2024年甘肃省陇南市武都区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年甘肃省陇南市武都区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024的倒数是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.陇南康县王坝生态民俗旅游区，环境优美，群山叠翠，被誉为“陇上田园、诗画王坝”.下面四个艺术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，已知直线AB与CD相交于点F，FA平分∠CFE，若∠CFE=70∘，则∠BFD度数是( )
A. 55∘
B. 45∘
C. 35∘
D. 25∘
4.关于x的一元二次方程x2+bx+1=0有两个相等的实数根，则满足条件的实数b的值可以是( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
5.点P(1,3)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值为( )
A. 13B. 2C. 3D. 4
6.每年的7月正值维苏威火山所在地的夏天，如图为维苏威火山所在地的气候资料，根据图中信息推断，下列说法正确的是( )
A. 夏季高温多雨，冬季寒冷干燥B. 夏季炎热干燥，冬季温和多雨
C. 冬暖夏凉，降水集中在冬季D. 冬冷夏热，降水集中在夏季
7.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF=3，则BD的长为( )
A. 6B. 9C. 12D. 15
8.如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图(单位：cm)，则液面宽度AB=( )
A. 8cm
B. 4cm
C. 4 3cm
D. 8 3cm
9.如图，在△ABC中，DE//BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的周长之比是( )
A. 1：3
B. 1：4
C. 1：9
D. 1：16
10.如图，点P是平行四边形ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.大于−234而小于2的所有整数是______.
12.因式分解：2x3y−8x2y2+8xy3=______.
13.西和晚霞湖景区位于西和县城以西5公里处，湖面面积1800亩，蓄水量1035万立方米，湖内湿地芦荡丛生、群鸟集翔，荡舟湖上可领略湖光山色.将数字1035万用科学记数法可表示为______.
14.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.连接BD，若∠C=50∘，则∠DBE=______.
15.如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线y=−110(x−5)2+3.6，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离OA=______米.
16.如图，菱形ABCD的边长为2，以C为圆心，BC为半径画弧至点D，恰好经过点A，再以A为圆心，AD为半径画弧至点B，恰好经过点C，求图中的阴影面积______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算： 48÷ 3+ 12× 12− 24.
四、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：(1−aa+2)÷a2−4a2+4a+4.
19.(本小题6分)
解不等式组2x−1>x+1x+1>4x−8，并把解集表示在数轴上.
20.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，BD为对角线．
(1)请用尺规作图法在CD上求作点E，使得DE=BE(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)中所作的图中，连接BE，求证：BD平分∠ABE.
21.(本小题10分)
圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，将圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.如图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为37∘，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为84∘，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为4米，求表AC的长(最后结果精确到0.1米).(参考数据：sin37∘≈35，cs37∘≈45，tan37∘≈34，tan84∘≈192)
22.(本小题10分)
小华和爸爸准备假期到陇南旅游，但因为时间关系，只能选其中的一个旅游景点，他们决定用抽签的方式来决定去哪里.于是小华在四张完全相同的卡片的正面分别写了A武都万象洞，B文县白马河景区，C成县陈院生态园旅游景区，D宕昌官鹅沟景区，然后背面朝上，洗匀放好.
(1)小华从4张卡片中随机抽取一张，恰好抽中A武都万象洞的概率为______；
(2)若小华从4张卡片中随机抽取一张，记下名字后，放回、洗匀，再由爸爸从中随机抽取一张，用列表或画树状图的方法，求小华和爸爸抽中相同景点的概率.
23.
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+2(k≠0)与x轴、y轴分别交于点A(32,0)，点D，与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于点B(n,4).
(1)求直线与反比例函数的表达式；
(2)过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在反比例函数y=mx的图象上，且△PAC的面积为3，求点P的坐标.
25.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE.
(1)判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；
(2)若AE=6 2，AD=8，求tan∠ABC的值.
26.(本小题10分)
如图1，△ABC为等边三角形，其边长为3.点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2，连接DE，显然有BD=CE.
(1)问题发现：如图2，若将△ADE绕点A逆时针旋转一个角度(0∘<α<60∘)，结论“BD=CE“仍成立吗？请作出判断，并证明你的结论；
(2)问题解决：如图3，在(1)的情形下，当点B，D，E三点正好在一条直线上时，求CE的长.
27.(本小题12分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B(2,0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0,8).
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D为抛物线的顶点，则△ACD的面积为______；
(3)点P是坐标平面内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2024的倒数是12024；
故选：C.
根据乘积是1的两数互为倒数解答即可．
本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.该艺术字既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故不符合题意；
B.该艺术字既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故不符合题意；
C.该艺术字既是轴对称图形又是中心对称图形．故符合题意；
D.该艺术字既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故不符合题意．
故选：C.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】C
【解析】解：∵FA平分∠CFE，FA平分∠CFE，
∴∠AFC=12∠CFE=35∘，
∴∠BFD=∠AFC=35∘.
故选：C.
根据角平分线的定义求出∠AFC的度数，再根据对顶角相等即可求解．
本题主要考查了角平分线的定义以及对顶角相等的性质，认准图形是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵关于x的方程x2+bx+1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=b2−4=0，
解得b=±2.
故选：A.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．据此得出关于b的方程，求出b的值即可．
此题考查了一元二次方程根的判别式，关键是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系．
5.【答案】C
【解析】解：将P的坐标代入，得：3=k，
解得：k=3.
故选：C.
将点P的坐标代入可求得k的值即可．
本题主要考查一次函数上点的坐标特征，点的坐标代入解析式中计算是关键．
6.【答案】B
【解析】解：根据图中信息推断，该地区夏季高温干燥，冬季寒冷多雨，
故选：B.
折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
本题考查了折线统计图，读懂折线统计图所表示的含义是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，EF=3，
∴EF是△OAB的中位线，则OB=2EF=6，
∵在▱ABCD中，
∴BD=2OB=12，
故选：C.
根据已知条件可以得到EF是△OAB的中位线，则OB=2EF=6，再利用平行四边形的性质得出BD即可．
本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过圆心O，作OC⊥AB，则AC=BC=12AB，
在Rt△AOC中，OC=18−14=4，AO=OC+(14−10)=4+OC=8，
∴AC= AO2−OC2= 82−42=4 3，
∴AB=2AC=8 3，
故选：D.
过圆心O，作OC⊥AB，根据垂径定理得出AC=BC=12AB，根据图示得出OC=4，AO=8，勾股定理即可求解．
本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=k，
∵ADDB=12，
∴ADAB=13，
∴C△ADEC△ABC=13.
故选：A.
根据相似三角形的判断与性质，求出边的比例即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，求出边的比例即可求出周长的比．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过点B作BH⊥DA交DA的延长线于H，设BH=h，则有当点P在线段AD上时，y=12×h×x，h是定值，y是x的一次函数．
点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大，且y是x的一次函数，即y=12hx，
点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；
点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，即y=12h(x−AD−DC)，
故选：C.
分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．
本题以动点问题为背景，考查了分类讨论的数学思想以及函数图象的变化规律．
11.【答案】−2，±1，0
【解析】解：大于−234而小于2的所有整数是−2，±1，0.
故答案为：−2，±1，0.
根据题意得出大于−234而小于2的所有整数是−2，±1，0即可．
本题考查了有理数的大小比较，根据题意得到所给的范围进行求解是解题的关键．
12.【答案】2xy(x−2y)2
【解析】解：原式=2xy(x2−4xy+4y2)
=2xy(x−2y)2.
故答案为：2xy(x−2y)2.
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13.【答案】1.035×107
【解析】解：1035万=10350000=1.035×107，
故答案为：1.035×107.
科学记数法形式：a×10n，其中1≤a<10，n为正整数．
本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数(确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位).
14.【答案】65∘
【解析】解：设∠DBC=α，∠CBE=β，则∠DAC=α，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠DAB=α，∠ABE=β，
∴∠CAB+∠ABC+50∘=2α+2β+50∘=180∘，
∴α+β=65∘，
则∠DBE=α+β=65∘.
故答案为：65∘.
设∠DBC=α，∠CBE=β，则∠DAC=α，根据内心得∠DAB=α，∠ABE=β，利用三角形内角和定理即可求得α+β=65∘，即可求得答案．
本题主要考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解答本题的关键要明确同弧所对圆周角相等，
15.【答案】11
【解析】解：∵y=−110(x−5)2+3.6，
∴当y=0时，即−110(x−5)2+3.6=0，
解得x1=11，x2=−1(不合题意舍去)，
答：该喷灌架喷出的水可到达的最远距离OA=11米，
故答案为：11.
根据题意得到−110(x−5)2+3.6=0，解方程即可得到结论．
本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键．
16.【答案】8π3−4 3
【解析】解：连接AC，BD，交于点O，
∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，AC⊥BD，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60∘，AB=AC=2，OA=1，OB=OD，
∴OB=OD= 3，
∴BD=2 3，
∴CD=BC=2，∠BAD=120∘，
∴图中阴影部分的面积为：2×(120π×22360−12×2×2 3)=8π3−4 3，
故答案为：8π3−4 3.
先证得△ABC是等边三角形，进而利用扇形面积和菱形面积求出即可．
此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形判定和扇形的面积公式的应用，根据已知得出△ABC是等边三角形是解题关键．
17.【答案】解：原式= 48÷3+ 12×12−2 6
=4+ 6−2 6
=4− 6.
【解析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18.【答案】解：(1−aa+2)÷a2−4a2+4a+4
=a+2−aa+2⋅(a+2)2(a+2)(a−2)
=2a−2.
【解析】先通分括号内的式子，然后再将括号外的除法化为乘法，最后约分即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19.【答案】{2x−1>x+1①x+1>4x−8②
解：由①得：x>2，
由②得：x<3，
∴不等式组的解集是2在数轴上表示为：

【解析】先求出不等式组中，两个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，即可得到不等式组的解集，利用数轴表示不等式组的解集即可．
本题考查解一元一次不等式组，关键是掌握解一元一次不等式的方法．
20.【答案】(1)解：如图，点E即为所求；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，
∴∠CDB=∠ABD，
∵ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ABD=∠EBD，
∴BD平分∠ABE.
【解析】(1)作线段BD的垂直平分线交CD于点E；
(2)证明∠ABD=∠EBD即可．
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90∘，
设CD=x米，
∵BD=4米，
∴BC=BD+CD=(x+4)米，
在Rt△ACD中，∠ADC=84∘，
∴AC=CD⋅tan84∘≈192x(米)，
在Rt△ABC中，∠ABC=37∘，
∴AC=BC⋅tan37∘≈34(x+4)米，
∴192x=34(x+4)，
解得：x=1235，
∴AC=192x≈3.3(米)，
∴表AC的长约为3.3米．
【解析】根据垂直定义可得∠ACB=90∘，然后设CD=x米，则BC=(x+4)米，分别在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】14
【解析】解：(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中A武都万象洞的结果有1种，
∴恰好抽中A武都万象洞的概率为14.
故答案为：14.
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小华和爸爸抽中相同景点的结果有4种，
∴小华和爸爸抽中相同景点的概率为416=14.
(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中A武都万象洞的结果有1种，利用概率公式可得答案．
(2)画树状图可得出所有等可能的结果数以及小华和爸爸抽中相同景点的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23.【答案】

【解析】
24.【答案】解：(1)把A(32,0)代入y=kx+2中，
得32k+2=0，解得k=−43，
∴直线的表达式为y=−43x+2.
把B(n,4)代入y=−43x+2，得−43n+2=4，
解得n=−32，
∴B(−32,4)，
把点B代入y=mx中，得4=m−32，
解得m=−6，
∴反比例函数的表达式为y=−6x；
(2)设点P的坐标为(a,b)，
∵△PAC的面积为3，
∴12AC⋅|b|=3.
∵B(−32,4)，
∴C(−32,0)，
即12×3×|b|=3，
解得b=±2，
当b=2时，a=−3，
当b=−2时，a=3，
∴P(3,−2)或P(−3,2).
【解析】(1)A(32,0)代入y=kx+2中，得k=−43；再把B(n,4)代入y=−43x+2，得n=−32，运用待定系数法求解析式，即可作答．
(2)设点P的纵坐标为b，根据△PAC的面积为3求出b，再代入y=mx求出横坐标即可．
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及待定系数法的运用，解题的关键是注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足反比例函数与一次函数解析式．
25.【答案】解：(1)直线AC与△DBE外接圆相切．
理由如下：设△DBE外接圆的圆心为O，连接OE，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠CBE=∠OEB，
∴OE//BC，
∴∠OEA=∠C=90∘，
∴OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
(2)设⊙O的半径为r，则OE=OD=r，OA=8+r，
在Rt△AOE中，r2+(6 2)2=(8+r)2，解得r=12，
∴tan∠AOE=6 212=12 2，
∵OE//BC，
∴∠ABC=∠AOE，
∴tan∠AOE=12 2.
【解析】(1)设△DBE外接圆的圆心为O，连接OE，如图，证明OE//BC得到∠OEA=∠C=90∘，然后根据切线的判定定理得到AC为⊙O的切线；
(2)设⊙O的半径为r，则OE=OD=r，OA=8+r，利用勾股定理计算出r2+82=(6+r)2，解得r=12，利用正切定义得到tan∠AOE=12 2，然后根据平行线的性质得∠ABC=∠AOE，从而得到tan∠ABC的值．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
26.【答案】解：(1)结论：BD=CE成立．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=60∘，
∵AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∵∠BAC=∠DAE=60∘，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)如图3中，过点A作AH⊥CE交CE的延长线于点H.
，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60∘，
∵B，D，E共线，
∴∠ADB=180∘−∠ADE=120∘，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠AEC=120∘，
∴∠AEH=180∘−∠AEC=60∘，
∴AH=AE⋅sin60∘=2× 32= 3，EH=AE⋅cs60∘=1，
∴CH= AC2−AH2= 32−( 3)2= 6，
∴EC=CH−EH= 6−1.
【解析】(1)结论：BD=CE成立．证明△BAD≌△CAE(SAS)，可得结论；
(2)如图3中，过点A作AH⊥CE交CE的延长线于点H.证明∠AEH=60∘，求出AH，EH，CH，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
27.【答案】3
【解析】解：(1)c=8，则y=−x2+bx+8，
将点B的坐标代入上式并解得：b=−2，
故抛物线的表达式为：y=−x2−2x+8；
(2)如图，过点D作DH//y轴交AC于点H，
由点A、C坐标可得，直线AC的表达式为：y=2x+8，
抛物线与x轴交于A，则点A(−4,0)，点的D(−1,9)，则点H(−1,6)，则DH=3，
△ACD的面积=12×DH×OA=12×3×4=6，
故答案为3；
(3)点A、C的坐标分别为：(−4,0)、(0,8)，设点P(m,n)，而点B(2,0)；
①当AC是边时，
点A向右平移4个单位向上平移8个单位得到C，同样点P(B)向右平移4个单位向上平移8个单位得到点B(P)，
故2±4=m，0±8=n，解得：m=6或−2，n=8或−8，
故点P(6,8)或(−2,−8)；
②当AC是对角线时，
由中点公式得：m+2=−4，n=8，
解得：m=−6，n=8，故点P(−6,8)；
综上，点P(6,8)或(−2,−8)或(−6,8).
(1)c=8，则y=−x2+bx+8，将点B的坐标代入上式并解得：b=−2，即可求解；
(2)△ACD的面积=12×DH×OA=12×3×4=6，即可求解；
(3)分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．