广东省湛江市第二十一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 已知复数，则对应的点在复平面的（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据虚数单位的性质化简，再由实部、虚部符号确定复数对应点所在象限.
【详解】因为，
所以对应的点在复平面的第三象限，
故选：C
2. 平行四边形中，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的加减法运算以及数乘运算即可得到结果.
【详解】因为为平行四边形，
则有，
∴.
故选：B.
3. 在中，，则中最小的边长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】易得，再根据正弦定理计算最小角的对边即可.
【详解】由题意，，故中最小的边长为.
由正弦定理，故.
故选：B
4. 在直角坐标系中，向量，其中，若，三点共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先由题意求得，再利用向量共线的坐标表示列式计算即可得解.
【详解】因为，
所以，，
因为，，三点共线，则共线，
所以，则.
故选：C.
5. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．
【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图，
由斜二测法则知，，
所以.
故选：C．
6. 已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据圆锥的侧面积公式以及扇形弧长解得，再结合锥体的体积公式运算求解.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
由题意可得：，解得，
则圆锥的高，
所以此圆锥的体积为.
故选：B.
7. 如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点E，连接，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，进而求其大小即可.
【详解】如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角.
由条件知：，则，
故选：C.
8. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，若球的体积为，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将三棱锥放入长方体内，得到为球直径，由基本不等式求出，从而求出三棱锥的体积的最大值.
【详解】因，易知三角形为等腰直角三角形，
又平面，所以为三棱锥的高，
则可将三棱锥放入长方体内，如图，

长方体的体对角线即为外接球直径，即为球直径，
，
解得，
又，
解得，
，所以
所以三棱锥的体积，
故选：A
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，在下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则m至少与中一个平行
【答案】BD
【解析】
【分析】画出一个正方体，借助正方体的平行，垂直关系，进行验证即可．
【详解】A.如图所示： ，可得结果或，故A错误；
B.如图所示：，可得结果，故B正确；
C.如图所示：，可得，故C错误；
D.如图所示：，可得结果或，故D正确．
故选：BD．
10. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A. 复数的共轭复数的虚部为2B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用共轭复数的定义可判断A；利用特殊值法可判断B；利用复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C；解方程可判断D.
【详解】对于A，因为，则，其虚部为2，故A正确；
对于B，取，此时，但，故B错误；
对于C，若，则，故，故C正确；
对于D，若，则，解得，故D错误.
故选：AC.
11. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，，，则下列说法正确的是（ ）

A. 直三棱柱的体积为
B. 直三棱柱外接球的表面积为
C. 若分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
D. 取得最小值时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三棱柱的体积公式即可判断A选项；通过确定球心的位置，求出直三棱柱外接球的半径，即可判断B选项；通过平移找到异面直线所成角，然后在三角形中利用余弦定理可判断C选项；通过三棱柱的侧面展开图可判断D选项．
【详解】选项A：因为，，
所以三棱柱的上、下底面均为正三角形，
所以，故A正确．
选项B：如图1，记和外接圆的圆心分别为和，
连接，，记的中点为，连接，
则， ，
易知为直三棱柱的外接球半径，
且，
所以直三棱柱外接球的表面积为，故B错误．

选项C：如图2，取的中点，连接，
易知，，且，
故即异面直线与所成角或其补角，连接，
则，
故，
故异面直线与所成角的余弦值为，故C正确．
选项D：将直三棱柱的侧面展开得到平面展开图，
如图3所示．连接，分别交，于点，
易知的最小值为．
在侧面展开图中易知点分别为的三等分点，
过点作交于点，
由勾股定理得，
因为，所以，故D正确．
.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 向量，，且，则实数_____________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以，即，解得.
故答案为：
13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，，，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出，再利用面积求出关系，再结合求出，最后利用余弦定理求出.
【详解】，
，
，
，又，
，
.
故答案为：.
14. 如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值.
【详解】过点分别作交于点，交于点，
连接，
要想平面，则四边形为平行四边形，故，
设，则，故，
由勾股定理得，
其中，
当且仅当时，等号成立，
故.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设复数，为虚数单位.
（1）若，求；
（2）若是纯虚数，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入的值，再去计算即可.
（2）先将进行化简，因为是纯虚数，说明实部为0，且虚部不为0，从而求出，再求出模.
【小问1详解】
当时，，.
【小问2详解】
，
因为其为纯虚数，则，解得，
则，.
16. 已知向量．
（1）若，求；
（2）若，求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求出x，再根据向量模的坐标运算可得结果；
（2）根据向量平行的坐标运算求出x，再根据向量夹角的坐标运算可得结果.
【小问1详解】
由可得，整理得．
因为，所以，解得．
所以，所以．
【小问2详解】
，因为，所以，解得．
所以，又，所以，
所以与的夹角的余弦值为．
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得，求得，即可求解；
（2）由余弦定理可得，结合，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
因为，则，所以，
因，所以.
（2）因为，，
由余弦定理可得，整理得，
又，解得，
所以.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
18. 如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且．

（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定证明；
（2）求出直角梯形的面积，以为四棱锥的高求体积.
【小问1详解】
∵底面，底面，
∴．
又，，平面，
∴平面．
【小问2详解】
由题意易知四边形为直角梯形，
∴．
∴．
19. 如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
（1）正四棱锥的表面积；
（2）若为的中点，求证：平面；
（3）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
【答案】（1） （2）证明见解析
（3）在侧棱存在点，使得平面，
【解析】
【分析】（1）根据正四棱锥的结构求出侧面的高，即可求解正四棱锥的表面积；
（2）如图，连接交于点O，则，结合线面平行的判定定理即可证明；
（3）取的中点Q，过Q作的平行线交于E，得，，根据线面平行的判定定理可得平面、平面，结合面面平行的判定定理与性质即可下结论.
【小问1详解】
正四棱锥中，，
则正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥表面积为；
【小问2详解】
如图，连接交于点O，连接，则O为AC的中点，
当M为SA的中点时，，
又平面平面，
所以平面；
【小问3详解】
在侧棱上存在点E，使得平面，满足.
理由如下：
取的中点Q，由，得，
过Q作的平行线交于E，连接，，
中，有，又平面，平面，
所以平面，由，得.
又，又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，而平面，
所以平面.