49，陕西省宝鸡实验高级中学2024届高三下学期高考模拟文科数学数学（8）

这是一份49，陕西省宝鸡实验高级中学2024届高三下学期高考模拟文科数学数学（8），共10页。试卷主要包含了已知集合，则集合中的元素个数为，已知，是虚数单位，若，，则为，设，则，已知向量满足，且与夹角为，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则集合中的元素个数为( )
A．5B．4C．3D．2
【答案】D【解析】由已知得中的元素均为偶数， 应为取偶数，故 ，故选D.
2．已知，是虚数单位，若，，则为（ ）
A．或 B．C．D．不存在的实数
【答案】A【解析】由题得，故，故选A.
点睛：考查共轭复数的定义和复数的四则运算，属于基础题.
3．设，则( )
A．B．C．D．
【答案】A【解析】由题,,,,
则,故选：A
4．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：
电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为( )
A．25，25，25，25 B 48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，8
【答案】D【解析】因为抽样比为eq \f(100,20 000)＝eq \f(1,200)，所以每类人中应抽选出的人数分别为4 800×eq \f(1,200)＝24，7 200×eq \f(1,200)＝36，6 400×eq \f(1,200)＝32，1 600×eq \f(1,200)＝8.
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a3＋a4＝15，a7＝13，则S5＝( )
A．28 B．25 C．20 D．18
解析：选B.法一：设等差数列{an}的公差为d，由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝15，,a1＋6d＝13，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝2，))所以S5＝5a1＋eq \f(5×4,2)d＝5×1＋eq \f(5×4,2)×2＝25，故选B.法二：由{an}是等差数列，可得a2＋a4＝2a3，所以a3＝5，所以S5＝eq \f(5（a1＋a5）,2)＝eq \f(5×2a3,2)＝25，故选B.
6．已知向量满足，且与夹角为，则（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
【答案】B【解析】.试卷源自 期末大优惠，全站资源一元不到！即将回复原价。7．已知{an}为等比数列且满足a6－a2＝30，a3－a1＝3，则数列{an}的前5项和S5＝( )
A．15 B．31 C．121 D．40
[【答案】B【解析】因为{an}为等比数列且满足a6－a2＝30，a3－a1＝3，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1q5－a1q＝30，,a1q2－a1＝3，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1，,q＝2，))S5＝eq \f(1－25,1－2)＝31，数列{an}的前5项和S5＝31.
8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D【解析】
四个面的面积分别为，所以最大的是，故选D。
9．我国数学家邹元治利用下图证明了勾股定理，该图中用勾和股分别表示直角三角形的两条直角边，用弦来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【解析】设直角三角形的长直角边为，短直角边为，由题意，∵大方形的边长为，小方形的边长为，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，
∴满足题意的概率值为：.
10．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为( )
A． (2，0) B．(0，－2) C．(－2，0) D．(0，2)
【答案】D【解析】因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，即a＝－2p＋2q＝(2，4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．
11．在长方体中，与平面所成角的大小为，与平面所成角的大小为，那么异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【解析】由题得∠设AD=1,则在△中，由余弦定理得.因为,所以异面直线与所成角的余弦值是
12．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于两点．若，，则的方程为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A【解析】，，又，又，，
，，，，，在轴上．在△中，，在△中，由余弦定理可得，
根据，可得，解得，．所以椭圆的方程为：．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）
13．设满足约束条件，则的最小值为_______.
【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，
化目标函数为，由图可知，当直线过时，有最小值为．故答案为：．
14．若，则 =
【解析】因为，所以，整理得到，故.
15．函数的图像恒过定点，过点的直线与圆相切，则直线的方程是___________________．
【答案】或
【解析】当,即时,,即函数过定点.由圆的方程可得圆心,半径,当切线的斜率不存在时,直线方程为,此时直线和圆相切,当直线斜率k存在时,直线方程为,即,圆心到直线的距离,
即,平方的,即,此时对应的直线方程为,
综上切线方程为或.故答案为或.
16．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的解析式为____；对于满足的，的最小值等于____.
【答案】 【解析】的图象向右平移个单位后得：
函数＝＝，由于，所以，分别是f（x），g（x）最大值或最小值点的横坐标，不妨设f（x1）是最大值，g（x2）是最小值，则x1＝， ，由图象得的最小值为：
解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．如图，在棱长为1的正方体中，点在上移动，点在上移动，，连接.
（1）证明：对任意，总有平面；
（2）当为中点时，求三棱锥的体积
【解】（1）如图，作∥，交于点，作∥，交于点，连接
在与中，

，即四边形为平行四边形.
∴∥.
又∵平面 平面，∴∥平面.
（2）由（1）知当为的中点时，为的中点,
∴.
18．如图，在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cs∠ADC＝eq \f(1,7).
(1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长．
【解】(1)在△ADC中，因为cs∠ADC＝eq \f(1,7)，∠ADC∈(0，eq \f(π,2))，所以sin∠ADC＝eq \f(4\r(3),7)，所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC·cs B－cs∠ADC·sin B＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)－eq \f(1,7)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),14).(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝eq \f(AB·sin∠BAD,sin∠ADB)＝eq \f(8×\f(3\r(3),14),\f(4\r(3),7)) ＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs B＝82＋52－2×8×5×eq \f(1,2)＝49，所以AC＝7.
19．某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．
（1）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；
（2）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；
（3）已知该考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．
【解】 （1）数学成绩为二等奖的考生有12人，该考场的总人数为 人， 故该考场语文成绩为一等奖的考生人数为人；（2）设数学和语文两科的平均数和方差分别为，，，，， ，
，
，
因为，，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差；（3）由题意知两科均为一等奖的考生共有3人，仅数学为一等奖的考生有2人，仅语文为一等奖的考生有1人，把两科成绩都是一等奖的3人分别记为，只有数学一科为一等奖的2人分别记为，只有语文一科为一等奖的1人记为C，则在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人的基本事件有：，共有15个，
记“两人两科成绩均为一等奖”为事件M，则事件M包含的基本事件有，共3个，
， 故两人两科成绩均为一等奖的概率为．
20．已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间及极值；
（2）讨论函数的零点个数.
【解】由题得，函数的定义域为.（1）当时，，
所以，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.所以当时，有极大值，且极大值为，无极小值.（2）由，得.
当时，恒成立，函数单调递增，
当时，，
又，所以函数有且只有一个零点；
当时，令，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以的极大值为
，
①当，即得时，
解得，此时函数没有零点；
②当，即时，函数有1个零点；
③当，即时，
.
当时，令，
则在上恒成立，
所以，即，
所以，
故当且时，.
当时，有，
所以函数有2个零点.
综上所述：当时，函数没有零点；
当或时.函数有1个零点；
当时，函数有2个零点.
21．已知点F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，若点P（x0，4）在抛物线C上，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）动直线l：x＝my+1（mR）与抛物线C相交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D（t，0）（其中t≠0），使得kAD+kBD＝0，（kAD，kBD分别为直线AD，BD的斜率）若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
【解】（1）由题意得：抛物线的准线方程：，∵点P（x0，4）在抛物线C上，
，，，所以由题意：，解得：p＝2，所以抛物线C的方程：y2＝4x；（2）由题意得，假设存在D（t，0）使得，
设A（x，y），B（x'，y'），，整理得：，
，，
由得
，，时，使得，
即D点的坐标：（﹣1，0）．
（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋cs α，,y＝2＋sin α))(α为参数)，直线C2的方程为y＝eq \r(3)x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|).
【解】 (1)由曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋cs α，,y＝2＋sin α))(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，
则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcs θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C2过原点，且倾斜角为eq \f(π,3)，故其极坐标方程为θ＝eq \f(π,3)(ρ∈R)(tan θ＝eq \r(3))．(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ2－4ρcs θ－4ρsin θ＋7＝0，,θ＝\f(π,3)))得ρ2－(2eq \r(3)＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2eq \r(3)＋2，ρ1ρ2＝7，所以eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|)＝eq \f(|OA|＋|OB|,|OA|·|OB|)＝eq \f(ρ1＋ρ2,ρ1ρ2)＝eq \f(2\r(3)＋2,7).
23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．
解：(1)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4，x≤－1，,3x－2，－1＜x≤\f(3,2)，,－x＋4，x＞\f(3,2)，))
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由f(x)的表达式及图象知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝eq \f(1,3)或x＝5.
故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}；f(x)＜－1的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,3)或x＞5)))).
所以|f(x)|＞1的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,3)或1＜x＜3或x＞5)))).最喜爱
喜爱
一般
不喜欢
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