苏教版 (2019)选择性必修第一册2.2 直线与圆的位置关系精练

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册2.2 直线与圆的位置关系精练，文件包含专题强化训练二直线和圆圆的位置关系的高频解答题必刷题25道原卷版docx、专题强化训练二直线和圆圆的位置关系的高频解答题必刷题25道解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

(1)求圆C的方程；
(2)已知过点的直线与圆C相交，被圆C截得的弦长为2，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求得线段AB的中点坐标和斜率，可得AB的垂直平分线的方程，与直线联立，可得圆C的圆心，求得，可得圆的半径，进而得到圆的方程；
（2）讨论直线的斜率不存在和存在，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线方程．
【详解】（1）线段AB的中点为，直线AB的斜率为，
所以线段AB的垂直平分线为，即，
由解得，
所以圆心为，半径为，
所以圆C的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，由，得，或，
即直线与圆C相交所得弦长为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由于圆C到的距离为，所以，解得，
所以．即，
综上所述，直线l2的方程为或
2．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点且与圆相切的直线方程．
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，圆心在线段的垂直平分线上，故联立两直线方程，求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程；
（2）设出切线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到切线方程.
【详解】（1）的中点为，，所以线段的垂直平分线方程为，
由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组的解，解之得
所以圆心的坐标是，圆的半径，
所以圆的标准方程是．
（2）由题意斜率不存在时不满足，所以设切线方程为即
由已知得解得
所以切线方程为和
3．（2022·江苏·高二期末）已知直线l过点，且______.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并完成解答（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.
①与圆相切；②倾斜角的余弦值为；③直线l的一个方向向量为.
(1)求直线l的一般方程；
(2)若由直线l上一点M引圆的切线，切点为N，求的最小值.
【答案】(1)；
(2)3
【分析】（1）若选①：根据点圆的关系，结合圆的切线性质进行求解即可；
若选②：根据同角的三角函数关系式，结合直线点斜式方程进行求解即可；
若选③：根据直线的方向向量的性质，结合直线点斜式方程进行求解即可.
（2）根据直线与圆的位置关系，结合圆的切线性质进行求解即可.
【详解】（1）选①，∵上，
点在该圆上，显然圆心到直线的距离为，
所以直线l斜率存在且唯一；
故设直线l为；
∵直线l与圆相切；
故圆心到直线l的距离等于半径；
∴；
∴直线l的一般方程为.
选②，设直线l的倾斜角为，则；
∴，故直线l的斜率为；
∵直线l过点；
∴；
∴直线l的一般方程为；
选③，∵直线l的一个方向向量为；
∴l的斜率；
∵直线l过点；
∴；
∴直线l的一般方程为；
（2）由题（1）知直线；
由圆，故圆心，半径为2；
因为圆心到该直线的距离为，
所以直线l圆C相离，
连接，则，即为直角三角形，
如下图所示：
∴；
∴当取得最小值时，最小.
∵的最小值即点C到直线l的距离，
即，此时，
∴的最小值为3.
4．（2022·江苏·高二期末）矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上.
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程；
(3)若点P为矩形ABCD外接圆上一动点，求点与点P距离的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据直线关系，建立斜率方程，求得对应斜率，利用点斜式公式，可得答案；
（2）根据矩形外接圆的性质，利用直线求交点，求得圆的半径和圆心，可得答案；
（3）先明确点与圆的位置关系，利用该点与圆心的距离与半径，可得答案.
【详解】（1）AD边所在直线与AB边所在直线垂直，所以，因为AB边所在直线的方程为，即，所以，又因为点在AD边所在直线上，所以AD边所在直线的方程为：，化简为：
（2）AB边所在直线与AD边所在直线相交于点A，联立得：，解得：，即，所以矩形ABCD外接圆的半径，所以矩形ABCD外接圆的方程为：
（3）因为.，点T在圆外,所以最小值为=
5．（2022秋·河南商丘·高二校考阶段练习）已知的斜边为，且．
(1)求直角顶点的轨迹的方程；
(2)直线与交于两点M，N，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出点坐标，利用向量数量积的运算列方程，化简求得轨迹的方程.
（2）利用勾股定理以及点到直线的距离公式列方程，由此求得的值.
【详解】（1）设，，，由已知得，
∴，化简得的方程为：.
（2）∵，圆的半径为2，
∴圆心到的距离为，
∴，解得.

6．（2023秋·江苏南通·高二校考期末）已知，直线，设圆C的半径为1，圆心在上.
(1)若圆心也在直线上，且过点的直线m与圆有公共点，求直线m的斜率k的取值范围；
(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 根据圆心在直线 上也在直线 上, 求得圆心坐标, 可得过 的圆 的切线方程，再由直线m与圆有公共点，可通过求出的取值范围.
(2) 设圆C的方程为 , 再设, 根据MA , 求得圆 , 根据题意, 圆 和圆 有交点, 可得, 即 , 由此求得的范围.
【详解】（1）因为圆心在直线上，也在直线上，
则由 , 求得 , 可得圆心坐标为 .
设过 的直线 方程为 , 即 ,
由题意可得 , 求得 .
（2）根据圆心在直线 上, 可设圆的方程为 .
若圆 上存在点 , 使 , 设 ,
, 化简可得 ,
故点 在以 为圆心、半径等于 2 的圆上.
根据题意, 点 也在圆 上, 故圆 和圆 有交点,
, 即 ，
求得 , 解得 .
7．（2021秋·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）已知圆，直线.
(1)若圆上至少有3个点到直线的距离为，求实数的取值范围；
(2)若直线与圆相交于两点，为原点且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将满足题意点的个数问题转化为半径的大小问题，进而求解；
（2）有两种方法：代数法和几何法，代数法是将圆与直线方程联立，消元，利用韦达定理，进而列式求解；几何法是利用弦长进行列式求解.
【详解】（1）圆方程化为，
圆的圆心到直线的距离，
若圆上至少有3个点到直线的距离为，则有，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）（方法一）将代入圆的方程得：，（*）
设，则，
又，
，
.
检验：当时，，且方程中，满足条件.
故.
（方法二）取中点，连接.则，连接.

由得，
由（1）知，
设，由得，
，所以，
，
，即.
8．（2021秋·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为，点．
(1)求四边形面积的最小值；
(2)直线是否过定点？若过定点，求此定点坐标；若不过定点，请说明．
【答案】(1)
(2)过定点，定点坐标为
【分析】（1）利用待定系数法求得圆的标准方程，再将四边形面积转化为，从而利用且求得最小值，由此得解；
（2）根据题意得四点共圆，进而得四点所在圆的方程，再根据弦是四点所在圆与圆的公共弦求得直线的方程，最后结合直线系方程即可求得定点.
【详解】（1）依题意，设圆的标准方程为：，
圆关于直线对称，，
圆与轴相切：，
点到的距离为：，
圆被直线截得的弦长为，，
所以，，
又，，，
圆的标准方程为：，圆心为，

与圆相切，
，，，易得，
所以，
圆心到直线的距离，
，即（当时取等号），
又，
（当时取等号），
四边形面积的最小值为.
（2）设，如图，与圆相切，
，，∴ ，
∴四点共圆，圆心为，半径为，
所以四点所在圆的方程为，即，
由题知弦是四点所在圆与圆的公共弦，
所以两圆相减，得直线的方程为,
又∵，
∴直线的方程为，即，
所以由直线系方程可知直线的方程过和的交点，
所以联立方程，解得，
所以直线过定点.
9．（2021秋·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）已知点和圆为圆上的动点.
(1)求的中点的轨迹方程；
(2)若，求线段中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出的坐标，利用代入法求得的轨迹方程.
（2）设的中点为，连接，利用勾股定理列方程，化简求得线段中点的轨迹方程.
【详解】（1）设点，
，整理得，
点在圆上，
，
整理得点的轨迹方程为.
（2）设的中点为，在中，，
设为坐标原点，连接，则，
，
.
故线段中点的轨迹方程为.

10．（2023秋·高二课时练习）在平面直角坐标系中：
①圆C过和，且圆心在直线上；
②圆C过三点．
(1)在①②两个条件中，任选一个条件求圆C的标准方程；
(2)在（1）的条件下，过直线上的点分别作圆C的两条切线，（Q，R为切点），求直线的方程，并求弦长．
【答案】(1)
(2),
【分析】（1）选①，根据圆心在直线上设出圆心，再利用圆心到圆上两点距离等于半径求解，选②，设圆的一般方程，代入圆上三点坐标，求解即可；
（2）由切线性质知四点共圆且为直径，写出圆的方程，两圆方程作差即可求出直线的方程，再由圆的几何性质求弦长即可.
【详解】（1）若选①.因为圆心在直线，设圆心，
则，
解得，故圆心为，半径为，
则圆的标准方程为；
若选②，设圆的方程为，
因为圆C过三点，
所以，解得，
所以圆的方程为，
可化为圆的标准方程为.
（2）由题意，，，则四点共圆且为直径，
因为，所以的中点为，，
所以以线段为直径的圆的方程为，
整理得：，
因为也在圆上
所以由两圆的方程作差得：，即，
故直线的方程为.
因为到直线的距离，
所以
11．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知圆O:x2+y2=1和定点T(2，1)，由圆O外一动点P(m，n)向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PT|.
(1)求证:动点P在定直线上，求出定直线的一般式方程;
(2)求线段PQ长的最小值，并写出此时点P的坐标.
【答案】(1)证明见解析，
(2)最小值为，P
【分析】（1）利用图形，建立等量关系，列式求得点满足的直线方程；
（2）由图形，将切线长表示为，代入坐标运算后，利用二次函数求最值，并求得点的坐标.
【详解】（1）证明:由得，
所以，
即
即动点P在定直线上；
（2）由(1)可得，
==
=，
故当时，，
即线段PQ长的最小值为，此时P.
12．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知圆.
(1)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
(2)若直线l过点且与圆C相交于M，N两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程.
【答案】(1)或；
(2)最大值为8，或.
【分析】（1）求出圆的圆心和半径，再由弦长，弦心距和半径的关系求出圆心C到直线l的距离，然后分直线l的斜率不存在和存在两情况讨论求解即可；
（2）设直线l的方程为，求出圆心C到直线l的距离，而的面积，从而可求出的面积的最大值，再由的值可求出，进而可求出直线方程.
【详解】（1）圆C的圆心坐标为，半径，
因为直线l被圆C截得的弦长为，所以由勾股定理得到圆心C到直线l的距离.
①当直线l的斜率不存在时，，显然不满足；
②当直线l的斜率存在时，设，即，
由圆心C到直线l的距离，得，
即，解得或，
故直线l的方程为或.
（2）因为直线l过点且与圆C相交，所以直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，即，
则圆心C到直线l的距离为，
又的面积，
所以当时，S取最大值8.
由，得，解得或，
所以直线l的方程为或.
13．（2022秋·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知圆，点A是圆C1上一动点，点，点C是线段AB的中点．
(1)求点C的轨迹方程；
(2)直线l过点且与点C的轨迹交于 M，N两点，若，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用中点坐标公式得到，再由点在圆得到，代入即可得到点C的轨迹方程；
（2）分类讨论直线l的斜率存在与否，利用弦长公式检验或求得斜率，从而可得直线l的方程．
【详解】（1）设点，
因为点C是线段AB的中点，
所以，即，
因为点在圆C1上运动，所以，
所以，即，
故点C的轨迹方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线l的距离为，
则，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，
则圆心到直线l的距离，
所以，解得，
所以直线l的方程为，
综上：直线l的方程为或．
14．（2022秋·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知圆经过点，，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若平面上有两个点，，点是圆上的点且满足，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.
（2）根据已知条件求得满足的方程联立即可求得的坐标.
【详解】（1）∵圆心在直线上，
设圆心，
已知圆经过点，，则由，
得
解得，所以圆心为，
半径，
所以圆的方程为；
（2）设，
∵在圆上，∴，
又，，
由可得：，
化简得，
联立
解得或.
15．（2022秋·江苏泰州·高二统考阶段练习）已知圆过点，，且圆心在直线：上.
(1)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程；
(2)若点在直线上运动，求的最小值.
【答案】(1)
(2)32
【分析】（1）求出直线的垂直平分线方程，与直线的方程联立可求圆心的坐标，求出点关于直线的对称点的坐标，根据反射光线必经过点和点，由两点式方程可求解；
（2）设点，则，利用两点间的距离公式及二次函数的性质可求解.
【详解】（1）圆过点，，故，的中点为，
直线的方程为，即，
所以直线的垂直平分线为，即.
因为圆心在直线：：上，且经过圆心，
由，得，即圆的圆心.
设点关于直线的对称点为，
，解得，，则，
则反射光线必经过点和点，
所以直线的方程为，即.
（2）设点，则.
又
，
当时，的最小值为32.
16．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点O的圆M（圆心M在第一象限）的半径为2，且与y轴正半轴交于点．
(1)求圆M的标准方程；
(2)设点B是直线上的动点，BC，BD是圆M的两条切线，C，D为切点，求四边形BCMD面积的最小值；
(3)若过点M且垂直于y轴的直线与圆M交于点E，F，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H（GH与EF不重合），求证：直线GH过定点．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】(1)由题意可得，设圆的标准方程为,再由圆过坐标原点O，与y轴正半轴交于点，求解即可.
(2)由题意可得四边形BCMD得面积，只需求出即可；
(3) 设点，，，因为，，由题意可得，再由点G，H在圆M上，分直线GH的斜率k存在与否，求出直线GH的方程即可得证.
【详解】（1）解：设圆的标准方程为,
由题意得，，
又因为圆过坐标原点O，与y轴正半轴交于点,
所以，
所以，解得，,
∴圆心M的坐标为，．
∴圆M的标准方程为；
（2）解：∵四边形BCMD得面积，
在中，，
要使四边形BCMD面积最小，则最小即可．
此时，∴，
∴，
∴四边形BCMD面积的最小值为．
（3）证明：设点，，，
由题意知：，，
∴，．
∴，
∴，①
∵点G，H在圆M上，
∴将和代入①整理得：
，②．
当直线GH的斜率k存在时，设直线GH的方程为，
联立，得．
，．
代入②整理得：．
∴，
解得或．
当时，直线GH的方程为，过定点；
当时，直线GH的方程为，过定点．
∵GH与EF不重合，∴点不合题意．
当斜率k不存在时，联立，解得，．
∴点适合．
综上，直线GH过定点．
17．（2023秋·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，．
(1)当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合点到直线得距离公式即可得解；
（2）要使得，则M在线段的中垂线上，从而可得线段的中垂线与圆C有公共点，则有圆心到直线得距离小于等于半径，从而可得出答案.
【详解】（1）当时，圆C的方程为，
圆心，半径，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足条件；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由直线l与圆C相切，则，解得，
所以l的方程为，即，
综上得，直线l的方程为或；
（2）圆心，，
则线段的中垂线的方程为，即，
要使得，则M在线段的中垂线上，
所以存在点M既要在上，又要在圆C上，
所以直线与圆C有公共点，
所以，解得，
所以．

18．（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）在以下三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解：
①圆经过点；②圆心在直线上；
③圆与直线相切；
已知圆经过点，且__________
(1)求圆的方程；
(2)已知点，问在圆上是否存在点，使得？若存在，求出点的个数；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案见解析；
(2)存在，符合题意的点的个数是2个．
【分析】（1）若选①，设圆的方程为，由条件列方程求可得结论；
若选②，先求直线的垂直平分线方程，与直线联立可求圆心坐标，再求圆的半径，由此可得圆的方程；
若选③，设圆的方程为，由条件列方程求可得圆的方程；
（2）设，由条件求点的轨迹方程，再求该方程与圆的交点个数即可.
【详解】（1）若选①，设圆的方程为，
由已知可得，
解得，
所以圆的方程为，
若选②，
由已知的中点为的斜率为，
所以的中垂线方程为：，即，
又因为圆心在直线上，
联立，可得，
所以圆心的坐标为，
半径为，
所以圆的方程为：；
若选③，设圆的方程为，
因为圆经过点，
所以，
因为圆与直线相切，
所以，
解得，
所以圆的方程为；
（2）设，
由已知，
，即，
点在圆上，
圆的圆心的坐标为，半径，
又因点在圆上，
圆的圆心的坐标为，半径，
又，，
所以，
圆与圆相交，两圆有两个公共点，
符合题意的点的个数是2个．
19．（2022秋·江苏南京·高二校考阶段练习）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程：
(2)若过点的直线m被圆C截得的弦长为，求直线m的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）利用几何法联立直线刚才得圆心，即可求解，
（2）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以线段的中点坐标为，
直线的斜率，
因此线段的垂直平分线方程是，即.
圆心的坐标是方程组的解.解得，
所以圆心的坐标.
圆的半径长
所以圆心为的圆的标准方程是；
（2）因为直线被圆截得的弦长为，
所以圆到直线的距离.
①当直线的斜率不存在时，，符合题意.
②当直线的斜率存在时，设，
即.
所以，解得
.
直线的方程为或
20．（2023秋·高二课时练习）已知圆，点．
(1)设，求过点且与相切的直线方程；
(2)已知直线与相交于M、N两点，过点作，垂足为．若恒成立，问是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)和；
(2)存在；定点， 为定值.
【分析】（1）由题可知过点作的切线有两条，然后分斜率存在和不存在讨论结合点到直线的距离公式即得；
（2）联立直线与圆的方程，利用韦达定理法结合可得恒过定点，进而可得Q的轨迹是以为直径的圆，结合条件即得.
【详解】（1）因为圆，圆心为，半径为2，，
由题知点在圆外，故过点作的切线有两条，
当切线斜率不存在时，，显然是的切线；
当切线斜率存在时，可设切线方程为，即，
由点到直线的距离公式可得：，
解得，即，
综上，可得切线方程为：和；
（2）因为直线与相交于M、N两点，
可设，，
联立得：，
由得，
所以，，
由得：，
∴整理得，
将代入得：，
所以，
∴，又∵，
∴即，
故直线过定点，设为，