吉林省普通高中友好学校联合体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 在如图所示平面直角坐标系中，向量的坐标是（）
A. B. C. D.
2. 若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是 ( )
A. 平行B. 相交
C. 异面D. 平行、相交或异面
3. 若i是虚数单位，则复数的虚部等于（）
A. 2B. C. D.
4. 如图，已知等腰直角三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（）
A. B. 1C. D.
5. 已知圆锥的高为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，，则（）
A. B. C. D.
7. 在中，已知，且，则是（）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
8. 已知平面上的两个单位向量满足，若，则的最小值为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是
A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱锥D. 正方体
10. 已知复数，则下列说法正确的是（）
A. 若，则共轭复数B. 若复数，则
C. 若复数z为纯虚数，则D. 若，则
11. 下列命题正确的是（）
A.
B. 已知，非零实数，若，则与共线
C. 若为非零向量，若“”则“”
D. 若单位向量满足，则与的夹角为0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数，则在复平面内对应的点位于______象限.
13. 已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是______.
14. 已知向量，，且，的夹角为，则在上的投影向量的坐标为______，______
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足：
（1）z是实数；
（2）z是纯虚数；
（3）z是复平面中对应的点位于第二象限.
16. 已知向量，，．
（1）若点A，B，C共线，求实数m的值；
（2）若△ABC为直角三角形，求实数m值．
17. 正棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1.
求：（1）棱锥的侧棱长和侧面的高；
（2）棱锥的表面积与体积.
18. 如图，在三棱柱中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.

（1）证明：平面ABED.
（2）证明：平面平面BCFE
19. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，．
（1）求索道AB长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？