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    2024年新疆喀什地区中考数学一模试卷(含详细答案解析)
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    2024年新疆喀什地区中考数学一模试卷(含详细答案解析)

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    这是一份2024年新疆喀什地区中考数学一模试卷(含详细答案解析),共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,计算题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.2024的倒数是( )
    A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
    2.京剧是我国的国粹,是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介.在下面的四个京剧脸谱中,不是轴对称图形的是( )
    A. B. C. D.
    3.2024年春节假期的到来,点燃了消费者的出游热情,同时也激发了旅游市场的活力.2月10日−2月17日春节假期期间,某地区累计接待游客721.76万人次.数据“721.76万”用科学记数法表示为( )
    A. 0.72176×108B. 7.2176×107C. 72.176×106D. 7.2176×106
    4.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则一次函数y=−bx+k的图象大致是( )
    A. B.
    C. D.
    5.下列运算正确的是( )
    A. 2a2+a2=3a4B. a6÷a3=a2
    C. (−2a)3=−8a3D. (2a−1)2=4a2−1
    6.将一元二次方程x2−8x+10=0通过配方转化为(x+a)2=b的形式,下列结果中正确的是( )
    A. (x−4)2=6B. (x−8)2=6C. (x−4)2=−6D. (x−8)2=54
    7.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,若∠AOC=140∘,则∠BDC=( )
    A. 20∘
    B. 40∘
    C. 55∘
    D. 70∘
    8.在△ACB中,∠ACB=90∘,尺规作图的痕迹如图所示.若AC=2,AB=5,则线段CD的长为( )
    A. 43
    B. 65
    C. 21−3
    D. 2 217
    9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,有下列结论:①4a+2b+c<0;②a+c>0;③2a+b+c>0;④当−1A. 4个
    B. 3个
    C. 2个
    D. 1个
    二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分。
    10.若分式x+1x−3的值为0,则x的值为______.
    11.一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个正多边形是正______边形.
    12.有五张看上去无差别的卡片,正面分别写着227, 6,−0.5,π,0.背面朝上混合后随机抽取一张,取出的卡片正面的数字是无理数的概率是______.
    13.如图,△ABC中,AB=AC,以点B为圆心,BC的长为半径画弧交AC于点C,E,再分别以点C与点E为圆心,大于CE长的一半为半径画弧,两弧交于点F,连接BF交AC于点D,若∠A=40∘,则∠EBD是______.
    14.如图,点A是反比例函数y=kx(x<0)图象上的一点,过A作AB⊥x轴于点B,点D为x轴正半轴上一点且DO=2BO,连接AD交y轴于点C,连接BC.若△COD的面积为8,则k的值为______.
    15.如图,在△ABC中,AC=BC=5cm,AB=8cm,点P是线段AB上一动点,将△BCP沿直线CP折叠,使点B落在点D处,CD交AP于点E.当△ACE是直角三角形时,BP的长为______.
    三、计算题:本大题共1小题,共10分。
    16.某镇为创建特色小镇,助力乡村振兴,决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥.如图,河旁有一座小山,山高BC=80m,点C、A与河岸E、F在同一水平线上,从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE=45∘,∠DBF=31∘.若在此处建桥,求河宽EF的长.(结果精确到1m)
    [参考数据:sin31∘≈0.52,cs31∘≈0.86,tan31∘≈0.60]
    四、解答题:本题共7小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题11分)
    (1)计算:(2024−π)0+2−2−2cs45∘+|1− 2|;
    (2)化简:(a−2b)(a+2b)−(2a+b)2−2a(a−2b).
    18.(本小题12分)
    (1)解不等式组1−12(3−x)(2)2024年是中国农历甲辰龙年.某商场用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具,面市后供不应求,商场又用6600元购进了第二批这种玩具,所购数量是第一批购进数量的2倍,但每件的进价贵了3元.求商场购进第一批“小金龙”每件的进价.
    19.(本小题10分)
    在Rt△ABC中,∠BAC=90∘,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF//BC交BE的延长线于点F.
    (1)求证:△AEF≌△DEB;
    (2)证明四边形ADCF是菱形.
    20.(本小题11分)
    某校为落实“双减”工作,增强课后服务的吸引力,充分用好课后服务时间,为学有余力的学生拓展学习空间,成立了5个活动小组(每位学生只能参加一个活动小组):A.音乐;B.体育;C.美术;D.阅读;E.人工智能.为了解学生对以上活动的参与情况,随机抽取部分学生进行了调查统计,并根据统计结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
    根据图中信息,解答下列问题:
    (1)①此次调查一共随机抽取了______名学生;
    ②补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数);
    ③扇形统计图中圆心角α=______度;
    (2)若该校有2800名学生,估计该校参加D组(阅读)的学生人数;
    (3)学校计划从E组(人工智能)的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛,请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率.
    21.(本小题12分)
    某企业准备对A,B两个生产性项目进行投资,根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知:投资A项目一年后的收益yA(万元)与投入资金x(万元)的函数表达式为:yA=25x,投资B项目一年后的收益yB(万元)与投入资金x(万元)的函数表达式为:yB=−15x2+2x.
    (1)若将10万元资金投入A项目,一年后获得的收益是多少?
    (2)若对A,B两个项目投入相同的资金m(m>0)万元,一年后两者获得的收益相等,则m的值是多少?
    (3)2023年,我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元,全部投入到A,B两个项目中,当A,B两个项目分别投入多少万元时,一年后获得的收益之和最大?最大值是多少万元?
    22.(本小题11分)
    如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC交于点D,DE⊥AC,垂足为E,ED的延长线与AB的延长线交于点F.
    (1)求证:EF是⊙O的切线;
    (2)若⊙O的半径为52,BD=2,求CE的长.
    23.(本小题13分)
    如图,在Rt△ABC,∠ABC=90∘,该三角形的三个顶点均在坐标轴上.二次函数y=ax2+bx+c过A(−1,0),B(0,2),C(4,0).
    (1)求二次函数的解析式;
    (2)点P为该二次函数第一象限上一点,当△BCP的面积最大时,求P点的坐标;
    (3)M为二次函数上一点,N为x轴上一点,当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时,直接写出N的坐标.
    答案和解析
    1.【答案】C
    【解析】解:2024的倒数是12024;
    故选:C.
    根据乘积是1的两数互为倒数解答即可.
    本题考查了倒数,掌握倒数的定义是解答本题的关键.
    2.【答案】A
    【解析】解:A、不是轴对称图形,故本选项正确;
    B、是轴对称图形,故本选项错误;
    C、是轴对称图形,故本选项错误;
    D、是轴对称图形,故本选项错误.
    故选:A.
    根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
    本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
    3.【答案】D
    【解析】解:721.76万=7217600=7.2176×106.
    故选:D.
    科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.
    此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键.
    4.【答案】B
    【解析】【分析】
    本题考查的是一次函数的图象,熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键.
    先根据一次函数y=kx+b的图象判断出k,b的符号,进而可得出结论.
    【解答】
    解:由一次函数y=kx+b的图象可知,k<0,b>0,
    ∴−b<0,
    ∴一次函数y=−bx+k的图象经过二、三、四象限.
    故选:B.
    5.【答案】C
    【解析】解:由题意,
    2a2+a2=3a2,故A选项错误,不符合题意.
    a6÷a3=a3,故B选项错误,不符合题意.
    (−2a)3=−8a3,故C选项正确,符合题意.
    (2a−1)2=4a2−4a+1,故D选项错误,不符合题意.
    故选:C.
    依据题意,根据整式的运算法则逐项分析即可得解.
    本题主要考查了整式的运算法则,解题时要能熟练运用公式进行运算是关键.
    6.【答案】A
    【解析】解:x2−8x=−10,
    x2−8x+16=6,
    (x−4)2=6.
    故选:A.
    先把常数项移到方程右边,再把方程两边同时加上16,然后把方程左边写成完全平方形式即可.
    此题考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步骤:
    (1)把常数项移到等号的右边;
    (2)把二次项的系数化为1;
    (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
    7.【答案】A
    【解析】解:∵∠BOC+∠AOC=180∘,∠AOC=140∘,
    ∴∠BOC=180∘−140∘=40∘,
    ∴∠BDC=12∠BOC=20∘.
    故选:A.
    由邻补角的性质求出∠BOC的度数,由圆周角定理,即可求出∠BDC的度数.
    本题考查圆周角定理,邻补角的性质,关键是掌握圆周角定理.
    8.【答案】D
    【解析】解:由作法得:AD平分∠BAC,DE⊥AB,
    ∵∠ACB=90∘,即CD⊥AC,
    ∴CD=DE,
    在Rt△ADE和Rt△ADC中,
    AD=ADDE=DC,
    ∴Rt△ADE△Rt△ADC(HL),
    ∴AE=AC=2,
    ∴BE=AB−AC=3,
    在Rt△ACB中,AC=2,AB=5,BC= AB2−AC2= 21,
    设CD=x,则DE=x,BD= 21−x,
    在Rt△BED中,BD2=BE2+DE2,
    ∴( 21−x)2=x2+32,
    解得:x=2 217,
    即CD=2 217.
    故选:D.
    由作法得:AD平分∠BAC,DE⊥AB,根据角平分线的性质定理可得CD=DE,可证明Rt△ADE≌Rt△ADC,从而得到AE=AC=2,BE=3,再由勾股定理求出BC的长,设CD=x,则DE=x,BD= 21−x,在Rt△BED中,利用勾股定理求出x,即可求解.
    本题主要考查了尺规作图,角平分线的性质定理,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,熟练掌握角平分线的性质定理,全等三角形的判定和性质,勾股定理是解题的关键.
    9.【答案】C
    【解析】解:①∵x=2时,y=4a+2b+c,由图象知:y=4a+2b+c>0,故①错误;
    ②∵抛物线对称轴为直线x=1,与x轴交于(3,0)
    ∴抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0),
    ∴把(−1,0)代入解析式得,a−b+c=0,
    ∴a+c=b,
    ∵−b2a=1,a<0,
    ∴b=−2a>0,
    ∴a+c=b>0,故②正确;
    ③∵抛物线交y轴的正半轴,
    ∴c>0,
    ∵b=−2a,
    ∴2a+b+c=2a−2a+c=c>0,故③正确;
    ④∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,
    ∴当x<1时,y随x的增大而增大,当x>1时,y随x的增大而减小,故④错误;
    故正确的有②、③,共有2个,
    故选:C.
    根据图象上点的坐标特征以及二次函数的性质即可判断.
    本题考查了二次函数图象与系数的关系,属于基础题,关键是正确获取图象信息进行解题.
    10.【答案】−1
    【解析】解:由题意可得x+1=0且x−3≠0,
    解得x=−1.
    故答案为−1.
    分式的值是0的条件是:分子为0,分母不为0.
    本题考查了分式的值是0的条件.从以下三个方面透彻理解分式的概念:
    (1)分式无意义⇔分母为零;
    (2)分式有意义⇔分母不为零;
    (3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零.
    11.【答案】六
    【解析】解:设正多边形的边数是n,根据题意得,
    (n−2)⋅180∘=2×360∘,
    解得n=6,
    ∴这个多边形为六边形.
    故答案为:六.
    根据多边形的内角和定理,多边形的内角和等于(n−2)⋅180∘,外角和等于360∘,然后列方程求解即可.
    本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理,根据题意列出方程是解题的关键.
    12.【答案】25
    【解析】解:数据227, 6,−0.5,π,0中无理数有: 6,π,
    则取出的卡片正面的数字是无理数的概率是25,
    故答案为:25.
    根据题目中的数据,可以写出其中的无理数,然后即可计算出取出的卡片正面的数字是无理数的概率.
    本题考查概率公式、无理数,解答本题的关键是明确题意,求出相应的概率.
    13.【答案】20∘
    【解析】解:∵AB=AC,∠A=40∘,
    ∴∠ACB=(180∘−40∘)÷2=70∘,
    由题意可知,BC=BE,
    ∴∠BEC=∠ACB=70∘,
    ∴∠CBE=180∘−70∘×2=40∘,
    ∴∠EBD=12∠CBE=20∘.
    故答案为:20∘.
    根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ACB,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CBE,即可解决问题.
    本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识,解题的关键是灵活应用知识解决问题,属于中考常考题型.
    14.【答案】−12
    【解析】解:设A(m,km),则OB=−m,AB=km,
    ∵DO=2BO,△COD的面积为8,
    ∴BD=3OB=−3m,△COB的面积为4,
    ∴△ABD的面积为12×(−3m)×km=−3k2,
    ∴△ABC的面积为−3k2−12,
    ∴12×(−m)×km=−3k2−12,
    解得k=−12,
    故答案为:−12.
    设A(m,km),则OB=−m,AB=km,由DO=2BO,△COD的面积为8,得出BD=3OB=−3m,△COB的面积为4,即可得出12×(−m)×km=−3k2−12,求出k的值即可.
    本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,根据题意得到关于k的方程是解题的关键.
    15.【答案】52或1
    【解析】解:分两种情况:
    当∠AEC=90∘时,如图:
    ∴∠AEC=∠DEP=90∘,
    设BP=xcm,
    ∵AC=BC=5cm,CE⊥AB,
    ∴AE=BE=12AB=4(cm),
    ∴CE= AC2−AE2= 52−42=3(cm),
    由折叠得:BC=CD=5cm,BP=PD=xcm,
    ∴DE=CD−CE=5−3=2(cm),
    在Rt△DEP中,DE2+PE2=DP2,
    ∴4+(4−x)2=x2,
    解得:x=52,
    ∴BP=52cm;
    当∠ACE=90∘,如图:
    过点C作CH⊥AB,垂足为H,
    ∴∠AHC=∠CHE=90∘,
    ∵AC=BC=5cm,CH⊥AB,
    ∴∠B=∠A,AH=BH=12AB=4(cm),
    ∴CH= AC2−AH2= 52−42=3(cm),
    由折叠得:BC=CD=5cm,∠BCP=∠DCP,∠B=∠D,
    ∴∠D=∠A,
    ∵∠ECH+∠HCA=90∘,∠HCA+∠A=90∘,
    ∴∠ECH=∠A,
    ∴∠ECH=∠B,
    ∵∠CPH是△BCP的一个外角,
    ∴∠CPH=∠B+∠BCP,
    ∵∠PCH=∠DCP+∠ECH,
    ∴∠PCH=∠CPH,
    ∴HC=HP=3cm,
    ∴BP=BH−HP=1(cm),
    ∴BP=DP=1cm;
    综上所述:BP的长为52或1cm,
    故答案为:52或1.
    分两种情况:当∠AEC=90∘时;当∠ACE=90∘;然后分别利用等腰三角形的性质,勾股定理以及折叠的性质进行计算,即可解答.
    本题考查了翻折变换(折叠问题),等腰三角形的性质,勾股定理,分两种情况讨论是解题的关键.
    16.【答案】解:在Rt△BCE中,BC=80m,∠BEC=∠DBE=45∘,
    ∴∠CBE=45∘,
    ∴∠BEC=∠CBE=45∘,
    ∴CE=BC=80m.
    在Rt△BCF中,BC=80m,∠BFC=∠DBF=31∘,tan∠BFC=BCCF,
    ∴80CF≈0.60.
    ∴CF≈133.3.
    ∴EF=CF−CE=133.3−80=53.3≈53(m).
    答:河宽EF的长约为53m.
    【解析】根据等腰三角形的性质可得CE=BC=80m.在Rt△BCF中,由三角函数的定义求出CF的长,根据线段的和差即可求出EF的长度.
    此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,正确记忆锐角三角函数关系是解题关键.
    17.【答案】解:(1)(2024−π)0+2−2−2cs45∘+|1− 2|
    =1+14−2× 22+( 2−1)
    =1+14− 2+ 2−1
    =14.
    (2)(a−2b)(a+2b)−(2a+b)2−2a(a−2b)
    =a2−4b2−(4a2+4ab+b2)−2a2+4ab
    =a2−4b2−4a2−4ab−b2−2a2+4ab
    =−5a2−5b2.
    【解析】(1)首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值,然后计算乘法,最后从左向右依次计算,求出算式的值即可;
    (2)首先计算乘方和乘法,然后合并同类项即可.
    此题主要考查了实数的运算,注意运算顺序,以及整式的混合运算,解答此题的关键是要明确:有乘方、乘除的整式混合运算中,要按照先乘方后乘除的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.
    18.【答案】解:(1)1−12(3−x)解第一个不等式得:x>−1,
    解第二个不等式得:x≤4,
    ∴原不等式组的解集为−1在数轴上表示如下:
    (2)设商场购进第一批“小金龙”每件的进价为x元,则购进第二批“小金龙”每件的进价为(x+3)元,
    由题意得:6600x+3=3000x×2,
    解得:x=30,
    经检验,x=30是原分式方程的解,且符合题意,
    答:商场购进第一批“小金龙”每件的进价为30元.
    【解析】(1)求出两个不等式的解集,即可解决问题;
    (2)设商场购进第一批“”每件的进价为x元,则购进第二批“小金龙”每件的进价为(x+3)元,根据“商场用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具,面市后供不应求,商场又用6600元购进了第二批这种玩具,所购数量是第一批购进数量的2倍”,列出分式方程,解分式方程即可.
    本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的解法,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.
    19.【答案】证明:(1)∵AF//BC,
    ∴∠AFE=∠DBE,
    ∵E是AD的中点,
    ∴AE=DE,
    在△AFE和△DBE中,
    ∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BEDAE=DE,
    ∴△AFE≌△DBE(AAS);
    (2)由(1)知,△AFE≌△DBE,则AF=DB.
    ∵DB=DC,
    ∴AF=CD.
    ∵AF//BC,
    ∴四边形ADCF是平行四边形,
    ∵∠BAC=90∘,D是BC的中点,
    ∴AD=DC=12BC,
    ∴四边形ADCF是菱形.
    【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定,平行四边形的判定,菱形的判定的应用,主要考查学生的推理能力.
    (1)根据AAS证△AFE≌△DBE;
    (2)利用(1)中全等三角形的对应边相等得到AF=BD.结合已知条件,利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是平行四边形,由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC,从而得出结论.
    20.【答案】400 108
    【解析】(1)①调查人数:10025%=400(名),
    故答案为:400;
    ②A组的人数:400×15%=60(名),
    C组的人数:400−100−140−40−60=60(名),
    ③扇形统计图中圆心角α=360∘×60400=54∘,
    故答案为:54∘,
    (2)2800×140400=980(人),
    答:参加D组(阅读)的学生人数为980人;
    (3)树状图如下:
    ∵共有12中等可能的结果,其中恰好抽到A,C两人同时参赛的有两种,
    ∴P(恰好抽中甲、乙两人)=212=16.
    (1)①由B组的人数除以所占百分比即可;
    ②求出A、C组的人数,补全条形统计图即可;
    ③由360∘乘以C组所占的比例即可;
    (2)由该校共有学生人数乘以参加D组(阅读)的学生人数所占的比例即可;
    (3)画树状图,共有12种等可能的结果,其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种,再由概率公式求解即可.
    本题考查的概率及其应用,掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键.
    21.【答案】解:(1)当x=10时,yA=25×10=4(万元),
    答:将10万元资金投入A项目,一年后获得的收益是4万元;
    (2)由题意得:当x=m时,yA=yB,
    ∴25m=−15m2+2m,
    ∴m1=8,m2=0(舍去),
    ∴m=8;
    (3)设投入B项目的资金是t万元,投入A项目的资金(32−t)万元,一年后获利为W万元,
    由题意得,
    W=−15t2+2t+25(32−t)=−15(t−4)2+16,
    ∴当t=4时,W最大=16,
    32−t=28,
    ∴投入A项目的资金是28万元,投入B项目的资金是4万元时,一年后获利最大.最大值是16万元.
    【解析】(1)把x=10代入yA=25x,从而求得结果;
    (2)当x=m时,yA=yB,25m=−15m2+2m,从而求得结果;
    (3)设投入B项目的资金是t万元,投入A项目的资金(32−t)万元,一年后获利为W万元,列出关系式W=−15t2+2t+25(32−t)=−15(t−4)2+16,进一步得出结果.
    本题考查了二次函数及其图象性质,一元二次方程的解法等知识,解决问题的关键是根据题意列出函数关系式.
    22.【答案】(1)证明:连接OD,
    ∵AB=AC,
    ∴∠ABC=∠ACB,
    ∵OB=OD,
    ∴∠ABC=∠ODB,
    ∴∠ACB=∠ODB,
    ∴OD//AC,
    ∵DE⊥AC,
    ∴DE⊥OD,
    即EF⊥OD,
    ∵OD是⊙O的半径,
    ∴EF是⊙O的切线;
    (2)解:连接AD,
    ∵AB是⊙O直径,
    ∴AD⊥BC,
    ∵DE⊥AC,
    ∴∠ADC=∠DEC,
    ∵∠C=∠C,
    ∴△CDE∽△CAD,
    ∴CDCA=CECD,
    ∵AB=AC,
    ∴DC=DB=2,
    ∵AC=AB=5,
    ∴25=CE2,
    ∴CE=45.
    【解析】(1)连接OD,只需证EF⊥OD即可;
    (2)连接AD,由△CDE∽△CAD即可求解.
    本题考查切线的判定,圆周角定理的推论,等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性质,关键是掌握并能熟练应用这些知识点.
    23.【答案】解:(1)将A(−1,0),B(0,2),C(4,0)代入y=ax2+bx+c,
    ∴a−b+c=0c=216a+4b+c=0,
    解得a=−12b=32,
    ∴抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2;
    (2)设直线BC的解析式为y=kx+2,
    ∴4k+2=0,
    解得k=−12,
    ∴直线BC的解析式为y=−12x+2,
    过P点作PQ//y轴交BC于点Q,
    设P(t,−12t2+32t+2),则Q(t,−12t+2),
    ∴PQ=−12t2+32t+2+12t−2=−12t2+2t,
    ∴S=12×4×(−12t2+2t)=−t2+4t=−(t−2)2+4,
    当t=2时,△BCP的面积最大,此时P(2,3);
    (3)设M(m,−12m2+32m+2),N(n,0),
    当BC为平行四边形的对角线时,4=m+n,2=−12m2+32m+2,
    解得m=0,n=4(舍)或m=3,n=1,
    ∴N(1,0);
    当BM为平行四边形的对角线时,m=4+n,0=−12m2+32m+4,
    解得m=3+ 412,n=−5+ 412或m=3− 412,n=−5− 412,
    ∴N(−5+ 412,0)或(−5− 412,0);
    当BN为平行四边形的对角线时,n=4+m,2=−12m2+32m+2,
    解得m=0,n=4(舍)或m=3,n=7,
    ∴N(7,0);
    综上所述:N点坐标为(1,0)或(−5+ 412,0)或(−5− 412,0)或(7,0).
    【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可;
    (2)过P点作PQ//y轴交BC于点Q,设P(t,−12t2+32t+2),则Q(t,−12t+2),则S=12×4×(−12t2+2t)=−(t−2)2+4,当t=2时,△BCP的面积最大,此时P(2,3);
    (3)设M(m,−12m2+32m+2),N(n,0),根据平行四边形的对角线分三种情况讨论,结合中点坐标公式求n的值即可.
    本题考查二次函数的图象及性质,熟练掌握二次函数的图象及性质,平行四边形的性质是解题的关键.
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