苏教版 (2019)选择性必修第一册5.1 导数的概念课后测评

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考点一：瞬时速度的定义
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(st0＋Δt－st0,Δt).
考点二：函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值eq \f(Δy,Δx)，即eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
考点三：函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
考点四：导数的几何意义
1．割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
考点五：导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
规律总结：
【题型归纳】
题型一：函数的平均变化率
1．（2023下·江西·高二校联考）已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为（ ）
A．1B．1.1C．2D．2.1
【答案】D
【分析】根据平均变化率的意义直接计算可得答案.
【详解】由题意得，故，
故，
即当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为2.1，
故选：D
2．（2023下·高二课时练习）设函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】C
【分析】根据平均变化率的定义求即可.
【详解】因为，
所以，，，，
所以函数在区间上的平均变化率，
函数在区间上的平均变化率，
所以，
故选：C.
3．（2023下·高二课时练习）当函数的自变量从变化到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）
A．在区间上的平均变化率
B．在处的变化率
C．在处的变化率
D．在区间上的变化量
【答案】A
【分析】由平均变化率的定义即可求解.
【详解】由平均变化率的定义知：当函数的自变量从变化到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间上的平均变化率.
故选：A
题型二：瞬时变化率理解
4．（2023下·湖北黄冈·高二校联考期中）已知质点M在平面上作变速直线运动，且位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系可用函数：表示，则该质点M在时的瞬时速度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解．
【详解】因为，
所以，
令，得瞬时速度为．
故选：A.
5．（2023下·陕西渭南·高二校考期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】根据导数的定义，直接代入求值.
【详解】根据导数的定义可知，
.
故选：B
6．（2023上·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（ ）
A．5cm/sB．6cm/sC．8cm/sD．10cm/s
【答案】C
【分析】利用导数的定义直接求得.
【详解】由，求导得：.
当时，，解得（舍去）.
故当时，液体上升高度的瞬时变化率为.
故选：C
题型三：导数（导函数）的理解
7．（2023下·河北沧州·高二统考期中）若，则可导函数在处的导数为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】根据已知可得出，然后根据导数的概念，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，.
根据导数的概念可知，在处的导数.
故选：A.
8．（2023下·高二课时练习）若非常数函数f(x)在x＝x0处存在导数，则（ ）
A．与x0，h都有关B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】根据导数的定义即可求解.
【详解】解：因为，
所以结果仅与有关，而与h无关，
故选：B.
9．（2023下·吉林·高二四平市实验中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对式子进行变形，结合导数的定义即可求解.
【详解】根据题意，，
，
则.
故选：B.
10．（2023下·江西·高二校联考阶段练习）若，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的定义将已知等式变形整理为，即可得答案.
【详解】由可得，
即，
故选：C
题型四：导数定义中的极限的简单计算
11．（2023下·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）若函数在处导数为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数的定义即可直接求解.
【详解】
,
故选：D.
12．（2023下·北京通州·高二通州区运河中学校考阶段练习）设函数，则（ ）
A．5B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据瞬时变化率的求解方法即可求解.
【详解】
故选：A
题型五：利用导数几何意义求斜率
13．（2023下·高二课时练习）曲线在点处的切线的倾斜角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用导函数定义求得导函数，根据切线的几何意义以及倾斜角的定义，可得答案.
【详解】，
所以.又切线的倾斜角的范围为，所以所求倾斜角为.
故选：C
14．（2023下·河南驻马店·高二统考期末）定义在上的函数在区间内的平均变化率为，其中，则函数在处的导数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用导数的定义可求得的值.
【详解】由导数的定义可得，
故选：B.
15．（2022·高二课时练习）设函数存在导函数，且满足，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据导数的定义及已知条件求，即可确定处切线的斜率.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
题型六：导数概念的综合问题
16．（2023·全国·高二随堂练习）利用导数定义求下列各函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)(6)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【详解】（1）由题意.
（2）由题意.
（3）由题意.
（4）由题意.
（5）由题意.
（6）由题意.
17．（2023·全国·高二随堂练习）（1）运用割线逼近切线的方法，分别求曲线在，，处的切线斜率．
（2）用割线逼近切线的方法，求曲线在处切线的斜率．
【答案】（1）在，，3处的切线斜率分别为0，，6．
（2）曲线在处切线的斜率为．
【分析】（1）（2）利用导数的定义直接计算即可．
【详解】（1）由题意，各点处导数即为曲线在该点处切线的斜率．
．
．
．
故在，，3处的切线斜率分别为0，，6．
（2）．
故曲线在处切线的斜率为．
18．（2023上·高二课时练习）自由落体运动中，物体下落的距离d（单位：m）与时间t（单位：s）近似满足函数关系．
(1)求物体在时间段内的平均速度；
(2)求物体在时的瞬时速度；
(3)求物体在时的瞬时速度．
【答案】(1)m/s
(2)m/s
(3)m/s；
【分析】（1）由平均速度计算公式即可知物体在时间段内的平均速度为m/s；
（2）根据导函数定义可知物体在时的瞬时速度为m/s；
（3）根据（2）中的结论可知将代入计算即可求得结果.
【详解】（1）由可知，第4s时的距离为；
第2s时的距离为；
所以平均速度为m/s
（2）根据导数的定义可知
；
所以物体在时的瞬时速度为m/s；
（3）由（2）的结论可知，物体在时的瞬时速度m/s；
【双基达标】
一、单选题
19．（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）设函数在处存在导数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的定义求解．
【详解】，
故选：A．
20．（2023上·北京·高二清华附中校考期中）已知函数，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.
【详解】作出函数的图象，如图所示.

由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.
由，得，即，
故选：C
21．（2023·全国·高二随堂练习）已知函数．
(1)当x从1变为2时，函数值y改变了多少？此时该函数的平均变化率是多少？
(2)当x从-1变为1时，函数值y改变了多少？此时该函数的平均变化率是多少？
(3)该函数变化的快慢有何特点？求该函数在，处的瞬时变化率．
【答案】(1),
(2),
(3)函数变化均匀，变化率为定值，，
【分析】根据函数的平均变化率计算即可解决（1）（2），由瞬时变化率的定义求（3）.
【详解】（1），，
故函数值y改变了，此时该函数的平均变化率是.
（2），，
函数值y改变了，此时该函数的平均变化率是.
（3）这个函数的变化是均匀，变化率为定值.
，
故函数的瞬时变化率为定值，
该函数在，处的瞬时变化率都为
22．（2023上·高二课时练习）自由落体运动的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系（g为重力加速度）．
(1)分别求、、这些时间段内自由落体的平均速度；
(2)求时的瞬时速度；
(3)求时的瞬时速度；
(4)借助（3）的结果，求时的瞬时速度．
【答案】(1)m/s；m/s；m/s
(2)m/s；
(3)m/s；
(4)m/s；
【分析】（1）根据平均速度的定义代入计算即可求出各时间段内的平均速度；
（2）利用瞬时速度的定义求出瞬时速率的表达式，将时间代入即可；
（3）将代入求解即可得出结果；
（4）将代入计算可得结果.
【详解】（1）在时间内，平均速度m/s；
在时间内，平均速度m/s；
在时间内，平均速度m/s；
（2）瞬时速度；
所以时瞬时速度为m/s；
（3）由（2）知，时的瞬时速度为m/s；
（4）当时的瞬时速度m/s；
【高分突破】
一、单选题
23．（2023下·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位m）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系．该运动员在s时的瞬时速度（单位：）为（ ）
A．10.9B．0.1C．6D．5
【答案】D
【分析】对函数求导，将代入导函数求瞬时速度即可.
【详解】由题设，则，
所以运动员在s时的瞬时速度（单位：）为.
故选：D
24．（2023下·江西萍乡·高二统考期末）已知函数在处可导，若，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的定义进行求解即可．
【详解】由已知得，
所以.
故选：C
25．（2023下·江西新余·高二统考期末）2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零.12分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记探测器与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平均变化率为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合平均变化率的计算公式，即可求解．
【详解】探测器与月球表面的距离逐渐减小，
则，
探测器的速度逐渐减小，
则,
故选：C
26．（2022上·云南红河·高二校考期末）若函数在处可导，则（ ）
A．B．
C．D．0
【答案】A
【分析】结合导数定义即可得.
【详解】由导数定义得：
，
即，
故选：A.
27．（2023下·北京海淀·高二统考期末）下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解.
【详解】对于A，在上的平均变化率为，
对于B，在上的平均变化率为，
对于C, 在上的平均变化率为，
对于D，在上的平均变化率为，
由于，故在上的平均变化率最大，
故选：B
28．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二统考期末）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义是函数零点近似解的初始值，在点处的切线方程为，切线与轴交点的横坐标为，即为函数零点近似解的下一个初始值.以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解.设函数，满足，应用上述方法，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得
在处的切线的方程，由,满足切线的方程，可得所求；
【详解】因为，导数为，
可得，，
可得在处的切线的方程为，
又因为，满足切线的方程，可得，
解得，
由得，，
故选：B
29．（2023下·福建泉州·高二校联考期中）已知点在函数的图象上，若函数在上的平均变化率为，则下面叙述正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为B．直线的倾斜角为
C．直线的斜率为D．直线的斜率为
【答案】A
【分析】函数在区间上的平均变化率的几何意义是曲线上两点，所在直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角.
【详解】在上的平均变化率为，，
在上的平均变化率就是直线的斜率，所以，
故直线的倾斜角为，
故选：A
二、多选题
30．（2023下·山东日照·高二校考阶段练习）设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（ ）
A．可以是正数也可以是负数，但不能为0
B．函数值的改变量为
C．函数在上的平均变化率为
D．函数在上的平均变化率
【答案】ABD
【分析】利用平均变化率的概念一一判定即可.
【详解】由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数，
函数值的改变量为，平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量，即A、B、D正确；
故选：ABD
31．（2023下·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
【答案】AC
【分析】利用图象可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；利用平均变化率的概念可判断C选项；利用平均变化率的概念可判断D选项.
【详解】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；
选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，
说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；
选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内，
血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确；
选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为
和，显然不相同，即选项D不正确．
故选：AC.
32．（2023下·高二课时练习）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（ ）
A．运动员在时的瞬时速度是
B．运动员在时的瞬时速度是
C．运动员在附近以的速度上升
D．运动员在附近以的速度下降
【答案】BD
【分析】求出时的瞬时速度,再结合瞬时速度的概念判断.
【详解】由已知，，
的瞬时速度为，
因此该运动员在附近以的速度下降，
故选：BD．
33．（2023下·江西·高二校联考阶段练习）过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】设出切点，利用导数的几何意义得出切线方程为，再利用条件得到方程，从而求出，进而可求出切线方程.
【详解】设切点为，因为，所以，故切线方程为，
又因为切线过点，所以，整理得，解得或，
当时，切线方程为，即，
当，切线方程为，即.
故选：BC.
三、填空题
34．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）设函数在处可导且，则 ．
【答案】
【分析】由导数的概念求解即可.
【详解】由.
故答案为：.
35．（2023下·内蒙古鄂尔多斯·高二校联考期末）已知质点运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系为，则质点在时刻的瞬时速度为 米/秒．
【答案】1
【分析】求出代入即可.
【详解】由题意得，所以，
即质点在时刻的瞬时速度为1米/秒．
故答案为：1.
36．（2023上·高二课时练习）请根据图中的函数图象，将下列数值按从小到大的顺序排列： ．

①曲线在点处切线的斜率； ②曲线在点处切线的斜率；
③曲线在点处切线的斜率； ④割线的斜率；
⑤数值； ⑥数值．
【答案】③⑤②④⑥①
【分析】通过图象观察各点处的瞬时变化率，即为切线斜率的范围；对比割线斜率和数值即可.
【详解】由图象可知：曲线在点处的瞬时变化率大于的变化率，则曲线在点处的切线斜率；
曲线在点处的瞬时变化率为正且小于的变化率，则曲线在点处的切线斜率；
曲线在点处的瞬时变化率为负，则曲线在点处的切线斜率；
割线的斜率为正且小于的变化率，则割线的斜率；
又曲线在点处的切线斜率小于割线的斜率，；
综上所述：按照从小到大的顺序排列为③⑤②④⑥①.
故答案为：③⑤②④⑥①.
37．（2023下·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为
【答案】
【分析】利用已知定义得到存在点，使得，转化为研究和的图象的交点个数，作出函数图象，即可得到答案.
【详解】由函数，则，
根据题意知，存在点，使得，即，
所以，
作出函数和的图象，如图所示，
由图象可知，函数和的图象只有一个交点，
所以只有一个解，即函数在上点的个数为个.
故答案为：.

四、解答题
38．（2023下·高二课时练习）在某场世界一级方程式锦标赛中，赛车位移单位：与比赛时间单位：的关系是求：
(1)，时的与
(2)时的瞬时速度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依据题给条件即可求得对应的与；
（2）利用瞬时速度定义即可求得时的瞬时速度．
【详解】（1）
．
；
（2）
．
则在时的瞬时速度为
39．（2023上·高二课时练习）从桥上将一小球掷向空中，小球相对于地面的高度h（单位：m）和时间t（单位：s）近似满足函数关系．问：
(1)小球的初始高度是多少？
(2)小球在到这段时间内的平均速度是多少？
(3)小球在时的瞬时速度是多少？
(4)小球所能达到的最大高度是多少？何时达到？
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)最高高度为，在1.5秒时达到.
【分析】（1）由解析式求当时的高度即可；
（2）根据平均速度的计算公式计算即可；
（3）根据瞬时速度的计算公式计算即可；
（4）利用二次函数的性质计算即可.
【详解】（1）当时，，即初始高度为；
（2）当时，，
所以平均速度为；
（3）由，
即时的瞬时速度是；
（4）由可得，当时，，
小球的最高高度为，在1.5秒时达到.
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数