所属成套资源:2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(苏教版2019选择性必修
苏教版 (2019)选择性必修第一册第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用课后作业题
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考点一:函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a,b)内的函数y=f(x):
考点二:利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域;
(2)求出导数f′(x)的零点;
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
考点三:函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上:
【题型归纳】
题型一:利用导数求函数的单调性(不含参)
1.(2023上·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末)函数的单调递增区间是( )
A.B.和C.D.
【答案】D
【分析】求导后,根据的正负可确定单调递增区间.
【详解】的定义域为,,
当时,;当时,;
的单调递增区间为.
故选:D.
2.(2023下·四川宜宾·高二校考期中)函数的单调增区间( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【详解】的定义域为,
,
令,解得,
故的单调递增区间为.
故选:A
3.(2023·全国·高二随堂练习)求下列函数的单调区间:
(1);
(2);
(3);
(4).
【答案】(1)单调递减区间为
(2)单调递增区间为和,单调递减区间为
(3)单调递增区间为,单调递减区间为和
(4)单调递增区间为,单调递减区间为
【分析】求导,根据导数的正负确定函数的单调区间即可.
【详解】(1),则,
∴函数的单调递减区间为.
(2),则,
由,得或,
当或时,;当时,,
∴函数的单调递增区间为和,单调递减区间为
(3),则,
由,得,
当时,;当或时,,
∴函数的单调递增区间为,单调递减区间为和.
(4),则,
由,得,
当时,;当时,,
∴函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
题型二:由函数的单调性求参数
4.(2023下·河南平顶山·高二统考期末)若函数在区间上单调递增,则k的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】关键函数在区间上单调递增,由在上恒成立求解.
【详解】解:因为函数,
所以,
因为函数在区间上单调递增,
所以在上恒成立;
即在上恒成立;
即在上恒成立;
所以,
故选:C
5.(2023下·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考阶段练习)已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】由题可知导函数在上恒大于等于零.再参变分离求解函数最值即可.
【详解】函数在上单调递增,
即在恒成立.
故,即在恒成立,
因为在上单调递减,
所以在处取得的最大值0,所以.
故选:A
6.(2023·宁夏银川·银川一中校考三模)若函数在区间上不单调,则实数m的取值范围为( )
A.B.
C.D.m>1
【答案】B
【详解】首先求出的定义域和极值点,由题意得极值点在区间内,且,得出关于的不等式组,求解即可.
【分析】函数的定义域为,
且,
令,得,
因为在区间上不单调,
所以,解得:
故选:B.
题型三:由函数在区间的单调性求参数
7.(2023下·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习)若函数在区间上单调递增,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】将已知转化为在区间上恒成立,解出即可.
【详解】由函数在区间上单调递增,
所以在区间上恒成立,即恒成立,
又函数在区间上单调递减,∴.
所以的取值范围是.
故选:C
8.(2023下·山东济宁·高二嘉祥县第一中学校考期中)若在上单调递增,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】由单调性可知在上恒成立,结合二次函数性质可得,由此可得的取值范围.
【详解】在上单调递增,在上恒成立,
在上单调递增,,解得:,
的取值范围为.
故选:D.
9.(2023下·江西九江·高二统考期末)已知函数,当时,恒有,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】由题意可得在区间上单调递减,进而得到在区间上恒成立,转化为在区间上恒成立,只需,进而求解即可.
【详解】当时,恒有,
可得在区间上单调递减,
则在区间上恒成立.
因为,所以在区间上恒成立,
而函数在区间上单调递减,
所以当时,,
所以,即,
所以的取值范围是.
故选:B.
题型四:函数与导函数图像的关系
10.(2023上·陕西西安·高二统考期末)是函数的导函数,的图象如图所示,则的图象最有可能是下列选项中的( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系,结合图象进行判断即可.
【详解】由导函数的图象可知:当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,只有选项C符合,
故选:C
11.(2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期末)如图所示是函数的导函数的图象,则下列判断中正确的是( )
A.函数在区间上是减函数
B.函数在区间上是减函数
C.函数在区间上是减函数
D.函数在区间上是增函数
【答案】A
【分析】根据导函数的正负决定了原函数的单调性,,原函数单调递增,,原函数单调递减,逐项分析判断即可.
【详解】对于选项A:当时,,则在上单调递减,故A正确;
对于选项B:当时,;当时,;
则在上单调递增,在上单调递减,故B错误;
对于选项C:当时,,则在上单调递增,故C错误;
对于选项D:当时,,则在上单调递减,故D错误;
故选:A.
12.(2023下·四川乐山·高二校考期中)已知函数的图象如图所示,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】根据函数图象判断其导数的正负情况,即可求得答案.
【详解】由函数的图象可知当或时,;
当时,,
等价于或,
故不等式的解集为,
故选:A
题型五:含参分类讨论函数的单调性
13.(2023下·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校)已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1)单调递减为,单调递增区间为
(2)答案见解析
【分析】(1)代入后,利用导数与函数单调性的关系即可得解;
(2)对求导,分类讨论与,得到的单调情况,从而得解.
【详解】(1)由题意得,定义域为 ,
则,
令,得;令,得;
所以在上单调递减,上单调递增
(2)由题可知函数的定义域为 ,
则,
(i)当时,则在定义域上恒成立,
此时函数在上单调递增;
(ii) 当时,
令,即,解得;
令,即,解得;
所以在上单调递减,上单调递增
综上,当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减,上单调递增.
【点睛】方法点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:
(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.
(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.
(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.
(4)考查数形结合思想的应用.
14.(2023下·广东江门·高二校考期中)已知函数.
(1)当时,求函数的单调增区间.
(2)当时,讨论函数的单调性.
【答案】(1)单调递增区间有和
(2)答案见解析
【分析】(1)当时,对相应求导(此时不含参),即可研究的单调增区间;
(2)直接对求导(此时含参),再结合即可进一步讨论的单调性.
【详解】(1)当时,,对其求导得,
令,注意到的定义域为,由此可以列出以下表格:
因此由以上表格可知:函数的单调增区间为和.
(2)对函数求导,得,
令,接下来对分两种情形来讨论:
情形一:当时,有,即在上单调递增.
情形二:当时,有,结合以上分析可列出以下表格:
由以上表格可知:在单调递增,在单调递减,在单调递增.
综上所述:当时,在上单调递增;当时,在单调递增,在单调递减,在单调递增.
【点睛】关键点点睛:第一问比较常规,而第二问的关键是要对进行分类讨论.
15.(2023下·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习)已知函数,.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)若时,都有,求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】(1)求出导函数,分和两种情况讨论,分析的正负即可确定函数的单调性;(2)分离参数,构造新函数,利用导数求得的最小值,即可得出的取值范围.
【详解】(1)因为,定义域为,.
①当时,令,解得.
即当时,,单调递增,当时,,单调递减;
②当时,在单调递增;
综上:当时,在单调递增,在单调递减;
当时,在单调递增.
(2)若时,都有,即,即恒成立.
令,则,,
令,所以,
当时,,单调递增,,
即,所以在单调递减,所以=,
所以.
【双基达标】
一、单选题
16.(2024·四川成都·成都七中校考一模)已知函数在其定义域上的导函数为,当时,“”是“单调递增”的( )
A.充要条件B.既不充分也不必要条件
C.必要不充分条件D.充分不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为函数在其定义域上的导函数为,
若当时,,则单调递增,故充分性成立;
若在上单调递增,则,
如,显然函数在上单调递增,但是,故必要性不成立;
故“”是“单调递增”的充分不必要条件.
故选:D
17.(2023下·河北沧州·高二校考阶段练习)函数的单调递减区间是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】求导,根据导函数的正负分析单调性即可.
【详解】,定义域为,令,解得,所以在上单调递减.
故选:D.
18.(2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中)若函数在区间内存在单调递减区间,则实数的取值范围是( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】由题意可知:存在,使得,利用参变分离结合存在性问题分析求解.
【详解】因为,
由题意可知:存在,使得,整理得,
且在上单调递减,则,可得,
所以实数的取值范围是.
故选:A.
19.(2023下·四川绵阳·高二盐亭中学校考阶段练习)若函数满足在上恒成立,且,则( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【分析】利用求导逆运算构造函数,由已知可得在上是增函数,根据函数单调性即可求解.
【详解】解:设,则,
由,可知,所以在上是增函数,
又,所以,即,
故选:B.
20.(2023下·福建龙岩·高二校联考期中)若函数的定义域为,满足,,都有,则关于的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】依题意可得,构造函数,利用导数说明函数的单调性,结合单调性将函数不等式转化为自变量的不等式,即可得解.
【详解】不等式,
依题意令,
,,
,
函数在上是增函数,又,
不等式,即,即,由函数单调性可知,
所以不等式的解集为.
故选:A.
21.(2023下·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的单调增区间.
【答案】(1);
(2),.
【详解】(1)利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程;
(2)利用导数即可求得函数的单调增区间.
(1),则
则,又,
则曲线在点处的切线方程为,即
(2),
则,
由可得或,
则函数的单调增区间为,.
22.(2023下·四川遂宁·高二射洪中学校考期中)已知函数在点处切线斜率为,且.
(1)求和;
(2)试确定函数的单调区间.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为,单调递减区间为
【分析】(1)求导,利用导数的几何意义,结合,进行求解即可;
(2)求导,利用导函数的符号变化确定函数的单调区间.
【详解】(1)函数,求导,
由,得
解得:.
(2)由(1)得,求导,
令,得,
当或时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;
的单调递增区间为,单调递减区间为.
23.(2023下·山东淄博·高二校考阶段练习)(1)已知函数,.在区间内是减函数,求的取值范围;
(2)已知函数.讨论的单调性.
【答案】(1);
(2)当时,函数单调递减,当时,函数在上单调递减,在 上单调递增.
【分析】(1)求导后利用分离参数法即可求出的取值范围;
(2)对函数求导,分类讨论不同情况时的导函数情况,即可得出的单调性.
【详解】(1)由题意,,
在中,,
函数在区间 内是减函数,
∴当 时, 恒成立,
即当 时, 恒 成立,
故当 时, 恒成立,
设,
根据对勾函数的单调性知,在上单调递减,
在上单调递增,且,,则,
∴当 时, ,解得:.
∴的取值范围是.
(2)由题意,
在中,
当时, 则 , 在 上单调递减.
当时, 由,解得 .
当 时, ;
当 时, .
∴ 在 上单调递减, 在 上单调递增,
综上,当时,函数单调递减,
当时,函数在上单调递减,在 上单调递增.
【高分突破】
一、单选题
24.(2023下·河南郑州·高二校联考期中)设,比较的大小关系( )
A.B.b
C.D.
【答案】C
【分析】由,构造、且,利用导数研究单调性比较大小关系.
【详解】由,
令且,则,
所以递减,则,故,则,
令且,则,
所以递减,则,故,则,
综上,.
故选:C
25.(2023下·安徽合肥·高二合肥工业大学附属中学校联考期末)设函数的定义域为,其导函数为,且满足,,则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】根据给定不等式构造函数,利用导数探讨单调性,求解不等式作答.
【详解】定义在上的函数的导函数为,,
令函数,求导得,即函数在上单调递减,
由,得,不等式等价于,解得,
所以不等式的解集是.
故选:D
【点睛】关键点睛:涉及给定含有导函数的不等式,根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数,再利用导数探求给定问题是解题的关键.
26.(2023下·四川绵阳·高二统考期中)已知函数,若,则实数的取值范围为( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【分析】探讨函数的奇偶性,再利用导数探讨其单调性即可求解不等式作答.
【详解】函数定义域为R,,即函数是奇函数,
又,因此函数在R上单调递增,
不等式,即,
于是,即,解得,
所以实数的取值范围为.
故选:D
27.(2023下·四川眉山·高二校考阶段练习)设函数是定义在上的偶函数,为其导函数.当时,,且,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】构造,得到在上单调递增,结合函数奇偶性得到在上单调递增,且,分与,根据函数单调性解不等式,得到解集.
【详解】令,因为是定义在上的偶函数,则在R上为奇函数,
在上恒成立,故在上单调递增,
又在R上为奇函数,故在上单调递增,
又,则,故,
当时,不等式等价于,即,解得,
当时,不等式等价于,即,解得,
所以不等式的解集为.
故选:A
28.(2023下·安徽安庆·高二校考阶段练习)定义在上的奇函数的图象连续不断,其导函数为,对任意正数恒有,若,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】由的奇偶性得到在上恒成立,进而得到在上单调递减,由为奇函数得到在R上单调递减,从而由单调性解不等式,求出解集.
【详解】因为为奇函数,所以,
对任意正数恒有,即,
故在上恒成立,
故在恒成立,
故在上单调递减,
定义域为R,又,故为奇函数,
所以在上单调递减,又的图象连续不断,
故在R上单调递减,
变形得到,
所以,解得,解得.
故选:D
二、多选题
29.(2023上·山西晋中·高三校考阶段练习)函数满足,则正确的是( )
A.B.
C.D.
【答案】AC
【分析】构造函数,求导得到递减,然后根据单调性比较大小即可.
【详解】令,则,从而递减,
则,即,,,.
故选:AC.
30.(2023下·山东淄博·高二校考阶段练习)已知,下列说法正确的是( )
A.在处的切线方程为B.的单调递减区间为
C.在处的切线方程为D.的单调递增区间为
【答案】BC
【分析】对于AC,利用导数的几何意义求解即可,对于BD,求导后由导数的正负可求出函数的单调区间
【详解】对于AC,,由,得,
所以切线的斜率,所以在处的切线方程为,所以A错误,C正确,
对于BD,函数的定义域为,,
由,得,解得,
由,得,解得,
所以在上递增,在上递减,所以B正确,D错误,
故选:BC
31.(2023下·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习)设函数,都是单调函数,其导函数分别为,,令,则下列说法中一定正确的是( )
A.若,,则单调递增B.若,,则单调递增
C.若,,则单调递减D.若,,则单调递减
【答案】AD
【分析】对于AD,根据导数与单调性的关系分析判断即可,对于BC,举例判断.
【详解】,若,则单调递增,故A正确;
若,则单调递减,故D正确;
取,则满足,,显然是常函数,不单调递增,故B不一定正确;
取,,则满足,显然是常函数,不单调递减,故C不一定正确.
故选:AD.
32.(2023下·江西新余·高二统考期末)设函数是函数的导函数,若,且当时,,令,则下列结论正确的是( )
A.为偶函数
B.为奇函数
C.在上为减函数
D.不等式的解集为.
【答案】ACD
【分析】根据奇偶函数的定义判断选项A、B,根据导函数判断单调性及偶函数性质判断选项C,利用抽象函数的单调性及偶函数性质解不等式判断D.
【详解】,定义域为,
因为,所以函数为偶函数,
故选项A正确,选项B错误;
由得,当时,,所以,
所以函数在上为增函数,
根据偶函数的性质知,函数在上为减函数,故选项C正确;
将不等式化为,即,
又函数函数为偶函数,且在上为增函数,所以,
所以,平方化简得,解得,
所以不等式的解集为,故选项D正确.
故选:ACD
33.(2023下·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习)已知函数,则( )
A.的图像关于对称B.的图像关于对称
C.在上单调递减D.
【答案】BD
【分析】首先求出的定义域,利用与判断出A错误B正确,利用特殊值判断出C错误,分别在与时讨论可判断出,所以D正确.
【详解】函数的定义域为;
因为不恒为零,故A错误;
因为,故B正确;
令,,
当时;当时,
所以.
因为,,
所以,故C错误;
因为关于对称,
当时,,且,所以,
当时,,
且,所以,故D正确;
故选:BD.
三、填空题
34.(2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中)若函数在区间上有单调递增区间,则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意转化为在上有解,分离参数后求函数最值即可得解.
【详解】,由题意在上有解,
即在上有解,
根据对勾函数的性质可知,在上单调递增,所以在时取最大值,
故,故实数的取值范围是.
故答案为:
35.(2023下·福建泉州·高二校考期中)已知函数满足,则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意,求得且,得到在区间上为单调递增函数,结合不等式,得出不等式组,即可求解.
【详解】由函数,可得函数的定义域为,
且,
所以函数在区间上为单调递增函数,
又由不等式,可得,即,
解得或,即实数的取值范围是.
故答案为:.
36.(2023下·陕西榆林·高二校联考期末)已知是定义在上的偶函数,当时,,且,则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】令,求导分析单调性,由为偶函数,可得为奇函数,分两种情况:,分析不等式的解集,即可得出答案.
【详解】令,所以,
因为当时,,,单调递增,
因为为偶函数,所以,
所以,所以为奇函数,f′(x)的正负
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f′(x)>0
单调递增
f′(x)
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