数学选择性必修第一册5.2 导数的运算测试题

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考点一：基本初等函数的导数公式
考点二：导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2).
考点三：复合函数的导数
1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．
重难点规律归纳：
一：求复合函数的导数的步骤
二：利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
【题型归纳】
题型一：利用导数公式求函数的导数
1．（2023下·甘肃天水·高二天水市第一中学校）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据导数的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由，所以D错误.
故选：B.
2．（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期中）下列各式中正确的是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的导数公式判断即可.
【详解】对于A、B：，故A、B错误；
对于C、D：，故C错误，D正确；
故选：D
3．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).
【答案】(1)0(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
【分析】根据基本初等函数的导数公式求导即可.
【详解】（1），
.
（2）.
（3）.
（4），
.
（5），
.
（6）.
（7）.
（8）.
题型二：导数的运算法则
4．（2023下·甘肃武威·高二校联考期中）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的运算法则一一判定即可.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
5．（2022上·陕西延安·高二校考期末）求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解.
【详解】（1）由可得
（2）由可得
（3）由得
（4）由得
6．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导函数.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】根据函数的求导公式和四则运算即可求解.
【详解】（1），所以.
（2），所以.
（3），所以，.
（4），所以.
（5），所以.
（6），所以.
题型三：复合函数与导数的运算法则的综合应用
7．（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
(5)，
(6)，
【分析】利用复合函数求导法则，若，令，，则求解.
【详解】（1）令，因为，
所以.
（2）令，因为，
.
（3）令，因为，
.
（4）令，因为，
.
（5）令，因为，
.
（6）令，因为，

.
8．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据导数的四则运算法则，以及复合函数的求导法则，即可得出答案.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
9．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；
(6)；(7)(8)；(9).
【答案】(1)(2)(3)(4)
(5).(6)(7)(8)(9)
【分析】根据复合函数的求导法则计算可得答案
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）因为，所以，所以；
（9）
.
题型四：与切线有关的综合问题（切点、某点）
10．（2022上·陕西安康·高二校联考期末）已知函数，求
(1)
(2)
(3)曲线在处的切线方程
【答案】(1)
(2)
(3)y=
【分析】（1）由导数的运算法则求解即可；
（2）利用导函数计算即可；
（3）由导数的几何意义得出切线方程.
【详解】（1）
（2）
（3）当时，f(x)=0，则切点为
所以切线方程是，即y=
11．（2023下·河南驻马店·高二统考期中）已知函数.
(1)求曲线与直线垂直的切线方程；
(2)若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)或5
【分析】（1）求出切线的斜率，再写出切线方程；
（2）根据切线的斜率与直线的方程列方程组求解即可.
【详解】（1）因为斜率为，所以，
所以，又.
所以所求切线方程为，即.
（2），设切点的横坐标为，直线的斜率为，直线的方程：，
则
则，整理得，所以，
所以或5.
12．（2023下·北京·高二北京四中校考期中）已知函数.
(1)求函数在区间上的平均变化率；
(2)设，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；
(3)求过点且与曲线相切的直线方程.
【答案】(1)2
(2)1
(3)或
【分析】（1）根据平均变化率公式，即可求解；
（2）利用导数求的几何意义求切线斜率，利用斜率相等，即可求解；
（3）首先设切点，利用导数的几何意义求切线方程.
【详解】（1）函数在区间上的平均变化率为；
（2），，，
，，，
由题意可知，，得；
（3），设切点为，，
则曲线在点处的切线方程为，切线过点，
则，化简为，
即，则，
得或，
当时，切线方程为，
当时，切线方程为，
综上可知，切线方程为或.
【双基达标】
单选题
13．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）函数在处的导数是（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】先对函数求导后，再将代入导函数中可求得结果.
【详解】由，得，
所以函数在处的导数是，
故选：A
14．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）已知函数（是的导函数），则（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】先对函数求导，代入，求出的值，进而求解的值即可.
【详解】因为
所以定义域为.
所以
当时，，，则
故选：A
15．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）已知函数，则曲线在点处的切线经过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，由点斜式得切线方程，再由直线方程不受参数的影响找到定点.
【详解】因为，
所以，则，
又，直线过，
则直线方程为，即，
令，得，即直线不受参数的影响，恒过定点.
故选：A.
16．（2023上·江苏南京·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据基本函数的求导公式，及导数的运算法则和复合函数的求导法则，进行运算即可判断选项.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，根据复合函数的求导法则，
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
17．（2023上·河北·高三校联考阶段练习）设为的导函数，若，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导，令，求得，则可求，进而求出切线方程.
【详解】因为，
所以，
令，
，，
所以曲线在点处的切线方程为：，即.
故选：D
18．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】根据导数的运算法则求解即可.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4），.
（5）.
（6）.
（7）.
（8）.
19．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数在给定位置的切线的斜率：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用导数的运算法则求导，即可分别求得结果.
【详解】（1）由可得，
所以时，，
即在处的斜率为.
（2）由可得，
所以时，，
即在处的斜率为.
（3）由可得，
所以时，，
即在处的斜率为.
（4）由可得，
所以时，，
即在处的斜率为.
【高分突破】
一、单选题
20．（2023下·新疆伊犁·高二统考期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据题意利用洛必达法则求解即可
【详解】由题意得，
故选：B
21．（2023下·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）若函数的导函数为，则下列4个描述中，其中不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】结合函数的求导公式和求导法则，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】因为，
所以，项正确，D项错误.
故选：D
22．（2023下·甘肃兰州·高二兰州一中校考阶段练习）已知函数为的导函数，则（ ）
A．0B．8C．2022D．2023
【答案】B
【分析】利用导数以及函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】依题意，的定义域为，是偶函数.
令，是奇函数，
有，
则.
而，
所以.
故选：B
23．（2023下·广西玉林·高二校考阶段练习）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】按照题意，依次求解，寻找规律，得到答案.
【详解】，，
，，
，……，
依次计算，由于，
得到.
故选：C
24．（2023下·河南驻马店·高二统考期中）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，利用基本不等式及不等式的性质求出导函数的值域，即，从而求出倾斜角的取值范围.
【详解】因为，所以，
因为，当且仅当，即时取等号，
则，所以，即，
即，又，所以.
故选：A
25．（2023下·河北石家庄·高二校考阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合的图象，通过求切线方程的方法来求得的取值范围.
【详解】画出的图象如下图所示，
（1）设直线与的图象相切于点，如图，
当时，由解得，
即，即切点，
则，切线方程为.
（2）设直线与的图象相切于点，如图，
当时，由解得，
即，即切点，
则，切线方程为.
综上所述，结合图象可知的取值范围是.
故选：D

【点睛】方法点睛：利用导数求解曲线的切线方程，情况有两种，一种是已知切点的，另一种是已知斜率的，
不管是哪种情况，关键点都是两个，一个是切点，一个是斜率，切点既在切线上，也在曲线上，斜率可由切线方程得到，也可以由导数得到.
二、多选题
26．（2023下·福建·高二校联考期中）下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则逐项判断作答.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：CD
27．（2023下·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）下列各式中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据基本初等函数和积的导数、商的导数、复合函数的求导公式进行求导即可．
【详解】解：对于A，因为，故正确；
对于B，因为，故错误；
对于C，因为，故正确；
对于D，因为，故错误．
故选：．
28．（2023下·北京房山·高二统考期末）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据凸函数的定义，分别对各选项求二阶导，然后判断是否小于，从而得到正确选项．
【详解】对于A，，，
，
当时，，，恒成立，故A为凸函数；
对于B，对于，，，
当时，恒成立，故B为凸函数；
对于C，由，得，所以，
因为，所以恒成立，故C为凸函数；
对于D，对于，，，
当时，恒成立，故D不是凸函数.
故选：ABC.
29．（2023下·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）已知函数及其导函数的定义域均为，为偶函数，函数的图像关于对称，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据条件得出关于直线对称，关于对称，再利用原函数与导函数间的奇偶关系，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】因为为偶函数，所以关于直线对称，
又函数的图像关于对称，所以关于对称，
又，所以，得到，所以为偶函数，同理可得为奇函数，
选项A，因为，又与关于直线对称，所以，故选项A正确；
选项B，因为由题得不出，故没有，所以选项B错误；
选项C，因为为偶函数，所以，又与关于直线对称，所以，故选项C正确；
选项D，因为为奇函数，所以，
又为偶函数，所以，故选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题
30．（2023上·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）已知，，且，则 .
【答案】
【分析】对给定函数求导，再求出在3处的导数值即得.
【详解】由，求导得，则，由，求导得，
所以.
故答案为：
31．（2023下·山西晋中·高二校考阶段练习）已知直线与曲线相切于点，则 .
【答案】
【分析】利用导数的几何意义，结合导数的四则运算即可得解.
【详解】切点在曲线上，则，故，
而由得，
所以在点处切线的斜率为，
则切线方程为，又点在切线上，则，所以.
故答案为：.
32．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）设为函数的导函数，若，则 ．
【答案】4
【分析】由题意可得，令，分别求出、即可求解.
【详解】由题意知，令，则，
，令，
则，解得，
所以.
故答案为：4.
33．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）设函数在上的导函数为，已知，，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】利用求导法则构造新函数，解出代入不等式，运算即可得解.
【详解】解：由题意得，
∴，令，
则，
∵，∴
∴，
∴，
则有，解得，
所以，所求解集为.
【点睛】本题考查函数的导数的应用和一元二次不等式的解法，关键在于恰当构造函数.构造函数的主要思路有：
（1）条件中出现和时，适当转换后考虑根据商的求导法则令；
（2）条件中出现和时，适当转换后考虑根据积的求导法则令.
四、解答题
34．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)；
(11)；
(12)．
【答案】(1)
(2)原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)