高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第4章 数列4.4 数学归纳法*习题

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1．数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的证明形式
记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1) P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．
结论：P(n)为真．
3. 数学归纳法中的两个步骤
在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明．
【题型归纳】
题型一：数学归纳法的定义
1．（2023下·陕西西安·高二期中）用数学归纳法证明“”时，第二步应假设（ ）
A．当时，成立
B．当时，成立
C．当时，成立
D．当时，成立
2．（2023下·河南驻马店·高二统考期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023下·四川成都·高二校考阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：数学归纳法证明恒等式
4．（2021·高二课时练习）用数学归纳法证明的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到的式子为 .
5．（2022·高二课时练习）用数学归纳法证明“”时，当时，应证明的等式为 ．
6．（2023上·高二课时练习）用数学归纳法证明以下恒等式：
(1)；
(2).
题型三：数学归纳法证明整除问题
7．（2022·高二课时练习）已知，存在自然数，使得对任意，都能使整除，则最大的的值为 ．
8．（2023·全国·高二随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数．
9．（2022·四川眉山·统考三模）将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题.
已知是数列前n项和，___________.
(1)求的通项公式；
(2)证明：对一切，能被3整除.
题型四：数学归纳法证明数列问题
10．（2023上·高二课时练习）已知数列：，，，…，，…，设为该数列的前项和.计算，，，的值；根据计算的结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法加以证明.
11．（2023上·高二课时练习）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．
(1)求，，，，；
(2)猜想的通项公式，并加以证明．
12．（2023下·北京房山·高二统考期末）已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为．
(1)计算，，，的值；
(2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明．
题型五：数学归纳法证明不等式
13．（2019·上海宝山·统考二模）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．（2022下·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知，用数学归纳法证明时，比多了 项．
15．（2022下·广西玉林·高二校联考期中）（1）请用分析法证明：；
（2） 用数学归纳法证明不等式：．
题型六：数学归纳法解决探究性问题
16．（2023上·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）已知函数.
(1)依次求，，的值；
(2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
17．（2022·高二课时练习）请观察下列三个式子：
①；
②；
③．
归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明．
18．（2022·高二课时练习）（1）分别计算：，，的值；
（2）根据（1）的计算，猜想的表达式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想．
【双基达标】
一、单选题
19．（2023下·上海·高二期中）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（ ）
A．假设正确，再推正确
B．假设正确，再推正确
C．假设正确，再推正确
D．假设正确，再推正确
20．（2023下·上海·高二期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ）
A．B．C．D．
21．（2023下·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（ ）
A．B．
C．D．
22．（2023下·高二课时练习）用数学归纳法证明时，由的假设证明时，不等式左端的变化是（ ）
A．增加项B．增加和两项
C．增加和两项，减少项D．以上结论均不正确
23．（2023下·北京·高二北京八中校考期中）在用数学归纳法证明的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（ ）
A．B．
C．D．
24．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．
25．（2023上·高二课时练习）用数学归纳法证明：
(1)；
(2)．
26．（2023·全国·高二课堂例题）设，．
(1)当时，计算的值；
(2)你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想．
【高分突破】
一：选择题
27．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明（，，是正整数），在验证时，左边所得的项为（ ）
A．1B．C．D．
28．（2022下·上海徐汇·高二上海市西南位育中学校考期末）用数学归纳法证明：“”，设，从到时（ ）
A．B．
C．D．
29．（2022·上海·高二专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（ ）
A．时不等式成立B．时不等式成立
C．时不等式成立D．时不等式成立
30．（2022上·上海·高二期中）已知是关于正整数n的命题，现在小杰为了证明该命题，已经证明了命题、、均成立，并对任意的且，在假设成立的前提下，证明了成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明对一切且均成立，则m的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．不存在
31．（2022上·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题.下列三个证明方法中，可以证明某个命题对一切正整数n都成立的是（ ）
①成立，且对任意正整数k，“当时，均成立”可以推出“成立”
②，均成立，且对任意正整数k，“成立”可以推出“成立”
③成立，且对任意正整数，“成立”可以推出“成立且成立”
A．②③B．①③C．①②D．①②③
二、多选题
32．（2023下·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期中）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ）
A．
B．
C．凸n边形的内角和为
D．凸n边形的对角线条数
33．（2022上·山东淄博·高三校联考阶段练习）小明和小童两位同学玩构造数列小游戏,规则是:首先给出两个数字1,10,然后小明把两数之积插入这两数之间得到第一个新数列1,10,10,再然后小童把每相邻两项的积插入此两项之间,得到第二个新数列1,10,10,100,10,如此下去,不断得到新数列．假设第n个新数列是:记:,则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
34．（2022·高二课时练习）下列结论能用数学归纳法证明的是（ ）
A．
B．
C．
D．
35．（2021下·江苏无锡·高二校考期中）对于不等式，某学生用数学归纳法的证明过程如下：
①当时，，不等式成立
②假设，时，不等式成立，即，则时，，∴当时；不等式成立．
关于上述证明过程的说法正确的是（ ）
A．证明过程全都正确
B．当时的验证正确
C．归纳假设正确
D．从到的推理不正确
36．（2021·高二课时练习）对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（ ）
A．过程全部正确B．时证明正确
C．过程全部不正确D．从到的推理不正确
三、填空题
37．（2023上·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上
38．（2023下·高二课时练习）已知，则 ．
39．（2023·高二课时练习）若，，（是正整数），写出数列的前几项后猜测 ．
40．（2022上·上海徐汇·高二位育中学校考期末）用数学归纳法证明等式时，第（ii）步从n=k到n=k+1时等式左边应添加的项是
41．（2022下·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）观察下列数表：
1
3 5
7 9 11 13
15 17 19 21 23 25 27 29
… … …
设1025是该表第m行的第n个数，则 .
四、解答题
42．（2023上·高二课时练习）已知数列满足尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
43．（2023上·高二课时练习）（1）依次计算下列各式的值：，，，．
（2）根据第（1）题的计算结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法证明相应的结论．
44．（2023上·高二课时练习）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误．
(1)设为正整数，求证：．
证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有．
那么当时，就有
．因此，对于任何正整数等式都成立．
(2)设为正整数，求证：．
证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有，
那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立．
根据（1）和（2），由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立．
45．（2023下·陕西西安·高二校考期中）设数列满足，.
(1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明；
(2)若数列的前项和为，证明：.