋3,x＋4)>0的解集为________．
3．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是________．
4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列不等式中一元二次不等式的个数为( )
①(m＋1)x2＞x ②－x2＋5x＋6＞0 ③(x＋a)(x＋a＋1)＜0 ④2x2－x＞2
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若不等式x2－4x>2ax＋a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是( )
A．1C．a<－4或a>－1 D．a<1或a>4
3．关于x的不等式x2－2ax－3a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1A.eq \f(5,2) B.eq \f(7,2) C.eq \f(15,4) D.eq \f(15,2)
4．已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－30的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))\f(1,2)))
C．{x|－3\f(1,3)))
5．如图，在一块长为22 m，宽为17 m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300 m2.设道路宽为x m，根据题意可列出的不等式为( )
A．(22－x)(17－x)≤300 B．(22－x)(17－x)≥300
C．(22－x)(17－x)>300 D．(22－x)(17－x)<300
二、填空题
6．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|17．已知M＝{x|－9x2＋6x－1<0}，N＝{x|x2－3x－4<0}，则M∩N＝________.
8．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少eq \f(5,2)t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
三、解答题
9．已知关于x的不等式x2－x－m＋1>0.
(1)当m＝3时，解此不等式；
(2)若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．
B级：“四能”提升训练
1．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
2．某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，x h内供水总量为120eq \r(6x)(0≤x≤24)．
(1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80 t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 h内，有几个小时出现供水紧张现象？
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握一元二次不等式的解法(重点).
2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).
通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有
实数根
画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
得等的集不式解
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点).
2.理解三个“二次”之间的关系.
3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点).
1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.
2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.
类型
同解不等式
eq \f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)
(其中a，b，c，d为常数)
法一：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b＞0＜0,cx＋d＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b＜0＞0,cx＋d＜0))
法二：
(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)
eq \f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)
法一：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b≥0≤0,ax＋d＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b≤0≥0,cx＋d＜0))
法二：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋bcx＋d≥0≤0,cx＋d≠0))
eq \f(ax＋b,cx＋d)＞keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(先移项通分转化为上述两种形式
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,Δ<0))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,Δ<0))
设二次函数
y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k
若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k