2024年广东省江门市鹤山市中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年广东省江门市鹤山市中考数学一模试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.芯片是手机、电脑等高科技产品最核心的部件，更小的芯片意味着更高的性能，目前我国芯片的量产工艺已达到14纳米，已知14纳米等于0.000000014米，用科学记数法将0.000000014表示为( )
A. 1.4×10−9B. 1.4×10−7C. 1.4×10−8D. 14×10−7
3.2024的相反数是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
4.下列计算正确的是( )
A. a3+a4=a7B. a3⋅a4=a7C. a4÷a3=a7D. (a3)4=a7
5.如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
6.有两辆车按1，2编号，张、李两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐1号车的概率是( )
A. 1B. 12C. 14D. 16
7.不等式8−4x<02x−15−1≥0的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
8.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程.若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是( )
A. x2−3x+2=0B. x2−5x+6=0C. x2+x−6=0D. x2+3x+2=0
9.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D=30∘，OD=4，则AC等于( )
A. 6
B. 4
C. 2 3
D. 3
10.如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD.若△ACD的面积是2，则k的值是( )
A. 12
B. 83
C. 86
D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知a= 5+ 3，b= 5− 3，则(a+b)2等于______.
12.因式分解：m3−25m=______.
13.如图为一个正n边形的一部分，BA和DC延长后相交于点P.若∠BPC=120∘，则正n边形的内角和是______度.
14.如图，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4)，则关于x的方程kx+b=4的解是______.
15.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点F是对角线BD上的动点，则AF+EF的最小值是______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1)解方程：x2+4x−45=0；
(2)计算：(π−3)0+6cs30∘− 12−(−12)−1.
17.(本小题8分)
港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，连起了世界最具活力经济区，快速通道的建成对香港、澳门、珠海三地经济社会一体化意义深远.桥长约48千米，是原来开车从香港到珠海路程的14，若现在利用快速通道开车从香港到珠海的平均速度是原来平均速度的2倍，所需时间比原来缩短了约3小时，求现在开车从香港到珠海的平均速度.
18.(本小题8分)
图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B−A−O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.4cm，CD=8cm，AB=40cm，BC=45cm.如图2，∠ABC=70∘，BC//OE.求投影探头的端点D到桌面OE的距离.
(参考数据：sin70∘≈0.94，cs70∘≈0.34，sin40∘≈0.64，cs40∘≈0.77)
19.(本小题9分)
某校七、八年级开展了“感受数学魅力，提升数学素养”为主题的趣味数学知识竞赛，现随机抽取七、八年级各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
收集数据
七年级15名学生测试成绩分别为：78，83，89、97，98，85，100，94，87，90，94，92，99，94，100.
八年级15名学生测试成绩分别为：81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97.
分析数据
应用数据
(1)根据以上信息，a=______，b=______；
(2)由方差可以推断：七、八年级中，学生测试成绩较稳定的是______；
(3)甲同学说：“这次测试我得了93分，位于年级中等偏上水平”，你认为甲同学更可能来自七年级还是八年级，并简要说明理由.
20.(本小题9分)
如图，已知▱ABCD.
(1)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交AD于点E，交BC于点F；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接AF、CE.求证：四边形AECF是菱形.
21.(本小题9分)
【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动.如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两直角边分别与ON、OM交于点D和点B.
(1)活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：∠OBC+∠ODC=______.
(2)活动2：如图2，连结BD，若BD平分∠OBC，那么DB平分∠ODC吗？请直接写出你的结论，不需写理由.
(3)活动3：如图3，若DE平分∠ODC，BF平分∠MBC，他们发现DE与BF具有特殊位置关系.请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论.
22.(本小题12分)
抛物线P：y=ax2+bx+32与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为D.
(1)求抛物线P的解析式和顶点D的坐标.
(2)如图，在坐标平面上放置一透明矩形胶片DEBF，并在胶片上描画出抛物线P在矩形胶片内部(含边界)的一段，记为G，把该胶片绕点B顺时针旋转180∘，得到矩形胶片D′E′BF′以及对应的图象G′.
①求旋转过程中G扫过的面积S；
②求图象G′所在的抛物线的解析式.
23.(本小题12分)
如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是CBD上任意一点，AH=2，CH=4.
(1)求⊙O的半径r的长度；
(2)求sin∠CMD；
(3)直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE⋅HF的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意；
故选：B.
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2.【答案】C
【解析】解：0.000000014=1.4×10−8.
故选：C.
根据科学记数法的方法进行解题即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】B
【解析】解：2024的相反数是−2024，
故选：B.
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、a3与a4不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、a3⋅a4=a7，正确，符合题意；
C、a4÷a3=a，原计算错误，不符合题意；
D、(a3)4=a12，原计算错误，不符合题意．
故选：B.
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：俯视图如选项C所示，
故选：C.
根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．
6.【答案】C
【解析】解：画树状图为：
由树状图可得，共有4种等可能的结果，其中两位老师同坐1号车的结果数为1，
∴两位老师同坐1号车的概率是14，
故选：C.
画出树状图，求出总的结果数和两位老师同坐1号车的结果数，利用概率公式计算即可求解．
本题考查了用列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：不等式组整理得：x>2x≥3，
解得：x≥3，
数轴上表示，如图所示：
.
故选：C.
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵a+b+c=0，
∴x=1，
∴这个“凤凰”方程的两根分别为1和2，
x1+x2=−ba=3，x1⋅x2=ca=2.
选项A符合题意，
故选：A.
根据x1⋅x2=ca，x1+x2=−ba即可判断．
本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解答本题的关键要明确常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
9.【答案】C
【解析】解：如图，连接OC，

∵DC切⊙O于点C，
∴OC⊥DC，
∵OD=4，∠D=30∘，
∴OA=OC=12OD=2，∠DOC=60∘，
∴∠A=∠OCA=30∘，CD= OD2−OC2=2 3，
∴∠D=∠A=30∘，
∴AC=CD=2 3，
故选：C.
连接OC，证明OC⊥DC，结合OD=4，∠D=30∘，可得OC=2，∠COD=60∘，CD=2 3，∠D=∠A=30∘，据此可得答案．
本题考查的是切线的性质，含30∘的直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
10.【答案】B
【解析】解：连接OD，过C作CE//AB，交x轴于E，
∵∠ABO=90∘，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过OA的中点C，
∴S△COE=S△BOD=12k,S△ACD=S△OCD=2，
∵CE//AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴⋅S△OCES△OAB=(OCOA)2=14，
∴4S△OCE=S△OAB，
∴4×12k=2+2+12k，
∴k=83，
故选：B.
连接OD，过C作CE//AB，交x轴于E，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE=S△OBD=12k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为S△OCES△OAB=14，代入可得结论．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质与判定，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是关键．
11.【答案】20
【解析】解：∵a= 5+ 3，b= 5− 3，
∴a+b= 5+ 3+ 5− 3=2 5，
∴(a+b)2=(2 5)2=20，
故答案为：20.
利用完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12.【答案】m(m+5)(m−5)
【解析】解：m3−25m=m(m2−25)
=m(m+5)(m−5).
故答案为：m(m+5)(m−5).
直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
13.【答案】1800
【解析】解：∵PA=PC，∠BPC=120∘，
∴∠PAC=∠PCB=12(180∘−∠BPC)=30∘，
即正n边形的一个外角为30∘，
∴n=360∘30∘=12，
(12−2)×180∘=1800∘.
故答案为：1800.
先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠PBC=∠PCB=30∘，再根据多边形外角和为360∘即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，多边形外角和定理，求出正n边形的一个外角为30∘是解题的关键．
14.【答案】x=2
【解析】解：把P(m,4)代入y=x+2得m+2=4，解得m=2，
∴一次函数y=kx+b与y=x+2的图象的交点P为(2,4)，
∴关于x的方程kx+b=4的解是x=2.
故答案为：x=2.
先利用y=x+2求出交点P的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．
本题考查了一次函数与一元一次方程，数形结合是解题的关键．
15.【答案】2 5
【解析】解：连接CF，CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴对角线BD所在直线是其一条对称轴，
∴CF=AF，
∴AF+EF=CF+EF≥CE，
∴AF+EF的最小值是CE的长，
在Rt△CEB中，
∵BC=AB=4，点E是边AB的中点，
∴BE=2，
∴CE= BC2+BE2= 42+22=2 5.
故答案为：2 5.
利用将军饮马模型，判断出线段CE的长即为AF+EF的最小值，再利用勾股定理求出CE即可．
本题考查轴对称-最短路径问题，解答时涉及正方形的性质，勾股定理，熟悉将军饮马问题的模型是解题的关键．
16.【答案】解：(1)∵x2+4x−45=0，
∴(x+9)(x−5)=0，
∴x+9=0或x−5=0，
解得：x1=−9，x2=5；
(2)(π−3)0+6cs30∘− 12−(−12)−1
=1+6× 32−2 3+2
=1+3 3−2 3+2
=3+ 3.
【解析】(1)利用因式分解法解一元二次方程即可；
(2)先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可．
本题考查了因式分解法解一元二次方程、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，熟练掌握运算法则及方法是解此题的关键．
17.【答案】解：设原来开车从香港到珠海的平均速度为x千米/时，则现在开车从香港到珠海的平均速度为2x千米/时，
根据题意，得482x+3=48×4x.
解得x=56.
经检验x=56是所列方程的根，且符合题意．
所以2x=112.
答：现在开车从香港到珠海的平均速度为112千米/时．
【解析】设原来开车从香港到珠海的平均速度为x千米/时，则现在开车从香港到珠海的平均速度2x千米/时，根据“时间=路程÷速度”和已知条件“时间比原来缩短了约3小时”列出方程并解答．注意：分式方程需要验根．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18.【答案】解：延长OA交BC于点F，
∵BC//OE，OA⊥OE，
∴OF⊥BC，
在Rt△ABF中，∠B=70∘，AB=40cm，
∴AF=AB⋅sin70∘≈40×0.94=37.6(cm)，
∵OA=6.4cm，CD=8cm，
∴投影探头的端点D到桌面OE的距离=OA+AF−CD=6.4+37.6−8=36(cm)，
∴投影探头的端点D到桌面OE的距离约为36cm.
【解析】延长OA交BC于点F，根据已知易得：OF⊥BC，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】94 87 八年级
【解析】解：(1)把七年级15名学生的测试成绩排好顺序为：78，83，85，87，89、90，92，94，94，94，97，98，99，100，100，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a=94，
八年级15名学生测试成绩分别为：81，82，83，85，87，87，87，92，93，94，95，95，96，96，97.
八年级8名学生的成绩中87分的最多有3人，
所以众数b=87，
故答案为：94，87；
(2)八年级．
∵把年级的方差小于七年级的方差，
∴学生测试成绩较稳定的是八年级．
故答案为：八年级；
(3)八年级．
∵七年级的中位数为94，八年级的中位数为92，甲同学这次测试得了93分，位于年级中等偏上水平，
∴甲同学在八年级．
(1)根据中位数和众数的定义求解即可；
(2)根据方差的意义解答即可；
(2)根据利用中位数的值作出判断即可．
本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
20.【答案】(1)解：如图，EF即为所求，
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的作法即可解决问题；
(2)根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质证明△AOE≌△COF，可得EO=FO，可得四边形AECF是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可完成证明．
本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
21.【答案】180∘
【解析】解：(1)∵OM⊥ON，∠C为直角，
∴∠BOD=∠C=90∘，
根据四边形内角和等于360∘得：
∠OBC+∠ODC+∠BOD+∠C=360∘，
∴∠OBC+∠ODC=180∘，
故答案为：180∘.
(2)DB平分∠ODC，理由如下：
∵BD平分∠OBC，
∴∠ODB=∠CDB，
∵OM⊥ON，∠C为直角，
∴∠ODB+∠OBD=90∘，∠CDB+∠CBD=90∘，
∴∠OBD=∠CBD，
∴DB平分∠ODC；
(3)DE与BF的位置关系是：DE⊥BF，证明如下：
由(1)可知：∠OBC+∠ODC=180∘，
又∵∠OBC+∠MBC=180∘，
∴∠ODC=∠MBC，
∵DE平分∠ODC，BF平分∠MBC，
∠CDE=12∠ODC，∠CBF=12∠MBC，
∴∠CDE=∠CBF，
∵∠C为直角，
∴∠CDE+∠CED=90∘，
∴∠CBF+∠CED=90∘，
又∵∠CED=∠BEG，
∴∠CBF+∠BEG=90∘，
∴∠BGE=90∘，
即DE⊥BF.
(1)依题意得∠BOD=∠C=90∘，再根据四边形内角和等于360∘可得∠OBC+∠ODC的度数；
(2)先根据BD平分∠OBC得∠ODB=∠CDB，再根据∠ODB+∠OBD=90∘，∠CDB+∠CBD=90∘得∠OBD=∠CBD，据此可得出结论；
(3)先证∠ODC=∠MBC，根据角平分线定义的∠CDE=∠CBF，再根据∠C为直角得∠CDE+∠CED=90∘，然后根据∠CED=∠BEG可得∠CBF+∠BEG=90∘，据此可得出DE与BF的位置关系．
此题主要考查了四边形的内角和定理，三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握四边形的内角和定理，三角形的内角和定理，角平分线的定义是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)把点A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+32，
得a−b+32=09a+3b+32=0，
解得a=−12b=1，
∴抛物线P的解析式为y=−12x2+x+32.
∵y=−12x2+x+32=−12(x−1)2+2，
∴抛物线P的顶点D的坐标为(1,2).
(2)如图，①连接BD，BD′.
由B(3,0)，D(1,2)，得BE=OB−OE=3−1=2，DE=2.
在Rt△BED中，BD2=BE2+DE2=22+22=8.
由旋转性质可知，BD与G围成的图形，和BD′与G′围成的图形全等，二者面积相等，
∴旋转过程中G扫过的面积，即图中G，G′与半圆围成的图形面积，等于以DD′为直径的半圆的面积，
∴S=12π⋅BD2=12π×8=4π
②由旋转性质可知，D′E′=DE=2，BE′=BE=2，
∴OE′=OB+BE′=3+2=5，
∴点D′的坐标为(5,−2).
设图象G′所在抛物线的解析式为y=m(x−5)2−2，
代入点B(3,0)，得4m−2=0，解得m=12，
∴图象G′所在抛物线的解析式为y=12(x−5)2−2(3≤x≤5).
【解析】(1)利用待定系数法求解析式，再化为顶点式，从而得解；
(2)①旋转过程中G扫过的部分是半圆，求出半径BD2，从而得解；
②旋转后的点D′是顶点，设出顶点式，再将点B代入求出参数，从而得解．
本题考查二次函数的综合问题，即二次函数与面积综合，二次函数与矩形综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图1中，连接OC.
∵AB⊥CD，
∴∠CHO=90∘，
在Rt△COH中，∵OC=r，OH=r−2，CH=4，
∴r2=42+(r−2)2，
∴r=5.
(2)如图1中，连接OD.
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴AD=AC=12CD，
∴∠AOC=12∠COD，
∵∠CMD=12∠COD，
∴∠CMD=∠COA，
∴sin∠CMD=sin∠COA=CHCO=45.
(3)如图2中，连接AM.
∵AB是直径，
∴∠AMB=90∘，
∴∠MAB+∠ABM=90∘，
∵∠E+∠ABM=90∘，
∴∠E=∠MAB，
∴∠MAB=∠MNB=∠E，
∵∠EHM=∠NHF
∴△EHM∽△NHF，
∴HEHN=HMHF，
∴HE⋅HF=HM⋅HN，
∵HM⋅HN=AH⋅HB(相交弦定理)，
∴HE⋅HF=AH⋅HB=2⋅(10−2)=16.
【解析】本题考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
(1)在Rt△COH中，利用勾股定理即可解决问题；
(2)只要证明∠CMD=∠COA，求出sin∠COA即可；
(3)由△EHM∽△NHF，推出HEHN=HMHF，推出HE⋅HF=HM⋅HN，又HM⋅HN=AH⋅HB，推出HE⋅HF=AH⋅HB，由此即可解决问题．年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
92
94
a
40.9
八年级
90
b
92
29.7