2024年宁夏石嘴山市平罗中学高考数学三模试卷（文科）-普通用卷

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这是一份2024年宁夏石嘴山市平罗中学高考数学三模试卷（文科）-普通用卷，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2=x}，则−1与集合A的关系为( )
A. −1∈AB. −1∉AC. −1⊆AD. −1⊂A
2.已知复数z满足z(2+i)=3−i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是( )
A. 2B. −1C. 1D. 2i
3.已知平面向量a=(1,m),b=(−2,4)，且a//b，则m=( )
A. 2B. 12C. −12D. −2
4.命题“∃x0∈(0,π4)，sinx0A. ∀x∉(0,π4)，sinx≥csxB. ∀x∈(0,π4)，sinxC. ∃x0∉(0,π4)，sinx0≥csx0D. ∀x∈(0,π4)，sinx≥csx
5.下列函数中既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. y= x2B. y=x|x|C. y=x+1xD. y=x2−sinx
6.如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为( )
A. manB. namC. ma2nD. na2m
7.某班有学生50人，现将所有学生按1，2，3，…，50随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本(等距抽样)，已知编号为4，a，24，b，44号学生在样本中，则a+b=( )
A. 14B. 34C. 48D. 50
8.已知曲线y=axex+lnx在点(1,ae)处的切线方程为y=3x+b，则( )
A. a=e，b=−2B. a=e，b=2
C. a=e−1，b=−2D. a=e−1，b=2
9.已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，m⊂α，n⊂β，m⊥n，则m⊥β是α⊥β的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2−an=1+(−1)n，设其前n项和为Sn，则S100=( )
A. 2500B. 2600C. 2700D. 2800
11.将函数f(x)=sin(12ωx−π6)(ω>0)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.若g(x)在(0,π3)上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围为( )
A. (52,112]B. (52,4]C. (4,112]D. (112,7]
12.定义在R上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=ex−1，若关于x的方程f(x)=m(x+1)(m>0)恰有5个实数解，则实数m的取值范围为( )
A. (e−16,e−14)B. (e−16,e−15)C. (e−18,e−16)D. (0,e−1)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设x，y满足约束条件x≥0x−y≥0x+y≤2，则z=2x−y的最大值为______.
14.在各项均为正数的等比数列{an}中，a5a6=8，则lg2a4+lg2a7=______.
15.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，曲线C上的点M满足，F1M⋅F2M=0，∠MF1F2=π6，则双曲线的离心率为______.
16.已知正四棱锥的底面边长为2，高为4，它的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是______.
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人，某市医院传染病科在该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人的情况，并将调查结果整理如表：
(1)是否有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关？
(2)现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，再从6人中随机抽出2人作为医学研究对象并免费治疗，求2个人中恰有1个人患有慢性疾病的概率.
附表：
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d)
18.(本小题12分)
已知a=(csx,sinx)，b=(csx, 3csx)，函数f(x)=a⋅b.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边长，若f(A)=1，b=1，△ABC的面积为 32，求a的值．
19.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB=BC= 5，AC=AA1=2.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求点D到平面ABE的距离．
20.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为 3，且过点(2,0).
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y=kx+m(k≠0)交椭圆C于A，B两点，且线段AB的中点M在直线x=12上，求证：线段AB的中垂线恒过定点N.
21.(本小题12分)
设函数f(x)=−x2+ax+lnx(a∈R).
(1)若a=1，求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数f(x)在[1e,e]上有两个零点，求实数a的取值范围.(其中e是自然对数的底数)
22.(本小题10分)
以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+π3).在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点(0,3)，且倾斜角为120∘.
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
(2)设点M的直角坐标为(0,3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|+|MB|的值.
23.(本小题12分)
已知f(x)=|x−2m|+|x+1|.
(1)当m=1时，求不等式f(x)≤5的解集；
(2)若∀x∈R，f(x)≥4恒成立，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为集合A={x|x=0或1}={0,1}，
故A错误，B正确，
又因为元素与集合是属于关系，故C，D错误，
故选：B.
先求出集合A，然后根据元素与集合的关系即可判断．
本题考查了集合与元素的关系的应用，考查了学生的分析能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：复数z=3−i2+i=(3−i)(2−i)(2+i)(2−i)=1−i，则复数z的虚部是−1.
故选：B.
化简复数z，可得复数z的虚部．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：平面向量a=(1,m),b=(−2,4)，且a//b，
则−2m=4，解得m=−2.
故选：D.
根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.
根据含有量词的命题的否定即可得到结论.
【解答】
解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以：∃x0∈(0,π4)，sinx0故选：D.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
利用函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．
【解答⋅】
解：对于A，y= x2为偶函数，不符合题意；
对于B，y=x|x|=x2,x≥0−x2,x<0为奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；
对于C，y=x+1x为奇函数，在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，不符合题意；
对于D，y=x2−sinx为奇函数，y′=12−csx，当x∈(0,π3)时，y′=12−csx<0，函数y=x2−sinx在(0,π3)上单调递减，不符合题意．
故选：B.
6.【答案】C
【解析】解：∵由题意知在正方形中随机投掷n个点，若n个点中有m点落入Ω中，
∴不规则图形Ω的面积：正方形的面积=m：n
∴不规则图形Ω的面积=mn×正方形的面积
=mn×a2
=ma2n.
故选C.
根据落到不规则图形Ω和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值．
本题考查几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．
7.【答案】C
【解析】解：∵样本容量为5，∴样本间隔为50÷5=10，
∵编号为4，a，24，b，44号学生在样本中，
∴a=4+10=14，b=24+10=34，
∴a+b=48.
故选：C.
求出样本间隔即可得到结论．
本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔即可，比较基础．
8.【答案】C
【解析】解：由y=axex+lnx，得y′=aex+axex+1x，
由题意，2ae+1=3ae=3+b，解得a=e−1，b=−2.
故选：C.
求出原函数的导函数，得到函数在点(1,ae)处的导数值，由斜率相等及切点在切线上列关于a，b的方程组求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
9.【答案】A
【解析】解：m⊥β，m⊂α，所以α⊥β，所以m⊥β是α⊥β的充分条件；
α⊥β，m⊂α，n⊂β，m⊥n，只有m垂直于两个平面的交线时，则m⊥β，所以m⊥β是α⊥β的不必要条件．
所以m⊥β是α⊥β的充分不必要条件．
故选：A.
由线面垂直的性质可证得面面垂直，但是面面垂直时，只有一个面内的直线垂直于交线，才有线面垂直，判断出m⊥β是α⊥β的充分不必要条件．
本题考查直线与平面垂直的性质的应用及面面垂直性质的应用，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】解：若n=2k−1，k∈N*，则a2k+1=a2k−1+1+(−1)2k−1=a2k−1，
若n=2k，k∈N*，则a2k+2=a2k+1+(−1)2k=a2k+2，
所以数列{an}的偶数项构成以2为首项，公差为2的等差数列，奇数项构成常数数列，
S100=50×1+(50×2+50×492×2)=2600.
故选：B.
由分组求和法以及等差数列求和公式即可求解．
本题主要考查分组求和法，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题..
11.【答案】C
【解析】解：将函数f(x)=sin(12ωx−π6)(ω>0)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，可知，g(x)=sin(2ωx−π6)，
∵0∴−π6<2ωx−π6<2ωπ3−π6.
又g(x)在(0,π3)上有且仅有3个极值点，
∴5π2<2ωπ3−π6≤7π2，
解得4<ω≤112，
∴ω的取值范围为：(4,112].
故选：C.
依题意，可得g(x)=sin(2ωx−π6)，再利用正弦函数的性质可求得ω的取值范围．
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】A
【解析】解：因为f(1+x)=f(1−x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，
又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=0对称，
作出函数y=f(x)与函数y=m(x+1)的图象如图所示，
若关于x的方程f(x)=m(x+1)(m>0)恰有5个实数解，
则函数y=f(x)与函数y=m(x+1)的图象有5个交点，
所以6m>e−14m故选：A.
通过已知得出f(x)的两条对称轴为直线x=1，直线x=0，由此可在同一平面内作出函数y=f(x)与函数y=m(x+1)的图象，结合已知列出不等式组即可求解．
本题考查了函数的奇偶性、对称性，考查了数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
13.【答案】4
【解析】解：作出可行域如下：
由z=2x−y可得y=2x−z，由图可知当直线y=2x−z过点(2,0)时，
−z最小，则z最大，此时z=2x−y=2×2−0=4.
故答案为：4.
由题意画出可行域，利用目标函数的几何意义结合图象即可求解．
本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是基础题．
14.【答案】3
【解析】解：各项均为正数的等比数列{an}中，a5a6=8，
所以a5a6=a4a7=8
则lg2a4+lg2a7=lg2(a4a7)=lg2(a5a6)=lg28=3.
故答案为：3.
由已知结合等比数列的性质及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质及对数的运算性质的应用，属于基础题．
15.【答案】 3+1
【解析】解：因为F1M⋅F2M=0，∠MF1F2=π6，所以MF1⊥MF2，
又|F1F2|=2c，所以|MF1|= 3c，|MF2|=c，
所以|MF1|−|MF2|= 3c−c=2a，
则e=ca=2 3−1= 3+1，即双曲线的离心率为 3+1.
故答案为： 3+1.
利用向量垂直的性质和直角三角形的性质，可得|MF1|= 3c，|MF2|=c，结合双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．
本题考查双曲线的定义和性质，以及向量垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】814π
【解析】解：如图所示的正四棱锥P−ABCD，设点O为球心，O1为底面中心，连接OA，
设OO1=x，OA=R，
因为正四棱锥的底面边长为2，
所以AO1=12AC= 2，
在Rt△OAO1中，R2=( 2)2+x2,x+R=4，解得R=94，
所以外接球的表面积为4πR2=814π.
故答案为：814π.
如图所示的正四棱锥P−ABCD，设点O为球心，O1为底面中心，连接OA，设OO1=x，OA=R，在Rt△OAO1中，R2=( 2)2+x2,x+R=4，解出R，即可求出球的表面积．
本题考查了正四棱锥外接球的表面积计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可知：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(60×20−80×40)2100×100×140×60=20021≈9.524>7.879，
故有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关．
(2)现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，则抽出的6人中有慢性疾病4人，无有慢性疾病2人．
设慢性疾病4人编号为A1，A2，A3，A4；无有慢性疾病2人编号为B1，B2.
现从6人中随机抽出2人共15种情况，其具体情况如下：
A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A3A4，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2，
其中抽出的2人中恰有1个人患有慢性疾病，共8种情况，如，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2.
故抽出的2个人中恰有1个人患有慢性疾病的概率为P=815.
【解析】(1)根据表中数据，求出K2的观测值，再与临界值表比较即可得出结论；
(2)由分层抽样可得出慢性疾病有4人，没有慢性疾病有2人，列出从6人中任取2人的所有基本事件，利用古典概型的概率计算公式求结果即可．
本题考查独立性检验、古典概型及其概率计算，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=cs2x+ 3sinxcsx=1+cs2x2+ 32sin2x=sin(2x+π6)+12，
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6，
∴f(x)的递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z.
(2)∵f(A)=sin(2A+π6)+12=1，∴A=π3，
∵S△ABC=12bcsinA= 34c= 32，
∴c=2，
由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA=3，
∴a= 3.
【解析】(1)根据平面向量的数量积公式得出f(x)的解析式，利用三角恒等变换化简，根据正弦函数的单调区间列不等式得出f(x)的单调区间；
(2)先计算A，根据面积计算c，再利用余弦定理求出a.
本题考查了三角恒等变换，正弦函数的单调性，考查余弦定理解三角形，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵AB=BC= 5，D，E分别为AC，A1C1的中点，
∴AC⊥DB，且DE//AA1，
又AA1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，∴AC⊥DE，
又AC⊥DB，且DE∩DB=D，DE⊂平面BDE，DB⊂平面BDE，
∴AC⊥平面BDE.
(Ⅱ)∵AC⊥DB，AB= 5，AC=2AD=2，
∴BD= AB2−AD2=2，
∴BE= DE2+BD2=2 2，AE= DE2+AD2= 5，S△ABD=12×1×2=1.
在△ABE中，AB=AE= 5，BE=2 2，
∴BE边上的高为 ( 5)2−( 2)2= 3.
∴S△ABE=12×2 2× 3= 6.
设点D到平面ABE的距离为d，
根据VD−ABE=VE−ABD，得13× 6×d=13×1×2，解得d= 63，
点D到平面ABE的距离为 63.
【解析】(Ⅰ)证明DE⊥平面ABC，可证AC⊥DE，进而利用线线垂直证明线面垂直；
(Ⅱ)利用等体积法求点D到平面ABE的距离．
本题考查线面垂直的证明，考查点到面距离的求法，属中档题．
20.【答案】解：(1)椭圆过点(2,0)，即a=2，又c= 3，又a2=b2+c2，则b2=1，
即椭圆方程为x24+y2=1.
(2)证明：由y=kx+mx2+4y2=4得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0，
Δ=16(4k2−m2+1)>0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=−8km1+4k2，
设AB的中点M为(x0,y0)，
得x0=−4km1+4k2=12，即1+4k2=−8km，得m=−1+4k28k，
所以y0=kx0+m=12k−1+4k28k=−18k.
所以AB的中垂线方程为y+18k=−1k(x−12)，即y=−1k(x−38)，
故AB的中垂线恒过点N(38,0).
【解析】(1)由题意可得a=2，c= 3，结合a2=b2+c2求出b，即可求解；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示x1+x2，进而表示x0，y0，结合两直线的位置关系和直线的点斜式方程即可求解．
本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=−x2+x+lnx，f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=−2x+1+1x=−2x2+x+1x，
令f′(x)>0，则2x2−x−1<0，解得0令f′(x)<0，则2x2−x−1>0，解得x>1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞).
(2)令f(x)=−x2+ax+lnx=0，则a=x−lnxx.
令g(x)=x−lnxx，其中x∈[1e,e]，
则g′(x)=1−1x⋅x−lnxx2=x2+lnx−1x2.
令g′(x)>0，解得1∴g(x)的单调递减区间为[1e,1),单调递增区间为(1,e],
∴g(x)min=g(1)=1.
又g(1e)=e+1e,g(e)=e−1e，函数f(x)在[1e,e]上有两个零点，
∴a的取值范围是(1,e−1e].
【解析】(1)根据题意，求导可得f′(x)，即可得到结果；
(2)根据题意，由条件可得a=x−lnxx，构造函数g(x)=x−lnxx，其中x∈[1e,e]，转化为最值问题，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵ρ=4sin(θ+π3)=2sinθ+2 3csθ，
∴ρ2=2ρsinθ+2 3ρcsθ，
∵ρ2=x2+y2，ρcsθ=x，ρsinθ=y，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2−2 3x−2y=0①，
∵直线l过点(0,3)，且倾斜角为120∘，
∴直线l的参数方程为x=0+cs120∘ty=3+sin120∘t(t为参数)，即x=−12ty=3+ 32t(t为参数).
(2)将x=−12ty=3+ 32t代入①式，得t2+3 3t+3=0，
点M的直角坐标为(0,3)，
设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，
则t1+t2=−3 3，t1⋅t2=3，∴t1<0，t2<0，
则由参数t的几何意义可得|MA|+|MB|=|t1+t2|=3 3.
【解析】(1)根据已知条件，结合极坐标公式，即可求出曲线C的直角坐标方程，再结合参数方程的公式，即可求解．
(2)将x=−12ty=3+ 32t代入①式，得t2+3 3t+3=0，再结合参数方程的几何意义，即可求解．
本题主要考查简单曲线的极坐标公式，以及参数方程的几何意义，属于中档题．
23.【答案】解：(1)当m=1时，不等式f(x)≤5可化为|x−2|+|x+1|≤5，
即x≥2x−2+x+1≤5，或x≤−1−x+2−x−1≤5，或−1解得2≤x≤3，或−2≤x≤−1，或−1综上可得，−2≤x≤3，
所以不等式f(x)≤5的解集为[−2,3].
(2)不等式f(x)≥4恒成立，即|x−2m|+|x+1|≥4恒成立，
因为|x−2m|+|x+1|≥|2m+1|(当且仅当(x−2m)(x+1)≤0时等号成立)，
所以|2m+1|≥4，即2m+1≤−4或2m+1≥4，解得m≤−52或m≥32，
所以m的取值范围是(−∞,−52]∪[32,+∞).
【解析】(1)分类讨论即可求解；
(2)根据三角绝对值不等式可得|2m+1|≥4，即可求解．
本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
60
80
140
感染支原体肺炎
40
20
60
合计
100
100
200
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
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2024年宁夏石嘴山市平罗中学高考数学三模试卷（文科）-普通用卷

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