数学九年级上册1.3 二次函数的性质随堂练习题

这是一份数学九年级上册1.3 二次函数的性质随堂练习题，共47页。试卷主要包含了基础四看，组合二看，取值计算，已知二次函数，如图，点在抛物线C等内容，欢迎下载使用。

知识点01：二次函数的图象与a，b，c的关系
学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．
1．基础四看
“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．
2．组合二看
（1）三全看点
在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c”，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．
（2）有缺看轴
当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．
3．取值计算
当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．
二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系．
（1）决定开口方向：当时抛物线开口向上；当时抛物线开口向下．
（2）共同决定抛物线的对称轴位置：当同号时，对称轴在轴左侧；当异号时，对称轴在轴右侧（可以简称为“左同右异”）；当时，对称轴为轴．
（3）决定与轴交点的纵坐标：当时，图象与轴交于正半轴；当时，图象过原点；当时，图象与轴交于负半轴．
（4）的值决定了抛物线与轴交点的个数：当时，抛物线与轴有两个交点；当时，抛物线与轴有一个交点；当时，抛物线与轴没有交点．
（5）的符号由时，的值确定：若，则；若，则．
（6）的符号由时，的值确定：若，则；若，则．
知识点02：二次函数图象的平移
由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的．在平移时，不变（图象的形状、大小不变），只是顶点坐标中的或发生变化（图象的位置发生变化）．平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即
．
因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，
注意：
（1）a 的绝对值越大，抛物线的开口越小．
（2）理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
知识点03：待定系数求解析式
用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式：
（1）已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式；
（2）已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式；
（3）已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式．
二次函数解析式的形式
一般式：
顶点式：
交点式
顶点在原点：
过原点：
顶点在y轴：
求二次函数（a≠0）的最值的方法
配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式
若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且
②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且
公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则
若a＞0，当x=时，函数有最小值，且
若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且
题型01 二次函数图象与各系数关系
【典例1】
（2023·上海·九年级假期作业）
1．已知二次函数的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】
（2022秋·天津河西·九年级天津市海河中学校考期末）
2．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】
（2022秋·广东广州·九年级统考期末）
3．已知，二次函数的图象如图所示，且该图象经过点．
(1)c______0（填“”、“”或“”）；
(2)直接写出时，自变量x的取值范围；
题型02 根据二次函数的对称性求函数值
【典例1】
（2023秋·九年级单元测试）
4．已知二次函数（a为常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】
（2023·浙江·九年级假期作业）
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点为 ．
【变式2】
（2023·上海宝山·一模）
6．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标．
题型03 二次函数的平移问题
【典例1】
（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）
7．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为( )
A．B．C．D．
【变式1】
（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）
8．函数的图象可由函数的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到．
【变式2】
（2023·全国·九年级假期作业）
9．如图，点在抛物线C：上，且在的对称轴右侧．坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．则点移动的最短路程是 ．

题型04 待定系数法求二次函数的解析式（一般式）
【典例1】
（2023·浙江·九年级假期作业）
10．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5B．y＝2x2+x+5C．y＝2x2﹣x+5D．y＝2x2+x﹣5
【典例2】
（2022·浙江·九年级专题练习）
11．已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（ ）
A．，﹣B．，C．1，2D．﹣1，2
【变式1】
（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）
12．已知二次函数的图像经过点和，求a、c的值．
题型05 待定系数法求二次函数的解析式（顶点式）
【典例1】
（2022秋·河北沧州·九年级校考阶段练习）
13．若二次函数图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】
（2022春·江苏·九年级专题练习）
14．与抛物线的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是的抛物线解析式是 ．
【变式2】
（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）
15．已知抛物线的顶点是，且经过点，求该抛物线的表达式．
题型06 待定系数法求二次函数的解析式（两点式）
【典例1】
（2022春·九年级课时练习）
16．已知二次函数中的满足下表：
根据表中信息，下列判断正确的是（ ）
A．开口向下B．当时，
C．图像的对称轴是直线D．函数最小值是
【变式1】
（2022·广东广州·二模）
17．抛物线经过点，，，则当时，y的值为（ ）．
A．6B．1C．-1D．-6
【变式2】
（2023·上海·九年级假期作业）
18．已知二次函数的图象经过点，且与y轴的交点的纵坐标为3，求这个二次函数的解析式．
题型07 抛物线与x、y轴的交点问题
【典例1】
（2023·天津河西·统考二模）
19．抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A．B．C．和D．和
【典例2】
（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）
20．将抛物线向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为 ．
【变式1】
（2023·山东枣庄·校考模拟预测）
21．二次函数的图象交x轴于点A，B．则点的距离为 ．
题型08 y=ax2+bx+c的最值
【典例1】
（2023·浙江·一模）
22．已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当时，函数的最大值是9．B．当时，函数的最大值是9．
C．当时，函数的最小值是．D．当时，函数的最小值是．
【典例2】
（2023·浙江·九年级假期作业）
23．已知二次函数（m为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为3，则m的值为（ ）
A．0或3B．0或7C．3或4D．4或7
【变式1】
（2023·山东临沂·统考一模）
24．设二次函数（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
(1)若A，B两点的坐标分别为，，求函数y的表达式及其图象的对称轴．
(2)若函数y的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值．
(3)若函数y的表达式可以写成（h是常数）的形式，当时，求函数的最小值．
A夯实基础
（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）
25．将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到二次函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
（2023·四川成都·校考三模）
26．如图，二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（ ）

A．B．当时，的值随值的增大而减小
C．D．函数值有最小值
（2023秋·浙江·九年级专题练习）
27．已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表：
判断方程的一个解的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
（2023·浙江·九年级假期作业）
28．已知抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为，它对应的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期末）
29．已知二次函数的图象经过点，则a的值为
（2021春·广东梅州·九年级校考期中）
30．抛物线经过点，且．则抛物线的对称轴是 ．
（2022秋·湖南益阳·九年级校考期中）
31．将抛物线向左平移3个单位，向上平移2个单位后得到抛物线，那么原抛物线的解析式为 ．
（2023·全国·九年级专题练习）
32．、、、、的图象及性质
（2023秋·全国·九年级专题练习）
33．已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．
（2022秋·河南商丘·九年级校考阶段练习）
34．已知二次函数．
(1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值；
(2)当时，求的值；
(3)当时，求的值．
B能力提升
（2023·浙江温州·校联考三模）
35．二次函数的图象过点与，，且是关于的方程的解，则下列选项正确的是( )
A．B．时，C．D．时，
（2023·陕西榆林·校考三模）
36．已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的几组数据如下：
若点是抛物线上不同的两个点，则的值为（ ）
A．3B．4C．D．
（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期末）
37．如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①若，则或；②．其中正确的是（ ）

A．①B．②C．都对D．都不对
（2023秋·全国·九年级专题练习）
38．已知函数在上有最大值9，则常数a的值是（ ）
A．1B．C．或D．1或
（2022秋·四川南充·九年级校考阶段练习）
39．把二次函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，再沿轴向左平移3个单位长度后，此时抛物线相应的函数表达式是 ．
40．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则k的范围是 ．
（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）
41．若点在抛物线上，则的值为 ．
42．在平面直角坐标系中，将抛物线绕点旋转，当时，y随x的增大而减小，则k的范围是 ．
（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）
43．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点．

(1)求b的值；
(2)求的面积．
（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）
44．已知二次函数．
(1)在所给的坐标系中画出这个函数的大致图象；
(2)利用函数图象直接写出：
①当时，x的取值范围是______；
②当时，y的取值范围是______．

C综合素养
（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）
45．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
①；②；③；④．其中正确的是（ ）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
（2023秋·全国·九年级专题练习）
46．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（ ）
A．1或3B．4或6C．3或6D．1或6
（2023秋·全国·九年级专题练习）
47．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（ ）
A．3或4B．1或6C．1或3D．4或6
（2023春·四川达州·九年级校考期中）
48．如图，二次函数的图象与轴的交点在与之间，对称轴为直线，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①；②；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则；⑤当时，随的增大而减小．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
（2023春·广西南宁·八年级统考期末）
49．函数的图象如下图所示，则关于x的方程的解为 ．

（2023秋·全国·九年级专题练习）
50．已知，是二次函数的图象上两点，当时，二次函数的值是 ．
（2023秋·全国·九年级专题练习）
51．如果二次函数图象对称轴为直线，那么二次函数的最小值是 ．
（2023春·安徽·九年级专题练习）
52．已知抛物线．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x= ；
（2）当时将点向右平移9个单位得到点B，直接写出线段与抛物线有两个交点时a的取值范围 ．
（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）
53．已知二次函数（m是常数，且）．
(1)证明：不论m取何值，该二次函数图象总与x轴有两个交点；
(2)若，是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数表达式和的值；
(3)若点，点也均在此函数图象上，且满足，求m的取值范围．
（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级统考阶段练习）
54．如图，已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接．

(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；
(2)若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围．
课程标准
学习目标
1．二次函数的性质
2．二次函数的解析式
3．二次函数的平移问题
1．掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式．
2．能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减性．
3．能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质．
…
…
…
…
对称轴
轴
轴
顶点
时，顶点是最低点，此时y有最 值；
时，顶点是最高点，此时y有最 值．
最小值(或最大值)为0或或．
增减性
(或)时，随的增大而 ； (或)时，随的增大而 ．即在对称轴的左边，随的增大而 ；在对称轴的右边，随的增大而 ．
(或)时，随的增大而 ； (或)时，随的增大而 ．即在对称轴的左边，随的增大而 ；在对称轴的右边，随的增大而 ．
1
3
2
2
参考答案：
1．B
【分析】根据二次函数的图象与解析式中字母系数之间关系解答即可．
【详解】解：A、图象的开口向下，则，此选项不符合题意；
B、对称轴在y轴右边且，则，此选项符合题意；
C、图象与y轴正半轴相交，则，此选项不符合题意；
D、，此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与各项系数间的关系，熟知二次函数的图象与各项字母系数之间关系是解答的关键．
2．C
【分析】由抛物线的对称轴的位置判断的符号，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定；当时，；然后由图象顶点坐标得出．
【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴，
∵，
∴，
故①错误；
②∵对称轴，
∴；
故②正确；
③∵，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
故③正确；
④根据图象知，当时，y有最小值；
当m为实数时，有
所以（m为实数）．
故④正确．
本题正确的结论有：②③④，3个；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于．
3．(1)；
(2)或．
【分析】（1）观察图象，抛物线与轴交点在轴下方，即可得到答案；
（2）观察函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：观察图象，抛物线与轴交点在轴下方，
，
故答案为：；
（2）解：根据函数图象，抛物线与轴的交点为、，
时，自变量x的取值范围为或．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
4．D
【分析】先确定对称轴，根据把点A的对称点确定，转化为对称轴同侧的点，根据抛物线开口向上，对称轴的右侧y随x的增大而增大比较即可．
【详解】解：因为二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，
所以对称轴，
设点A的对称点为，
所以，
解得，
因为抛物线开口向上，
所以对称轴的右侧y随x的增大而增大，
因为，
所以．
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线的开口方向，增减性，对称性，熟练掌握增减性是解题的关键．
5．
【分析】根据对称性得出抛物线与轴的另一个交点．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的相关知识．
6．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题．
（2）根据二次函数图象的对称性求得的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得的坐标．
【详解】（1）解：由题意得，，，．
，．
这个抛物线的表达式为．
（2）由（1）得，．
该抛物线的对称轴是直线．
点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，点的横坐标为，
的横坐标是4．
当时，．
．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．
7．B
【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线的顶点坐标为，则抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为，
∴平移后抛物线的解析式为．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握利用顶点的平移解决二次函数的平移问题．
8． 右 3 下 1
【分析】根据二次函数图象“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可．
【详解】解：函数的图象可由函数的图象沿轴向右平移3个单位，再沿轴向下平移1个单位得到，
故答案为：右，3，下，1．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．
9．5
【分析】先求出平移后的顶点，结合平移前的顶点，求出这两点间的距离即为所求．
【详解】解：平移后的抛物线的解析式为，
平移后的顶点，
平移前抛物线的顶点，
点移动的最短路程．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了抛物线的平移，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键．
10．A
【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．
11．A
【分析】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可．
【详解】解：根据题意得：
，解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
12．
【分析】直接把两个已知点的坐标代入得到关于a、c的方程组，然后解关于a和c的方程组求出a和c的值即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
13．C
【分析】设抛物线的解析式为利用待定系数法求出a即可解决问题．
【详解】解：设抛物线的解析式为
把点代入抛物线的解析式得到
抛物线的解析式为：
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键学会利用抛物线的顶点式解决问题，属于中考常考题型．
14．
【分析】根据题意，设抛物线的关系式为，将顶点代入即可求解．
【详解】解：∵形状与抛物线的图象形状相同，但开口方向不同，
∴设抛物线的关系式为，
将顶点坐标是代入，解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据题意设抛物线的关系式为是解题的关键．
15．
【分析】既然已知顶点，故设出顶点式，再将另外一个点的坐标代入即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点是，
∴可设抛物线的函数表达式为，
∵抛物线经过点，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，根据题目中的已知信息，选择合适的表达式的形式是解题的关键．当已知顶点坐标时，设顶点式；当已知任意三点坐标时，设一般式．
16．C
【分析】将的值代入二次函数中，确定的值，从而确定答案．
【详解】解：根据题意得，
当时，；当时，；当时，，
∴，解方程组得，，
∴二次函数的解析式是，函数图像如下所示，
∴图像的开口向上，选项不符合题意；
当时，，选项不符合题意；
图像的对称轴是，选项符合题意；
函数最小值是，不是，选项不符合题意，
故选：．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，并判断二次函数图像的特点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，分析二次函数图像的特点是解题的关键．
17．D
【分析】把点，，代入二次函数解析式进行求解，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，则；
故选D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解二次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
18．
【分析】根据题目信息设函数的解析式为交点式，代入与y轴的交点坐标进而求解.
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴设二次函数解析式为，把代入，可得．
∴这个二次函数的解析式为：．
【点睛】本题通过交点求二次函数的解析式，观察题目信息合理设出函数解析式更方便解题.
19．C
【分析】令，求出x的值，即可得出抛物线与轴的交点坐标．
【详解】解：令，则，
解得：，，
∴抛物线与轴的交点坐标为和
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点，熟练掌握抛物线与x轴交点的纵坐标为0是解题的关键．
20．6
【分析】根据平移规律得出平移后的二次函数的解析式为，令，求其解即可得抛物线与x轴的交点坐标，进而可得答案．
【详解】解：将抛物线向下平移8个单位长度后其解析式为，
当时，
解得：，，
∴抛物线与x轴的交点为，，
∴抛物线向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．
21．10
【分析】令，可得方程，解方程即可求解．
【详解】解：令，则，
解得，，
∴，，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴交点坐标的问题，掌握一元二次方程的求解方法是解答本题的关键．
22．C
【分析】根据二次方程的两根为和5，求出，的值，从而得出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【详解】解：二次方程的两根为和5，
，
解得，
二次函数，
，
当时，有最小值，最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的最值，关键是求函数解析式．
23．B
【分析】利用二次函数的性质，分三种情况求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，y的最小值为．
当时，在中，y随x的增大而增大，
∴，
解得：，（舍去）；
当时，y的最小值为，舍去；
当时，在中，y随x的增大而减小，
∴，
解得：（舍去），．
∴m的值为0或7．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，分三种情况求解是解题的关键．
24．(1)，其对称轴为
(2)
(3)当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值，当时，函数的最小值为．
【分析】（1）利用待定系数法计算即可．
（2）根据等式的性质，构造以b+c为函数的二次函数，求函数最值即可．
（3）分、、进行讨论，根据图像的性质得出结论．
【详解】（1）由题意，二次函数（b，c是常数）经过(-1，0)，(3，0)，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式．
∴ 图像的对称轴是直线．
（2）由题意，得，
又∵，
∴，
∴，
∴当时，的最小值是．
（3）当时，函数在上时，随增大而增大，当时，函数的最小值为，
当时，函数图像在有最低点，当时，函数的最小值为：，
当时，函数在时，随增大而增小，当时，函数的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的最值，对称性是解题的关键．
25．A
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可．
【详解】解：二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的二次函数表达式为，
即二次函数的表达式为．
故选A．
【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，掌握其平移规律是关键．
26．B
【分析】采用数形结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断、、的符号，把两根关系与抛物线与轴的交点情况结合起来分析问题．
【详解】解：抛物线的开口方向下，
．故A错误；
二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限，
对称轴，
当时，的值随值的增大而减小，
故B正确；
的图象与轴有两个交点，
，故C不正确；
，对称轴，
时，函数值有最大值，
故D不正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性，对称性，根据图象确定各项系数的符号以及式子的正负．
27．D
【分析】仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得．
【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根，
的一个解的取值范围为，
故选：D．
【点睛】本题考查图像法求一元二次方程的近似根，对题目的正确估算是建立在二次函数图像和一元二次方程关系正确理解的基础上．
28．D
【分析】设此抛物线的解析式为，根据抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，可知，再代入顶点坐标即可．
【详解】解：设此抛物线的解析式为，
∵抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，
∴，
∵顶点坐标为，
∴，，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
29．2
【分析】将坐标代入二次函数表达式即可求出a的值．
【详解】解：把代入函数解析式，得
，
解得．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．
30．
【分析】由求出抛物线经过点，又由抛物线经过点即可得到抛物线的对称轴．
【详解】解：当时，，
∵．
∴抛物线经过点，
∵抛物线经过点，
∴抛物线的对称轴是直线，
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线的对称性求出对称轴是解题的关键．
31．
【分析】根据抛物线平移的规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得：把抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位后得到原抛物线，
∴原抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，牢记“左加右减，上加下减”是解题的关键．
32． 小 大 减小 增大 减小 增大 增大 减小 增大 减小
【分析】根据二次函数的图象和性质可直接得出答案．
【详解】解：时，顶点是最低点，此时y有最小值；
时，顶点是最高点，此时y有最大值；
，（或）时，随的增大而减小；（或）时，随的增大而增大．即在对称轴的左边，随的增大而减小；在对称轴的右边，随的增大而增大；
，（或）时，随的增大而增大；（或）时，随的增大而减小．即在对称轴的左边，随的增大而增大；在对称轴的右边，随的增大而减小．
故答案为：小，大，减小，增大，减小，增大，增大，减小，增大，减小．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴的右侧，随的增大而增大；时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随的增大而减小．
33．
【分析】待定系数法求解析式即可．
【详解】解：抛物线过点和，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
34．(1)，，，
(2)77
(3)或
【分析】（1）形如的函数称为二次函数，根据此定义即可判断；
（2）把代入解析式进行计算即可得解；
（3）当代入解析式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：二次函数化为一般形式，
其中，，；
（2）解：当时，；
（3）解：当时，即，
解得或．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义以及求函数值，关键是要牢记二次函数的定义．
35．A
【分析】由二次函数解析式求得抛物线的开口向上，对称轴为直线，由是关于的方程的解，得到，可知点是抛物线的最低点，则．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线
∵是关于的方程的解，
∴，
∵二次函数的图象过点与，，
∴点是抛物线的最低点，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元一次方程的解，确定是抛物线的最低点是解题的关键．
36．B
【分析】根据表格中的点的坐标特点先确定对称轴，由抛物线的对称性即可求解；
【详解】解：观察表格中的、的值，可知、是对称点，
抛物线的对称轴是直线，
点，，是抛物线上不同的两点，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数的性质，解题的关键是观察表格数据确定抛物线的对称轴．
37．A
【分析】由顶点坐标可知抛物线的对称轴，据此即可求解．
【详解】解：由题意可知，抛物线的对称轴为直线
①如图所示：

∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线
∴二次函数的图象与直线的两个交点为
∴若，则或
故①正确；
②∵二次函数的图象的顶点是
∴
∵抛物线的对称轴为直线
∴
∴
故②错误．
故选：A
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质．数形结合是解题关键．
38．D
【分析】由解析式可确定抛物线对称轴，对参数取值分类讨论，开口向上或开口向下，分别在自变量取值范围内确定极值列方程求解.
【详解】解：∵二次函数解析式，
∴二次函数对称轴为．
①当时，二次函数开口向下，时，函数有最大值9．
∴，解得．
②当时，二次函数开口向上，在上有最大值9，
∴当时，函数最大值为9，即，解得．
综上分析，a的值为或1．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，注意根据二次函数性质对待定参数分类讨论是解题的关键．
39．
【分析】先把原二次函数解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可．
【详解】解：把二次函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，再沿轴向左平移3个单位长度后，
此时抛物线相应的函数表达式是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．
40．
【分析】根据题意，先求得二次函数的对称轴，根据题意即可求得的范围．
【详解】解：二次函数的对称轴为，
，
则二次函数的图象开口向上，
在对称轴的左侧，即时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而减小，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质，求得对称轴是解题的关键．
41．
【分析】根据二次函数图象上点的特征，再整体代入即可求出答案．
【详解】解：把点代入抛物线，
得，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的特征和整体代入思想，解题的关键是正确理解二次函数图象上点的特征，本题属于基础题型．
42．
【分析】先确定旋转后抛物线的开口方向和对称轴，再由题意列出关于k的不等式进行求解．
【详解】解：∵，，
∵原抛物线的开口向上，对称轴是直线，
∵将该抛物线绕点旋转后开口向下，
∵旋转后的对称轴为直线，开口向下，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质的应用能力，关键是掌握二次函数的图象和性质．
43．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据函数与方程的关系，当时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定b的值；
（2）先求两个函数的交点C的坐标，把代入中，求解一元二次方程，即可确定点C的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可．
【详解】（1）解：当时，
，
解得：，，
∴抛物线与x轴交于，
∵直线经过A点，
∴，
∴；
（2）解：把代入中得：，
整理得
解得：（舍），，
把代入，得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括二次函数与坐标轴交点，待定系数法确定一次函数解析式等，理解题意，熟练掌握二次函数及一次函数的基本性质是解题关键．
44．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）将二次函数化成顶点式可确定对称轴及顶点坐标，确定抛物线与x轴的交点，然后画出图象即可；
（2）①根据图象与x轴的交点坐标，可确定时，x的取值范围；
②根据图象与y轴和x轴的交点坐标以及顶点坐标，可确定时，y的取值范围．
【详解】（1）解：当时，，
∴抛物线经过原点，
∵，
∴顶点的坐标为，
当时，，
解得，
∴抛物线与x轴的交点为，
如图：
；
（2）解：①当时，x的取值范围是；
故答案为：；
②当时，，
∴当时，y的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围．
45．C
【分析】把代入抛物线即可得到，①正确；由时，，得到，由可得，进而可得，②不正确；根据对称轴列出不等式可得，③正确；由变形得到，然后根据可求得，④正确．
【详解】解：二次函数经过点，
，故①正确；
当时，，即，
，
，
，
解得，故②不正确；
对称轴为直线，，
，
∴，故③正确；
，
，
由图象可知，
，
∴，故④正确；
综上所述，正确的是①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，对称轴公式，与y轴的交点等知识，此类题目要注意利用好特殊自变量的函数值．
46．D
【分析】由题意，二次函数的对称轴为，且开口向下，则可分为三种情况进行分析，分别求出h的值，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
将代入得，
解得或1，
当时，，函数最大值为0，不符合题意，
当时，时，y随x增大而减小，时，函数取最大值，符合题意，
当时，，
解得或，
当时，，不符合题意，
当时，时，y随x增大而减小，时，函数取最大值，符合题意，
∴或6，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，确定对称轴的位置，进行分类讨论．
47．B
【分析】分，和三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，，对称轴为直线，
∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；
当时，则时，函数值y有最大值，
故，
解得：（舍去）；
当时，的最大值为0，不符合题意；
当时，则时，函数值y有最大值，
故，
解得：（舍去），．
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．
48．C
【分析】根据对称轴判断①；根据顶点坐标为可得，再根据与轴的交点在与之间确定c的范围，即可判断②；根据抛物线与x轴交点个数判断③；利用一元二次方程与二次函数的关系判断④；根据图象的增减性判断⑤．
【详解】解：二次函数的对称轴为，
，
故①正确；
函数图象开口向下，对称轴为，函数最大值为，
函数的顶点坐标为
当时，，
，
二次函数的图象与轴的交点在与之间，
，
，故②正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
，故③正确；
抛物线的顶点坐标为且方程有两个不相等的实数根，
抛物线与有两个交点，
，
，故④正确；
由图象可得，当时，随的增大而减小，故⑤错误．
所以，正确的结论是①②③④，共4个，
故选C．
【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，以及一元二次方程与二次函数的关系．
49．，
【分析】根据题意的值的解为函数与轴的交点，根据图像得到答案．
【详解】根据题意的值的解为函数与轴的交点．
根据图像发现函数与轴的交点，．
故程的解为，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查函数与轴的交点问题，从图像中得出有利信息是解题的关键．
50．
【分析】根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入函数关系式求得．
【详解】解：∵，是二次函数的图象上的两点，
又∵点A、B的纵坐标相同，
∴A、B关于对称轴对称，
∴
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点一定满足该函数的解析式．
51．
【分析】根据二次函数图象对称轴为直线，可以求得的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可求得函数的最小值．
【详解】解：二次函数图象对称轴为直线，
，解得，
，
当时，y取得最小值，此时．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质、最值，解答本题的关键是明确题意，求出的值，利用二次函数的性质解答．
52． 2 或
【分析】（1）利用对称轴公式求得即可；
（2）当时，求出抛物线顶点坐标为，由平移可得，当时，求出，根据抛物线与线段有两个交点，分情况列不等式组求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线，
∴对称轴是直线，
故答案为：2；
（2）当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵点向右平移9个单位得到点B，
∴，
当时，，
∵抛物线与线段有两个交点，
∴当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，a的取值范围为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，平移变换的性质等重要知识；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
53．(1)见解析
(2)二次函数的解析式为，；
(3)．
【分析】（1）只需证明恒大于0即可；
（2）由点，可知关于二次函数对称轴对称，则有二次函数的对称轴为直线，然后问题可求解；
（3）由题意易得二次函数的对称轴为直线，然后根据可知，进而问题可求解．
【详解】（1）解：根据题意：
∴不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；
（2）解：由题意可知点，关于二次函数的对称轴对称，
∴该二次函数的对称轴为直线，
∵该二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
把点代入得：，
解得：；
（3）解：由（2）可知二次函数的对称轴为直线，
∵，且该二次函数的图象开口向上，
∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
54．(1)二次函数解析式为，点M的坐标为
(2)
【分析】（1）把点A、C的坐标代入函数解析式，用待定系数法求出抛物线解析式，将解析式化成顶点式，可得点M的坐标；
（2）点M是沿着对称轴向下平移的，可先求出直线的解析式，再求出平移后的二次函数图象顶点落在上和落在上时m的值，进而可得答案．
【详解】（1）解：把点，点代入二次函数，得，
解得，
∴二次函数解析式为，
∵，
∴点M的坐标为；
（2）设直线解析式为，
把点，点代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点M的坐标为，抛物线对称轴为，
当时，，
∴当平移后的二次函数图象顶点落在上时，，
又∵点，轴，
∴当平移后的二次函数图象顶点落在上时，，
∴当平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界）时，m的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数顶点坐标的求法，二次函数的平移，一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握待定系数法，求出一次函数与二次函数的解析式是解题的关键．