2024届广东省南海区中考一模数学试题及参考答案

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说明：1.全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟.
2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号.用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑.
3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上.
4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
5.考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1. 如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数与互为相反数的是（ ）
A. AB. BC. CD. D
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数和数轴．根据相反数的定义和数轴的定义即可得出答案．
【详解】解：的相反数是，
表示的数与互为相反数的是点．
故选：D．
2. 两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（ ）
A. 同位角B. 同旁内角C. 内错角D. 对顶角
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角，据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，
可知它们构成的一对角可以看成是同位角，
故选：A．
3. 国家统计局公布了2023年社会消费品零售情况，市场销售较快恢复，服务消费快速增长.社会消费品零售总额比上年增长7.2%，约为亿元.的原数为（ ）
A. 470B. 47000C. 470000D. 4700000
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，以及将科学记数法表示的数还原．将科学记数法表示的数转化成原数，进而得出答案．
【详解】解：=470000，
原数是470000．
故选：C．
4. 单项式表示球的体积，其中表示圆周率，r表示球的半径，下列说法正确的是（ ）
A. 系数是，次数是3B. 系数是，次数是3
C. 系数是，次数是4D. 系数是，次数是4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查单项式的相关概念，解题关键是理解相关概念．根据单项式系数和次数的概念即可得出答案．
【详解】解：的系数是，次数是3．
故选：B．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减和乘除运算，正确理解整式的加减和乘除运算的法则是解题的关键．根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，幂的运算法则即可判断答案．
【详解】选项A，与不是同类项，不能合并，故选项A错误，不符合题意；
选项B，，故选项B错误，不符合题意；
选项C，，故选项C错误，不符合题意；
选项D，计算正确，符合题意．
故选D．
6. 若，且a为整数，则a的值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算．先估算在哪两个整数之间，然后根据已知条件，求出即可．
【详解】解：，即，
，
，
故选：A．
7. 一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当时，，当时，氧气的密度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的定义、性质与运用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．根据题意可知一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，且已知当时，，故与的函数关系式是；把代入解析式即可求解．
【详解】解：设，
当时，，
∴，
∴，
∴与的函数关系式是；
当时，．
故选：C．
8. 如图，边长相等的正三角形和正五边形拼接在一起，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，等边三角形的性质，根据n边形内角和为求出，根据等边三角形的性质得到，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的等边三角形绕点O逆时针旋转后得到，依此方式，绕点O连续旋转4次得到，那么的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．先求出点的坐标，再根据旋转4次所得三角形中的点与点关于坐标原点成中心对称即可解决问题．
【详解】解：令与轴的交点为，

由旋转可知，
，，
又因为，
所以，
则
中，
，
所以点的坐标为．
按此方式再继续旋转3次，
则点在的延长线上，且，
即点与点关于坐标原点对称，
所以点的坐标为．
故选：D．
10. 如图，在菱形中，，，以为直径的圆与交于点E，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了弧长的计算，圆周角定理．取的中点，连接，根据菱形的性质得，，根据圆周角定理得，，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
菱形中，，，
，，
，，
∴的长是．
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11. 计算：______．
【答案】1
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算．首先计算开立方，然后计算减法，求出算式的值即可．
【详解】解：．
故答案为：1．
12. 比较大小：2___3．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞
【解析】
【分析】先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小关系．
【详解】解：，，
，
．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数的大小比较：对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有理数的大小比较．
13. 在中，，过点A作于D，若，则______．
【答案】7
【解析】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形三线合一的性质求解即可．
【详解】解：如图，
，，
，
，
，
故答案为：7．
14. 香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价______元．
【答案】80
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，利用总利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论．
【详解】解：设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，
根据题意得：，
整理得：
解得：
又∵要尽快减少库存，
∴，
∴每件应降价80元．
故答案为：80．
15. 如图，在矩形纸片中，点E在边上，点F在边上，将沿翻折，使点C落在处，为折痕；再将沿翻折，使点B恰好落在线段上的点处，为折痕，若，，，则的长度为______．
【答案】10
【解析】
【分析】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，勾股定理，根据折叠的性质求出是解题的关键．连接，根据矩形的性质及折叠的性质求出，，，，，设，则，，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，，
根据折叠的性质得，，，，，
，
，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，，，
，
在中，，
，
（负值已舍），
，
故答案为：10．
三、解答题（一）：本大题共5小题，每题5分，共25分.
16 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
【详解】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号内的分式减法，再把除数的分子分母分别分解因式，接着把除法变成乘法，然后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
18. 如图，已知，，是的中位线，其中点D在边上，点E在边上．

（1）用圆规和直尺在中作出中位线.（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，三角形的中位线定理，熟练掌握作线段的垂直平分线及三角形的中位线定理是解题的关键．
（1）作线段的垂直平分线，分别交，于点E，D，连结即可；
（2）根据三角形的中位线定理及可计算答案．
【小问1详解】
如图，线段为所求；
【小问2详解】
是的中位线，
．
19. 农历新年前，小龙打算和妈妈一起到商场采购贺岁迎新的饰品，预算买该饰品的金额是60元，下面是两人走到第二家商场时的对话，请根据对话，求出第一家商场该饰品的单价．
【答案】第一家商场该饰品的单价是10元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．设第一家商场该饰品的单价是元，则第二家商场该饰品的单价是元，根据用60元买该饰品，在第二家商场比在第一家商场少买2件，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设第一家商场该饰品的单价是元，则第二家商场该饰品的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一家商场该饰品的单价是10元．
20. 在学习完投影的知识后，小张同学立刻进行了实践，他利用所学知识测量操场旗杆的高度.
（1）如图，请你根据小张（）在阳光下的投影（），画出此时旗杆（）在阳光下的投影．
（2）已知小张的身高为，在同一时刻测得小张和旗杆的投影长分别为和，求旗杆的高度．
【答案】（1）见解析 （2）旗杆的高度为．
【解析】
【分析】本题考查作图应用与设计作图，设计平行投影，解题的关键是读懂题意，掌握平行投影的特征．
（1）连接，过作交于，线段即为所求；
（2）根据平行投影特征得：，即可解得答案．
【小问1详解】
解：连接，过作交于，如图：
线段即为所求；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
解得，
旗杆的高度为．
四、解答题（二）：本大题共3小题，21，22每题8分，23题10分，共26分.
21. 哈尔滨是一座极具魅力的现代化都市，由于地理环境和独特的文化气息，它被人们称为冰城、东方小巴黎、东方莫斯科，2023年冬季哈尔滨火爆出圈也算是老牌网红“翻红”.某校九年级数学兴趣小组就“最想去的哈尔滨市旅游景点”，随机调查了本校九年级部分学生，提供五个具体景点选择：A：冰雪大世界；B：中央大街；C：东北虎林园；D：亚布力滑雪度假区；E：极地馆；F：其他.要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，小明和小亮都准备今年冬季去哈尔滨旅游，他们恰好都选了冰雪大世界（只在五个具体景区中选择）的概率是______；
（2）这次调查一共抽取了______名同学；扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为______，并补全条形统计图；
（3）若九年级数学兴趣小组所在学校共有2400名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“冰雪大世界”与“中央大街”的学生总人数．
【答案】（1）
（2）60；，补全条形统计图见解析
（3）估计该校最喜爱“冰雪大世界”与“中央大街”的学生总人数约为1200名．
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）列表可得出所有等可能的结果数以及他们恰好都选了冰雪大世界的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（2）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得这次调查一共抽取的学生人数；用乘以本次调查中选择的学生所占的百分比，即可得旅游地点所对应的扇形圆心角的度数；求出选择的学生人数，补全条形统计图即可．
（3）根据用样本估计总体，用2400乘以样本中和的学生人数所占的百分比的和，即可得出答案．
【小问1详解】
解：列表如下：
共有25种等可能的结果，其中他们恰好都选了冰雪大世界的结果有1种，
他们恰好都选了冰雪大世界的概率为．
故答案为：；
【小问2详解】
解：这次调查一共抽取了（名同学．
扇形统计图中，旅游地点所对应的扇形圆心角的度数为．
选择的人数为（人．
补全条形统计图如图所示．
；
故答案为：60；；
【小问3详解】
解：（名，
估计该校最喜爱“冰雪大世界”与“中央大街”的学生总人数约为1200名．
22. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，连接，，其中，．
（1）求抛物线的表达式及的长；
（2）点D是线段上一动点，若，求点D坐标．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）把点、的坐标分别代入得到、的方程组，则解方程组得到抛物线解析式，然后解方程得到点坐标，从而确定的长；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，再根据三角形面积公式得到，即，然后解方程求出，从而得到点坐标．
【小问1详解】
解：把，分别代入得，
解得，
抛物线解析式为；
当时，，
解得，，
，
；
【小问2详解】
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
设，
，
即，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，（a，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
23. 【综合与实践】
如图1是某公司电梯安装的一款人脸识别门禁（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），如图2是其侧面示意图，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头离地面高度，人站在电梯内与识别门禁摄像头最远的水平距离为，点E代表人站的位置．
（1）小王的身高，当小王直立站在离摄像头水平距离最远处时，请通过计算说明这时小王能被识别吗？
（参考数据：，，）
（2）为了使该公司的员工在电梯内更方便使用人脸识别，调查统计了公司全体员工的身高，依次如表所示：
经计算，该组数据的平均数为，中位数为______．众数为______，你认为可以把该识别门禁的摄像头改装在离地面高度为______的位置，理由是__________________________________________．
【答案】（1）不能被识别，理由见解析
（2），和，或，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形、平均数、中位数、众数等知识点，解题的关键是深刻理解这些定义之间的区别．
（1）过E作，分别与、于点F，G，通过解直角三角形求得，然后可求得，最后与小王的身高相比较即可．
（2）根据表格中的数据即可确定中位数与众数．由于众数有两个，所以不适宜作为门禁的高度，而将平均数与中位数作为门禁，能够满足对绝大多数公司员工的人脸识别．
【小问1详解】
解：不能被识别
在中，，
∴，
∴，
∴小王不能被识别；
小问2详解】
中位数为，众数为和．
我认为应该改装在高度为或的位置都可以（其他数据如果理由充足也可以）；
理由：中位数更能代表这组数据的平均水平，能使更多的员工在更大区域内被识别；选平均数，因为只有一个人不能在最远距离被识别；不能用众数，因为身高为和的各有两个，数量并不多，且不能在最远距离被识别的人较多．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每题12分，共24分.
24. 如图1，在中，为的直径，点C为上一点，点D在劣弧上，交于E，连接．
（1）求证：；
（2），求；（用含m的代数式表示）
（3）如图2，的中点为G，连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1），，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可证明；
（2）根据锐角三角函数定义求出，根据勾股定理求出，则，最后根据相似三角形的性质即可得解；
（3）延长至点，使，连接，同理（2）求出，根据圆周角定理求出，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的判定与性质求解即可．
【小问1详解】
证明：为直径，
，
，
，
，
又，
；
【小问2详解】
解：在中，，
，
在中，，
，
，
；
【小问3详解】
解：延长至点，使，连接，如图2，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
的中点为，
，
，
即，
为中点，
是的中位线，
．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟记相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建直角三角形．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形，边，分别与x轴，y轴的正半轴重合，点D是对角线上的一点，过点D作，交x轴于点E，点F在射线上，且，连接，设点D坐标为．
（1）若点D的坐标为，求所在直线的表达式；
（2）求的最大值；
（3）如图2，延长与直线交于点G，当为等腰三角形时，求点G坐标．
【答案】（1）
（2）的最大值为4
（3）或
【解析】
【分析】（1）过点D作于点H，根据点D的坐标，可求得点F的坐标，再根据待定系数法，可求得所在直线的表达式；
（2）先证明，得到，进一步得到，延长与交于点I，可求得，根据二次函数的性质即得答案；
（3）当点G在边上时（如图2），先证明，利用三角函数即可求得和的长，即得点G的坐标；当点G在边的延长线上时（如图3），同样可求得，再利用三角函数即可求得和的长，即得点G的坐标．
【小问1详解】
如图1，过点D作于点H，
，
，
，
，
，
设直线的表达式为，
，
，
直线的表达式为；
【小问2详解】
四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
延长与交于点I，
∴四边形是矩形，
依题意得，
，
，
，
当时，有最大值为4；
【小问3详解】
当点G在边上时（如图2），
，
，
，
，
，
，
，
；
当点G在边的延长线上时（如图3），
如图3，，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，直角三角形的性质，二次函数的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识是解题的关键．
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
身高
155
158
158
160
160
162
164
165
166
167
170
175
182
185
190