22，广东省揭阳市惠来县2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试题

这是一份22，广东省揭阳市惠来县2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试题，共24页。

（考试时间：120分钟；试卷满分：120分）
考卷信息：
本卷试卷共26题，单选12题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对较高，覆盖面题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 如图，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）

A. 点PB. 点QC. 点MD. 点N
【答案】C
【解析】
【分析】关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题．
【详解】解：∵与关于某点成中心对称，

∴对应点B和E的连线与对应点C和F的连线的交点M是对称中心．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质．
2. 八年级某班部分学生去植树，若每人平均植树4棵，还剩9棵，若每人平均植树5棵，则最后一名学生试卷源自 期末大优惠，全站资源一元不到！即将回复原价。有但棵数不足2棵．若设同学人数x人，则下列列式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设同学人数x人，则树有棵，根据题意列出一元一次不等式组即可．
【详解】解：设同学人数x人，则树有棵，由题意得：
，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确分析题目中的不等关系．
3. 若，则（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，，解得，，解得，，进而可求的值．
【详解】解：由题意知，，解得，
，解得，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
4. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A．，从左边到右边的变形是整式乘法计算，故A不符合题意；
B．，等式的右边不是几个整式的积的形式，故B不符合题意；
C．，从左边到右边的变形属于因式分解，故C符合题意；
D．，从左边到右边的变形是整式乘法计算，故D符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5. 已知a是有理数，下列结论正确的是( )
A. 若a0，则a20B. a20
C. 若a1，则a21D. 若a0，则a2a
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质对四个答案进行逐一分析即可．
【详解】A选项：正确；
B选项：当a=0时，不成立，故错误；
C选项：例如a=-2，a2=4＞1，故错误；
D选项：例如a=0.1，a2=0.01＜a=0.1，故错误；
故选A．
【点睛】考查的是不等式的基本性质，解题关键是举例法进行判断．
6. 如图，直线，点C、A分别在、上，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点B，连接若°，则∠1的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由作图得为等腰三角形，可求出，由得，从而可得结论．
【详解】解：由作图得，，
∴为等腰三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，求出是解答本题的关键．
7. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式组无解可得关于a的不等式，解不等式即可确定a的范围.
【详解】解：因为不等式组无解，所以，解得：.
故选A.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，根据题意得出关于a的不等式是解此题的关键.
8. 如图，是三个等边三角形（注：等边三角形的三个内角都相等）随意摆放的图形，则等于
A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°
【答案】D
【解析】
【详解】∵图中是三个等边三角形，
∴∠1=180°﹣60°﹣∠ABC=120°﹣∠ABC，∠2=180°﹣60°﹣∠ACB=120°﹣∠ACB，∠3=180°﹣60°﹣∠BAC=120°﹣∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°﹣180°=180°，
故选D．
点睛：本题考查的是等边三角形的性质、三角形的内角和，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．
9. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解是( )
A.
B
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．是整式的乘法，不是因式分解；
B．是因式分解；
C．结果不是整式的积的形式，不是因式分解；
D．结果不是整式的积的形式，不是因式分解；
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键．
10. 把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F，则线段AD1的长为（ ）
A. 5cmB. 5cmC. 17cmD. cm
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形性质求出AO＝CO＝AB，再求出OD1，然后利用勾股定理AD1＝，列式计算即可得解．
【详解】解：∵旋转角为15°，
∴∠OCB＝60°﹣15°＝45°，
∴∠COB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴CD1⊥AB，
又∵∠D＝30°
∴AO＝CO＝AB＝×6＝3（cm），
∴OD1＝DC﹣CO＝8﹣3＝5（cm），
在Rt△AD1O中，由勾股定理得，AD1＝＝＝2（cm）；
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图（见解析），先利用勾股定理、旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后利用勾股定理分别可得，由此即可得出答案．
【详解】如图，设AC与BE的交点为点O，连接CE，
，
，
由旋转的性质得：，
是等边三角形，
，
是线段AC的垂直平分线，
，
在中，，
在中，，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形是解题关键．
12. 如图，是边长为8的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是（ ）
A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5
【答案】A
【解析】
【分析】如图，取AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质和角的和差可得CD＝CG，∠DCF＝∠GCE，根据旋转的性质可得CE＝CF，然后即可利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，进而可得DF＝EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时EG最短，再根据30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，取AC的中点G，连接EG，
∵△ABC是等边三角形， AD是△ABC的对称轴，
∴AB=BC=AC=8，∠ACB=60°，
∴CD＝BC=4=CG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF＝60°，
又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，
∴∠DCF＝∠GCE，
又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，
在△DCF和△GCE中，
，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF＝EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×8＝4，
∴EG＝AG＝×4＝2，
∴DF的最小值是2．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短以及30°角的直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 不等式组的最大整数解为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】分别解不等式，再求交集即可得出不等式组的解集，最后再确定其最大整数解即可．
【详解】解：
分别解不等式得：
∴不等式组的解集为：
∴不等式组的最大整数解为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的知识点是不等式组的整式解，正确的求出不等式组的解集是解此题的关键．
14. 如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中的度数是______．

【答案】##90度
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理得到，再由对顶角相等得到，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，

由题意得，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算、对顶角的性质及三角形内角和定理，将实际问题转化成数学问题是解题的关键．
15. 如图，在中，，，点D在边上，，，则的长是__________．

【答案】4
【解析】
【分析】作于点E，可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质求出，得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得，进而可得答案．
【详解】解：作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，正确添加辅助线、熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
16. 把多项式bx2+2abx+a2b分解因式的结果是_____．
【答案】b（x+a）2
【解析】
【分析】先提取公因式b，再利用完全平方公式分解可得．
【详解】解：原式＝b（x2+2ax+a2）
＝b（x+a）2，
故答案为b（x+a）2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
17. 如图，在平面直角坐标系中，，线段是由线段绕点逆时针旋转而得到的，则点的坐标是_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作CM⊥x轴于M，根据旋转变换的性质可得△ABO与△BCM全等，再根据全等三角形对应边相等求出OB、CM的长度，然后根据点C在第二象限即可得出结论．
【详解】解：过点C作CM⊥x轴于M，则∠CMB=90°，
解：∵
∴OB=2，OA=4；
∵线段是由线段绕点逆时针旋转而得到
∴∠CMB=∠ABC=∠AOB=90°，BC=BA
∴∠ABO+∠OAB=90°，∠ABO+∠CBM=90°
∴∠OAB=∠CBM
∴△BCM≌△ABO，
∴BM=AO=4，CM=OB=2
∴OM=BM+OB=6
∵点C在第二象限，
∴C（-6，2）
故答案是：（-6，2）
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，利用全等三角形对应边相等求出点C到坐标轴的距离是解题的关键．
18. 为了表彰本学期表现优秀的同学，学校决定订购“荣耀王者”、“至尊星耀”、“永恒钻石”三种不同的奖励勋章共50枚，其中“荣耀王者”勋章的数量高于“至尊星耀”勋章的数量，“永恒钻石”勋章的数量不高于30枚．已知“荣耀王者”勋章每枚80元，“至尊星耀”勋章每枚60元，“永恒钻石”勋章每枚50元．实际购买时，“荣耀王者”勋章每枚降低了10元，其他勋章价格不变学校实际订购的三枚勋章数量也均有所改变，“荣耀王者”勋章的数量是计划的，“永恒钻石”勋章的数量是计划的，结果实际购进三种勋章共37枚，实际花费比计划少了940元，则学校原计划购进“荣耀王者”勋章 ___枚．
【答案】16
【解析】
【分析】设原计划购进“荣耀王者”勋章x枚，“永恒钻石”勋章y枚，则购进“至尊星耀”枚，根据题意列出关于的二元一次方程，由是整数，为整数，且为整数，可以取出符合的值，然后再根据题意列出不等式，找出符合题意的取值即可．
【详解】解：设原计划购进“荣耀王者”勋章x枚，“永恒钻石”勋章y枚，
则购进“至尊星耀”枚，
则原计划花费：，
实际花费：，
由题可知：，
即，
是整数，为整数，且为整数，
则或或或或．．．
根据题意可知，即，
则满足条件的的值为，
原计划购进原计划购进“荣耀王者”勋章16枚，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，得出关于的二元一次方程是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 【活动材料】若干个如图1所示的长方形和正方形硬纸片
【活动要求】用若干块这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．
例如，由图2，我们可以得到，
或．
【问题解决】
(1)选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出如图3的长方形，直接写出相应的等式______；
(2)尝试借助拼图的方法，把二次三项式分解因式，并把所拼的图形画在图4的虚线方框内．
(3)将分解因式：______（直接写出结果，不需要画图）．
【答案】(1)，或．
(2)方法不唯一，如图：
(3)．
【解析】
【分析】(1) 根据图形分析，正方形、长方形硬纸片8块拼成了一个大长方形的面积，利用面积相等求得等式；
(2)由代数式知这个图形由6块纸片构成，2个小正方形，1个大正方形，3个长方形，拼成一个大长方形，符合题意即可；
(3)依据代数式画出图形，注意式子中有一个减号，所以拼出来的图形是一个长方形，减去了一部分，然后根据图形可以分解因式．
【详解】(1) 如图，图中有1个小正方形，3个大正方形，4个长方形构成一个大长方形；
即1个面积为的小正方形，3个面积为大正方形，4个面积为的长方形的面积和，
等于长、宽分别为、的长方形面积．
所以：可以得到等式，
或．

(2)如图：代数式可以看作由2个小正方形，1个大正方形，3个长方形拼成的图形；
依题意画出图形，具体方法可以先把正方形摆好，留下的部分再用长方形填充．
(3) 如图：代数式
可以看作由2个大正方形减去3个长方形的；
此时多减去了1个小正方形再加上1个小正方形．
【点睛】本题考查了代数式的运算，几何图形面积的意义，通过图形拼凑来解；正确的拼图形，采用数形结合理解几何图形面积的意义是解题关键．
20. 在学习函数的过程中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程，根据你所经历的学习过程，现在来解决下面的问题：
在函数中，当x＝﹣1时，y＝4；当x＝﹣2时，y＝0．
（1）求这个函数的解析式；
（2）根据已描出的部分点，画出该函数图象，并写出该函数图象的一条性质；
（3）画出函数y2＝x+3的图象，然后直接写出方程ax3﹣bx+2＝x+3的近似解（精确到0.1）．
【答案】（1）y＝x3﹣3x+2
（2）图见解析，函数图象关于（0，2）成中心对称
（3）图见解析，x＝﹣1.8或x＝﹣0.2或x＝2.1
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）利用数形结合的思想解决问题即可．
【小问1详解】
解：由题意：，
解得，
∴函数解析式为y＝x3﹣3x+2；
【小问2详解】
解：函数图象如图所示：
观察图象可知：函数图象关于（0，2）成中心对称．
【小问3详解】
由图象可知：方程ax3﹣bx+2＝x+3的近似解为x＝﹣1.8或x＝﹣0.2或x＝2.1．
【点睛】本题考查函数的性质，中心对称，坐标与图形的性质，理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
21. 甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？
【答案】当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算
【解析】
【详解】根据题意，得，解得．
答：当购买椅子少于360把时，选择甲厂家合算．
22. 完成下列各题
（1）如图1，，点在上，且，则的度数为______；
（2）如图2，是的角平分线，于，于，连接交于点．
①求证：垂直平分线段；
②若的面积为8，，，求的长．
【答案】（1）
（2）证明见解析，的长为2
【解析】
【分析】（1）先设出的度数，再利用等边对等角和三角形的内角和定理求解即可；
（2）①先证明，再证明，可得，从而可得结论；②由的面积的面积，再建立方程求解即可．
小问1详解】
解：设，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
【小问2详解】
①∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分线段．
②∵的面积为8，，，，
∴的面积的面积，
∴，
∴，
解得：，
∴的长为2．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质，线段的垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练的利用角平分线的性质解题是关键．
23. 某企业举办职工足球比赛，准备购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多60元，三套队服与五个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过60套，则购买足球打八折．
（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？
（2）若购买100套队服和个足球，请用含y的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；
（3）在（2）的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？
【答案】（1）每个足球的费用为元，每套队服的费用为元
（2）到甲商场购买所需费用为元，到乙商场购买所需费用为：元
（3）当购买的足球数大于10而小于时，到甲商场购买比较合算；当购买个足球时，到两个商场所花费用相同；当购买的足球数大于时，到乙商场购买比较合算
【解析】
【分析】（1）设每个足球的费用为元，则每套队服的费用为元，根据三套队服与五个足球的费用相等，列出方程，求解即可；
（2）根据甲、乙商场的优惠方案，列出代数式即可；
（3）求出到甲，乙两个商场所花费用相同时，所购买足球的个数，再分和，两种情况进行讨论即可．
【小问1详解】
解：设每个足球的费用为元，则每套队服的费用为元，
由题意，得：，
解得：，
∴，
∴每个足球的费用为元，每套队服的费用为元；
【小问2详解】
解：由题意，得：
到甲商场购买所需费用为：（元）；
到乙商场购买所需费用为：（元）；
【小问3详解】
解：当时，即：；
即：当购买个足球时，到两个商场所花费用相同；
当，解得：，
即：当购买的足球数大于时，到甲商场所花费用大于到乙商场所花费用，因此到乙商场购买比较合算；
当，解得：，
即：当购买的足球数大于10而小于时，到甲商场所花费用小于到乙商场所花费用，因此到甲商场购买比较合算．
答：当购买的足球数大于10而小于时，到甲商场购买比较合算；当购买个足球时，到两个商场所花费用相同；当购买的足球数大于时，到乙商场购买比较合算．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．根据题意，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
24. 已知，点E在AB与CD之间．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，的平分线与的平分线相交于点F，试猜想与之间存在的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，的平分线与的平分线相交于点F，，用含m的式子表示的度数，并判断是钝角、锐角还是直角．
【答案】（1）见详解 （2）＝2
（3）180°-，是钝角
【解析】
【分析】（1）图1中，过点E作EG∥AB，则，根据，EG∥AB，所以CD∥EG，得出，进而；
（2）图2中，根据平分线与的平分线相交于点F，结合（1）的结论即可说明：＝2；
（3）图3中，类比（1）的结论，根据的平分线与的平分线相交于点F以及四边形内角和定理即可．
【小问1详解】
证明：如图1中，
过点E作EG∥AB，则，
∵，EG∥AB，
∴CD∥EG，
∴，
∴＋，
即．
【小问2详解】
解：＝2，理由如下：
如图2中，∵BF平分∠ABE，
∴，
∵DF平分，
∴，
∴
又由（1）得，
∴，
∴＝2．
【小问3详解】
解：180°-，是钝角，理由如下：
如图3，由（1）同理可得
∵平分 ，平分，
∴ ，
∵在四边形中，有360°
即360°，
又
∴180°-
∵，
∴
∴90°＜180°-＜180°
∴是钝角
∴180°-，是钝角
【点睛】此题主要考查了平行线的性质、角平分线、四边形内角和等知识的运用，解题关键是作辅助线构造内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
25. 已知，如图，△ABC为等边三角形，延长△ABC的各边，使得AE＝CD＝BF，顺次连接D，E，F，得到△DEF，求证：∠DEF＝60°．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由等边三角形的性质得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，得出∠EAF＝∠FBD＝∠DCE＝120°，作出AF＝BD＝CE，证明△AEF≌△BFD≌△CDE（SAS），得出EF＝FD＝DE，即可得出结论．
【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，
∴∠EAF＝∠FBD＝∠DCE＝120°，
∵AE＝BF＝CD，
∴AB+BF＝BC+CD＝AC+AE，
即AF＝BD＝CE，
在△AEF、△BFD和△CDE中，
，
∴△AEF≌△BFD≌△CDE（SAS），
∴EF＝FD＝DE，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
26. 在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭A，B之间的距离(A，B之间有水池，无法直接测量).智慧小组的同学们在公园里选了凉亭C，D，测得，.请你根据上述数据求出A，B之间的距离.
【答案】A，B之间的距离为.
【解析】
【分析】连接AC得到两个直角三角形△ACD、△ABC，先利用勾股定理求出线段AC的长，再利用勾股定理求出AB即可得到答案.
【详解】解：连接
在中，，
由勾股定理得
在中，，
由勾股定理得
答：A，B之间的距离为
【点睛】此题考查勾股定理实际应用，连接AC，将四边形转化为两个直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键.