高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.1 直线的斜率与倾斜角课后作业题

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考点一：直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
考点二：直线的斜率
1．直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
2．斜率与倾斜角的对应关系
考点三：过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
【题型归纳】
题型一：直线的倾斜角
1．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期中）已知直线经过点，，该直线的倾斜角为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两点表示直线斜率求出直线的斜率，再由斜率的定义即可得倾斜角.
【详解】因为直线过点，，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
故选：C.
2．（2023秋·湖南株洲·高二校考期末）已知点是直线上一点，则直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】B
【分析】利用，再根据倾斜角的定义，可得直线的倾斜角
【详解】因为，设直线的倾斜角为，又因为，且，故的倾斜角.
故选：B.
3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知直线的方程，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，结合直线倾斜角的取值范围可求得直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
又因为，因此，.
故选：C.
题型二：直线的斜率
4．（2023秋·河北邯郸·高二武安市第三中学校考开学考试）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据斜率公式以及斜率的定义可得出关于的等式，解之即可.
【详解】由题意可知，直线的斜率为，解得.
故选：A.
5．（2023·全国·高二专题练习）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
D．直线的倾斜角的取值范围是
【答案】D
【分析】利用直线倾斜角和斜率的定义，逐项判断作答.
【详解】对于A，直线的斜率为1，而，显然不是直线的倾斜角，A错误；
对于B，直线的倾斜角为，而直线的斜率不存在，B错误；
对于C，坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，而垂直于x轴的直线没有斜率，C错误；
对于D，直线的倾斜角的取值范围是，D正确.
故选：D
6．（2023·全国·高二专题练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误.
【详解】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确；
对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误；
对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误；
其中正确说法的个数为2.
故选：B.
题型三：倾斜角和斜率的变化关系
7．（2023秋·高二课时练习）直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．∪
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角可求得答案.
【详解】直线l的斜率，
因为，所以，
设直线l的倾斜角为，则，
因为，所以或，
所以直线l的倾斜角的取值范围是
故选：D.
8．（2023·全国·高二专题练习）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】由题意知,若 a = 0 ,则倾斜角为,
若,则,
①当时，(当且仅当时，取“”)，
②当时，(当且仅当时，取“”)，
，故，
综上，，
故选：C.
9．（2023·全国·高二专题练习）设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求得直线斜率的取值范围，进而求得的倾斜角的取值范围.
【详解】直线的斜率，
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：A
题型四：与斜率公式有关的问题
10．（2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）经过两点的直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系，即可求得答案.
【详解】经过两点的直线的斜率为，
因为直线的倾斜角大于等于小于，
故经过两点的直线的倾斜角是，
故选：D
11．（2023·全国·高二专题练习）已知点，直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据斜率公式列式计算即可.
【详解】因为直线的倾斜角为，，
可得直线的斜率为，
可得.
故选：C
12．（2023·全国·高二专题练习）若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线在轴上的截距可求得，设直线的倾斜角为，求出即直线的斜率，即可求出.
【详解】令，则，所以，
设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
因为直线的斜率为，所以，
故，
则直线的斜率，所以.
故选：D.
题型五：斜率公式的应用
13．（2023·全国·高二专题练习）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】A
【分析】由题意，作图，利用已知两点坐标计算斜率，可得答案.
【详解】
由，则直线的斜率，
由，则直线的斜率，
由图可知，，解得.
故选：A.
14．（2023·全国·高二假期作业）已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用图像结合直线的斜率范围求解即可.
【详解】由斜率公式可得，得，
由图像可知，
当介于之间时，直线斜率的取值范围为，
当介于之间时，直线斜率的取值范围为 ，
所以直线的斜率的取值范围为，
故选：D．
15．（2023·全国·高二专题练习）已知点和点，经过点作直线l，若直线l与射线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用直线斜率的定义，依据题给条件数形结合去求直线l的斜率的取值范围即可解决
【详解】如图已知点, ，
则，
若经过点的直线l与射线有公共点，
则直线l的斜率的取值范围是
故选：A
题型六：直线和线段相交问题求斜率范围
16．（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）已知点，，若过的直线与线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出直线，的斜率，结合图象可得答案.
【详解】根据题意，，，，
则，，
结合图象可得直线的斜率k的取值范围是.
故选：D.

17．（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出图象，求出的斜率，再结合图象即可得解.
【详解】如图所示，
，
因为为的边上一动点，
所以直线斜率的变化范围是.
故选：D.
18．（2023·全国·高二专题练习）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围.
【详解】过点作，垂足为点，如图所示：
设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，
当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，
此时；
当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故选：D.
【双基达标】
一、单选题
19．（2023秋·江苏·高二校联考）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】B
【分析】根据倾斜角与斜率的关系，可得答案.
【详解】由直线，则其斜率为，设其倾斜角为，则，解得.
故选：B.
20．（2023秋·广西贵港·高二校联考）若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．5C．D．
【答案】D
【分析】通过三角恒等变换的知识求得，从而求得正确答案.
【详解】依题意可得，则，
，故．
故选：D
21．（2023秋·四川遂宁·高二校考期末）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得.分两种情况时以及时，结合正切函数的性质求解即可得到结果.
【详解】设直线的倾斜角为.
因为，，，所以，.
又，则.
当时，单调递增，解，可得；
当时，单调递增，解，可得.
综上所述，.
故选：B.
22．（2023秋·高二课时练习）直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】找出直线在、的位置的斜率，进而得出直线的斜率的取值范围.
【详解】如图所示，当直线在的位置时，；当直线在的位置时，，故直线的斜率的取值范围是．

故选：A
23．（2023秋·高二课时练习）三条直线，，的位置如图所示，它们的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系判断即可.
【详解】设三条直线，，的倾斜角为,
由图可知,
所以.
故选：B.
24．（2023秋·高二课时练习）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围．
【答案】或
【分析】作出图形，根据直线与线段的关系及斜率的定义即可得解.
【详解】设点，由题意作出图形，如图，

因为，,
若要使直线与线段相交，则或，
所以直线的斜率满足或.
25．（2023秋·高二课时练习）如图，已知点、、，点是线段上任意一点，求直线的斜率的取值范围．

【答案】
【分析】利用点的坐标并结合图形可知，分别计算出和之间的斜率即可.
【详解】根据题意可知，两点之间的斜率为，
两点之间的斜率为，
又点是线段上任意一点，由倾斜角与斜率之间的关系可知，
即直线的斜率的取值范围为.
【高分突破】
一、单选题
26．（2023·全国·高二专题练习）已知直线的倾斜角为，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得直线的斜率为，解方程即可得出答案.
【详解】已知直线的倾斜角为，
则直线的斜率为，
则.
故选：B.
27．（2022秋·江西九江·高二永修县第一中学校考开学考试）若，，，三点共线，则（ ）
A．2B．3C．9D．
【答案】D
【分析】根据斜率相等得到方程，解出即可.
【详解】由，解得，
故选：D．
28．（2023·全国·高二专题练习）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】作出图形，图形结合斜率公式可得.
【详解】如图，由题意可知.
要使与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是.
故选：C

29．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）已知点，在直线：上，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】将两点坐标代入直线方程解出即可求解.
【详解】因为点，在直线：上，
所以将，带入：，
得，解得，
所以直线，即的斜率为，
故选：A
30．（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】由直线的方程得直线所过定点坐标，求k的临界值，得k的取值范围.
【详解】
直线l：经过定点，，．
又直线l：与线段相交，所以或，
故选：C．
二、多选题
31．（2023秋·全国·高二阶段练习）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0
B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大
【答案】AB
【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可.
【详解】当时，其斜率，所以A正确；
根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以 B正确；
若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，且. ，故C不正确；
直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；
故选：AB.
32．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若斜率的取值范围是，则直线倾斜角
D．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为
【答案】ABCD
【分析】根据倾斜角和斜率的定义，即可判断选项.
【详解】A. 若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；
B.若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；
C.若斜率的取值范围是，则直线倾斜角，所以该选项错误；
D.若直线的斜率为，但是直线的倾斜角为不是，而是，所以该选项错误.
故选：ABCD
33．（2023·全国·高二专题练习）已知经过点和的直线的倾斜角，则实数的可能取值有（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】ABC
【分析】根据斜率公式求解.
【详解】由题可得，
所以，
结合选项可得实数的可能取值有11,12,13，
故选:ABC.
34．（2022秋·广西桂林·高二校考期中）设点，若直线与线段没有交点，则a的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】AC
【分析】直线过定点，求出直线的斜率，由图形可得直线与线段有公共点时的范围，从而可得无交点时的范围，由此可得正确选项．
【详解】易知直线过定点，
，，
直线的斜率为，由图知或，
所以或时有交点，
因此当时，直线与线段无交点，
故选：AC．
35．（2023秋·高二课时练习）（多选）设直线过原点，其倾斜角为，若将直线绕坐标原点逆时针方向旋转45°后得到直线，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据的范围进行分类讨论，由此求得倾斜角的取值范围.
【详解】当时，，所以直线的倾斜角为.
当时，，，即直线的倾斜角为.
故选：BD
三、填空题
36．（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）已知，，三点共线，则实数m的值为 ．
【答案】0
【分析】根据A，B，C三点共线可得 ，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可.
【详解】由，，三点共线可得 ，
即 ，解得 .
故答案为：0.
37．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考开学考试）直线的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求得直线的斜率的取值范围，进而求得倾斜角的取值范围.
【详解】设直线的倾斜角为，
因为直线的斜率，
即，所以.
故答案为：.
38．（2023秋·高二课时练习）已知两点所在直线的倾斜角为45°，则m＝ ．
【答案】2
【分析】根据题意利用斜率公式列方程求解即可
【详解】由题意知k＝tan 45°＝1．
由斜率公式得，解得m＝2.
故答案为：2
39．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）点在曲线上移动，且在点处的切线的斜率的取值范围是，则切线倾斜角的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据切线斜率范围可得，结合的范围可得结果.
【详解】由题意知：，又，.
故答案为：.
40．（2023·全国·高二专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为
【答案】
【分析】作图，根据代数式的几何意义，结合图象即可得出答案.
【详解】
如图，，，，
则，.
因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率，
由图象可知，，
所以有.
故答案为：.
四、解答题
41．（2023秋·高二课时练习）根据下列直线的倾斜角的取值范围，计算斜率的取值范围．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由斜率与倾斜角之间的关系，并结合正切函数单调性及值域，可得斜率；
（2）当倾斜角为钝角时，斜率为负值，由正切函数值域可得.
【详解】（1）根据斜率与倾斜角之间的关系，
利用正切函数单调性可知，正切函数在上单调递增，
又，
所以时，斜率，
即斜率的取值范围是.
（2）由正切函数性质可知，时，单调递增，
且趋近于时，趋近于，易知；
所以当时，斜率，
即斜率的取值范围是
42．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与x轴交于点A点，与y轴交于点B．
(1)若，求a的值；
(2)求直线l的倾斜角的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意，由的值分析直线的倾斜角，即可得直线的斜率，分析可得或，解可得a的值，即可得答案；
（2）根据题意，直线的斜率，分类讨论的范围，分析可得倾斜角的范围，综合可得答案.
【详解】（1）根据题意，直线，
其斜率，在轴上的截距为，
若，则，，则直线的倾斜角为，
则有，
变形可得，
解可得：，
若，则，，则直线的倾斜角为，
则有，
变形可得，
解可得：，
综上：或
（2）根据题意，直线的斜率，设直线的倾斜角为.
当时，，直线的倾斜角为，
此时直线与x轴没有交点，不符合题意；
当时，，
又由，当且仅当时等号成立，
必有，则有，则；
当时，，
又由，当且仅当时等号成立，
必有，则有，则；
综上所述：故的取值范围为.
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0