2024年贵州省毕节市金沙县中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年贵州省毕节市金沙县中考数学一模试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个数中，最大的数是( )
A. −(−2021)B. |−2022|C. −|−2023|D. −(+2024)
2.下列几何体中，俯视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
3.据统计，2023年贵州省共接待游客万人次.数据“128400万”用科学记数法表示为( )
A. 12.84×104B. 1.284×105C. 12.84×108D. 1.284×109
4.如图，长为10cm，宽为5cm的长方形纸上有两个半径均为1cm的圆，随机往纸上扎针，落在圆内的概率为( )
A. 150B. 125C. π50D. π25
5.已知aA. a+2>b+2B. −3a>−3bC. a26.将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB=63∘，则∠EDB的度数为( )
A. 12∘
B. 15∘
C. 18∘
D. 22∘
7.若不等式(a−2)x1，则a必须满足的条件是( )
A. a>0B. a>2C. a≠2D. a<2
8.如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE=80∘，那么∠BOD的度数为( )
A. 160∘
B. 135∘
C. 80∘
D. 40∘
9.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2=0的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 无法确定
10.若反比例函数y=ax(a≠0)的图象位于第二、四象限，则二次函数y=2ax2+x−a的图象大致为( )
A. B. C. D.
11.如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OC′：CC′=3：1，△A′B′C′的面积为27，则△ABC的面积为( )
A. 48
B. 24
C. 32
D. 916
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：
①2a+b=0；②abc<0；③9a+3b+c>0；④3a+c<0；⑤若m≠1，则m(am+b)−aA. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.已知ab=2，a−b=1012，则a2b−ab2的值为______.
14.若二次根式 −a有意义，则a的取值范围是______.
15.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱ABOD的顶点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，顶点A在反比例函数y=−2x(x<0)的图象上，顶点D在x轴的负半轴上.若▱ABOD的面积是6，则k的值是______.
16.如图，两个长为15、宽为3的矩形纸条倾斜地重叠着.若∠ADC=60∘，则重叠部分四边形ABCD的面积是______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：(12)−2+|34− 12|−(π−2024)0−4sin60∘；
(2)解分式方程：2x+1−3x−1=1x2−1.
18.(本小题8分)
电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全，为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识测试.七、八年级各有600名学生，现从这两个年级各随机抽取50名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩x按A：90≤x≤100，B：80≤x<90，C：70≤x<80，D：60≤x<70四个评价等级进行整理，得到了不完整的统计图表.七年级成绩统计表：
八年级测试成绩评价等级为B的全部分数(单位分)如下：80，81，82，82，84，86，86，87，88，88，89，89，89.
(1)表格中，b=______；
(2)八年级测试成绩的中位数是______；
(3)若测试成绩不低于80分，则认为该学生对防电信诈骗意识较强，请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？
19.(本小题8分)
如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90∘，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连接BD.
(1)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．
(2)若AD=3，BD=4，求边BC的长．
20.(本小题8分)
如图，小明利用课余时间测量教学楼的高度.他在C点测得A点的仰角为37∘，他又向前走了4m，测得A点关于E点的仰角为45∘.已知小胖身高为1.6m，求教学楼AB的高度.(结果保留整数，参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75， 2≈1.41)
21.(本小题8分)
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点P在∠BAC平分线AD上，过点P作线段EF分别交BD，AC于点E，F，已知∠CEF=2∠BAD.
(1)求证：△ABC∽△EFC.
(2)若BE=DE=3，F是AC的中点，求CF的值.
22.(本小题8分)
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利和减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件降价1元，则每天可多销售2件．
(1)商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)问在这次活动中，平均每天能否获利1500元？若能，求出每件衬衫应降多少元；若不能，请说明理由．
23.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不与A、B重合).连接DP交对角线AC于E，连接BE.
(1)证明：∠APD=∠CBE；
(2)试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的14？请说明理由．
24.(本小题8分)
如图，二次函数y=−x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接AC，BC.
(1)求二次函数的表达式及点B的坐标；
(2)若该二次函数的图象上有一点D(不与点C重合)使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标.
25.(本小题8分)
综合与探究
已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60∘，∠MAN的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠MAN=60∘.
【初步感知】
(1)当E是线段CB的中点时(如图1)，AE与EF的数量关系为______.
【深入探究】
(2)如图2，将图1中的∠MAN绕点A顺时针旋转α(0∘<α<30∘)，(1)中的结论还成立吗？说明理由.
【拓展应用】
(3)如图3，将图2中的∠MAN绕点A继续顺时针旋转，当α=45∘时，求点F到BC的距离.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−(−2021)=2021，|−2022|=2022，−|−2023|=−2023，−(+2024)=−2024，
∵−2024<−2023<2021<2022，
∴|−2022|>−(−2021)>−|−2023|>−(+2024)，
故选：B.
根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值的大的反而小判断即可．
本题考查了有理数比较大小，解题关键是熟记有理数比较大小的法则．
2.【答案】B
【解析】解：A.球的俯视图是圆，故本选项不符合题意；
B.该三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C.该圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意；
D.该圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意．
故选：B.
根据常见简单几何体的三视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何体的三视图是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵128400万=1284000000，
∴128400万=1.284×109.
故选：D.
解题的关键是把万表示为：a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，即可．
本题考查科学记数法的知识，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：长方形的面积=10×5=50(cm2)，
两个圆的总面积是：2πcm2，
则针落在阴影部分的概率是2π50=π25；
故选：D.
分别求出圆和长方形的面积，它们的面积比即为针落在阴影部分的概率．
本题考查几何概率的求法：注意圆、长方形的面积计算．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
5.【答案】B
【解析】解：A.∵a∴a+2B.∵a∴−3a>−3b，原变形正确，故该选项符合题意；
C.根据aD.根据a故选：B.
根据不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
本题主要考查了不等式的基本性质，关键是不等式性质的熟练应用．
6.【答案】A
【解析】解：∵∠FEB=63∘，∠FED=45∘，
∴∠DEB=∠FEB−∠FED=63∘−45∘=18∘.
又∵∠ABC是△BDE的外角，
∴∠EDB=∠ABC−∠DEB=30∘−18∘=12∘.
故选：A.
由∠FEB=63∘，∠FED=45∘，结合∠DEB=∠FEB−∠FED，可求出∠DEB的度数，由∠ABC是△BDE的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出∠EDB的度数．
本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵x>1，
∴a−2<0，
∴a<2，
故选：D.
根据不等式的性质，发现不等号改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，即可求出a的范围．
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠DCE+∠BCD=180∘，∠A+∠BCD=180∘，
∴∠A=∠DCE，
∵∠DCE=80∘，
∴∠A=80∘，
∴∠BOD=160∘.
故选：A.
根据圆内接四边形的性质证得∠DCE=∠A，在根据圆周角定理求出∠BOD即可．
本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
9.【答案】C
【解析】解：由题意得，Δ=(2m)2−4m2=4m2−4m2=0，
∴关于x的一元二次方程x2+2mx+m2=0有两个相等的实数根，
故选：C.
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根，据此求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的应用是关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=ax(a≠0)的图象位于第二、四象限，
∴a<0，
∴2a<0
∴二次函数y=2ax2+x−a的图象开口向下，
由∵对称轴x=−12a>0，
∴对称轴在x轴的正半轴，
故选：A.
由反比例函数y=ax(a≠0)的图象位于第二、四象限，可判断出a<0，进而可判断二次函数y=2ax2+x−a的图象开口向下，再根据对称对称轴x=−12a>0即可判断出对称轴在y轴的右侧，即可得到答案．
本题考查二次函数和反比例函数的图象和性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
11.【答案】A
【解析】解：∵OC′CC′=34，
∴OC′OC=34，
∵△A′B′C′与△ABC位似，
∴△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′与△ABC的相似比为34，
∴S△A′B′C′S△ABC=916，
∴S△ABC=169S△A′B′C′=169×27=48.
故选：A.
由OC′：CC′=3：4得到OC′：OC=3：4，从而得到△A′B′C′与△ABC的相似比为3：4，S△A′B′C′：S△ABC=9：16，进而即可解答．
本题考查位似的性质、相似三角形的性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
12.【答案】D
【解析】解：∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a，
∴2a+b=0，①正确，符合题意．
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵b=−2a，
∴b>0，
∵抛物线与x轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，②正确，符合题意．
由图象可得x=−1时，y<0，根据抛物线对称性可得x=3时，y<0，
∴9a+3b+c<0，③错误，不符合题意．
∵x=−1，y<0，
∴a−b+c<0，
∵b=−2a，
∴3a+c<0，④正确，符合题意．
∵x=1时，y取最大值，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴m(am+b)−a故选：D.
根据抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，可判断①，由抛物线开口方向，b=−2a，抛物线与y轴交点位置可判断②，由图象可得x=−1，y<0，根据抛物线对称性可得x=3，y<0，进而判断③④，由x=1时y取最大值可判断⑤．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
13.【答案】2024
【解析】解：a2b−ab2
=ab(a−b)
=2×1012
=2024
故答案为：2024.
先提公因式化简式子再代入计算即可．
本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，正确记忆相关知识点是解题关键．
14.【答案】a≤0
【解析】解：由题意得，−a≥0，
解得a≤0.
故答案为：a≤0.
根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
15.【答案】4
【解析】解：设A(a,−2a)，
∵四边形OBAD是平行四边形，
∴AB//DO，
∴B(−ak2,−2a)，
∴AB=−(a+ak2)，
∵平行四边形OBAD的面积是6，
∴−(a+ak2)×(−2a)=6，
解得k=4.
故答案为：4.
设点A即可得到点B的坐标，利用平行四边形的性质可列出方程，求解即可．
本题主要考查反比例图象上点的性质，涉及两点之间距离、平行四边形的性质和平行四边形面积公式．
16.【答案】6 3
【解析】解：∵CD//AB，AD//CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
作AE⊥CD于点E，CF⊥AD于点F，
则∠CFD=∠AED=90∘，
∵两个矩形的宽都是3，
∴CF=AE=3，
在△CFD和△AED中，
∠CDF=∠ADE∠CFD=∠AEDCF=AE，
∴△CFD≌△AED(AAS)，
∴CD=AD，
∵∠ADC=60∘，
∴∠DAE=30∘，
∴DE=12AD，
∵AD2−DE2=AE2，
∴AD2−(12AD)2=32，
∴CD=AD=2 3，
∴S四边形ABCD=CD⋅AE=2 3×3=6 3，
故答案为：6 3.
先证明四边形ABCD是平行四边形，作AE⊥CD于点E，CF⊥AD于点F，则CF=AE=3，再证明△CFD≌△AED，则CD=AD，由∠AED=90∘，∠ADC=60∘，得∠DAE=30∘，则DE=12AD，所以AD2−(12AD)2=32，求得CD=AD=2 3，即可求得四边形ABCD面积的是6 3，得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行四边形的面积公式、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(12)−2+|34− 12|−(π−2024)0−4sin60∘
=22+2 3−34−1−4× 32
=4+2 3−34−1−2 3
=3−34
=94；
(2)2x+1−3x−1=1x2−1，
等式两边乘以公分母(x2−1)，得2x+1×(x2−1)−3x−1×(x2−1)=1x2−1×(x2−1)，
去分母，得2×(x−1)−3×(x+1)=1，
去括号，得2x−2−3x−3=1，
移项、合并同类项，得−x=6，
解得x=−6.
经检验，x=−6是原分式方程的解．
【解析】(1)根据a−1=(1a)1，a0=1(a≠0)，sin60∘= 32，进行计算即可；
(2)等式两边乘以公分母x2−1，然后去小括号，移项，最后系数化为1即可．
本题考查含锐角三角形函数特殊值的运算，分式方程，解题的关键是掌握特殊三角形函数值，实数的运算，负整数次幂，零次幂的运算，解分式方程，即可．
18.【答案】1186.5
【解析】解：(1)b=50×0.22=11，
故答案为：11；
(2)把八年级50名学生的测试成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是87，86，故中位数为87+862=86.5，
故答案为：86.5；
(3)600×(0.4+0.22)+600×(44%+26%)=372+420=792(人)，
答：估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共约有792人．
(1)用总数乘B等级的频率可得b的值；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查了频数分布分布表、扇形统计图、用样本估计总体等知识，掌握数形结合的思想解答是关键．
19.【答案】(1)证明：连接OD.
∵OD=OB(⊙O的半径)，
∴∠OBD=∠BDO(等边对等角)；
∵AB是直径(已知)，
∴∠ADB=90∘(直径所对的圆周角是直角)，
∴∠ADB=∠BDC=90∘；
在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴BE=CE=DE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∴∠DBE=∠BDE(等边对等角)；
又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90∘，
∴∠ODE=∠BDO+∠BDE=90∘(等量代换)；
∵点D在⊙O上，
∴ED与⊙O相切；
(2)在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=4，
∴AB=5(勾股定理)；
在Rt△BDC和Rt△ADB中，∠ADB=∠BDC=90∘，∠ABC=90∘，
∴∠ABD+∠DBC=90∘，∠BCD+∠DBC=90∘，
∴∠ABD=∠BCD，
∴△BDC∽△ADB，
∴BCAB=BDAD.即BC5=43，
∴BC=203.
【解析】(1)连接OD.欲证ED与⊙O相切，只需证明OD⊥DE；
(2)通过相似三角形△BDC∽△ADB的对应边成比例知BCAB=BDAD，由此可以求得线段BC的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质．圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，则该直线就是圆的一条切线．
20.【答案】解：如图，延长CE交AB于G，
根据题意得，CD⊥BD，AB⊥BD，CE//BD，∠AEG=45∘，∠ACG=37∘，CE=4m，CD=1.6m，
∴∠CDB=∠B=∠CGB=90∘，
∴四边形CDBG为矩形，
∴CD=BG，
设AG=3xm，
∴CG=AGtan∠ACG=4xm，
∵∠AEG=45∘，∠CGA=90∘，
∴△AGE为等腰直角三角形，
∴GE=AG=3xm，
∴x=4m，3x=12m，
∴AB≈14m，
答：教学楼AB的高度约为14m.
【解析】如图，延长CE交AB于G，根据题意得，CD⊥BD，AB⊥BD，CE//BD，∠AEG=45∘，∠ACG=37∘，CE=4m，CD=1.6m，根据矩形的性质得到CD=BG，设AG=3xm，解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形并运用方程的思想方法是解答此题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD，
又∵∠CEF=2∠BAD，
∴∠BAC=∠CEF，
在△ABC和△EFC中，
∠BAC=∠CEF，∠BCA=∠FCE，
∴△ABC∽△EFC；
(2)解：∵△ABC为腰三角形，AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD，
∵BE=DE=3，
∴CD=BD=BE+ED=6，EC=ED+CD=9，BC=2BD=12，
∵点F为AC的中点，
∴AC=2CF，
由(1)可知：△ABC∽△EFC，
∴EC：AC=CF：AC，
∴9：2CF=CF：12，
∴CF2=54，
∴CF=3 6(舍去负值).
【解析】(1)先证∠BAC=∠CEF，进而可依据“两角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；
(2)先根据等腰三角形的性质及已知条件分别求出CD=BD=6，EC=9，BC=12，再根据点F为AC的中点得AC=2CF，然后根据(1)的结论得EC：AC=CF：AC，把数值代入即可得出CF的值．
此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例，等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合(三线合一).
22.【答案】解：(1)设每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40−x)元，每天可以售出(20+2x)，
由题意，得(40−x)(20+2x)=1200，
即：(x−10)(x−20)=0，
解，得x1=10，x2=20，
为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20，
所以，若商场平均每天要盈利12O0元，每件衬衫应降价20元；
(2)假设能达到，由题意，得(40−x)(20+2x)=1500，
整理，得x2−30x+350=0，
△=302−2×1×350=−500<0，
即：该方程无解，
所以，商场平均每天盈利不能达到1500元．
【解析】(1)设每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40−x)元，每天可以售出(20+2x)，所以此时商场平均每天要盈利(40−x)(20+2x)元，根据商场平均每天要盈利=1200元，为等量关系列出方程求解即可．
(2)假设能达到，根据商场平均每天要盈利=1500元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能．
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点是“根的判别式”的应用．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠DCE=∠BCE，AB//CD，
∴∠CDE=∠APD，
在△CDE和△CBE中，
CD=CB∠DCE=∠BCECE=CE，
∴△CDE≌△CBE(SAS)，
∴∠CBE=∠CDE，
∴∠APD=∠CBE；
(2)P点运动到AB中点时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的14.
理由：连接BD，
∵P是AB的中点，
∴S△ADP=12S△ABD，
∵S△ABD=12S菱形ABCD，
∴S△ADP=14S菱形ABCD.
【解析】(1)由四边形ABCD是菱形，即可证得∠CDE=∠APD，△CDE≌△CBE，继而证得结论；
(2)首先连接BE，由等高三角形的面积比等于对应底的比，可证得S△ADP=12S△ABD，继而证得结论．
此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
24.【答案】解：(1)∵二次函数y=−x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，
代入表达式，得−9+2×3+m=0，
解得m=3，
∴二次函数的表达式为y=−x2+2x+3.
在y=−x2+2x+3中，
当y=0时，则−x2+2x+3=0，
解得x1=3，x2=−1，
∴B(−1,0)；
(2)如图，当点D在x轴上方时，连接BD，AD，过点D作DE⊥AB于点E.
∵当x=0时，y=−x2+2x+3=3，
∴C(0,3).
当S△ABD=S△ABC时，OC=DE=3，
当y=3时，−x2+2x+3=3，
解得x=0或x=2，
∴点D的坐标为(2,3).
当点D在x轴下方时，−x2+2x+3=−3，
解得x=1− 7或x=1+ 7，
∴点D的坐标为(1− 7,−3)或(1+ 7,−3).
综上所述，满足条件的点D的坐标为(2,3)或(1− 7,−3)或(1+ 7,−3).
【解析】(1)用待定系数法求二次函数的解析式，另y=0可求出B的坐标；
(2)求出点C的坐标，因为S△ABD=S△ABC，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要S△ABD的高与OC的长相等即可．
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与两坐标轴的交点，以及二次函数与几何综合，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
25.【答案】AE=EF
【解析】(1)解：连接AC，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，AD//BC，∠ABC=60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAD=120∘，∠D=60∘，
∵E是BC的中点，
∴∠BAE=30∘，AE⊥BC，
∵∠EAF=60∘，
∴∠DAF=∠BAD−∠EAF−∠BAE=30∘，
∴∠AFD=90∘，
∴AE=AF(都是菱形的高)，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF；
故答案为：AE=EF.
(2)成立．
理由：如图2，连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD.
∵∠ABC=60∘，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=∠ABC=∠BAC=60∘，AB=AC，
∵∠MAN=60∘，
∴∠BAE=60∘−∠CAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
∠ABE=∠ACFAB=AC∠BAE=∠CAF，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴AE=AF.
∵∠MAN=60∘，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF；
(3)如图3，过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，连接AC.
当α=45∘时，∠EAG=45∘，
∴∠AEB=45∘.
在Rt△AGB中，∠ABC=60∘，AB=4，
∴BG=2，AG=2 3，
在Rt△AEG中，∠AEG=∠EAG=45∘，
∴GE=AG=2 3，
∴EB=EG−BG=2 3−2，
由(2)可得AB=AC，∠EAB=60∘−∠BAF=∠FAC，
∠ABE=180∘−∠ABC=120∘=180∘−∠ACD=∠ACF，
∴△AEB≌△AFC(ASA)，
∴EB=CF=2 3−2.
∵∠FCE=60∘，
∴∠CFH=30∘，
∴CH=12CF= 3−1，
∴FH= 3CH=3− 3，
即点F到BC的距离为3− 3.
(1)如图所示，连接AC，先证明△ABC是等边三角形，并求出∠BAD=120∘，∠D=60∘，由三线合一定理得到∠BAE=30∘，AE⊥BC，进而求出∠DAF=30∘，在∠AFD=90∘，即可证明AE=AF(都是菱形的高)，从而推出△AEF是等边三角形，则AE=AF=EF；
(2)连接AC，由四边形ABCD是菱形，得AB=BC=CD=AD，又∠ABC=60∘，即知△ABC、△ACD是等边三角形，有∠ACD=∠ABC=∠BAC=60∘，AB=AC，根据∠MAN=60∘，可证△ABE≌△ACF(ASA)，得AE=AF，△AEF是等边三角形，故AE=EF=AF；
(3)过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，连接AC，当α=45∘时，∠EAG=45∘，在Rt△AGB中，可得BG=2，AG=2 3，由∠AEG=∠EAG=45∘，得AG=GE=2 3，EB=EG−BG=2 3−2，同(1)可得△AEB≌△AFC(ASA)，即得EB=CF=2 3−2，从而CH=12CF= 3−1，FH= 3CH=3− 3.
本题是几何变换综合题，考查菱形中的旋转问题，涉及全等三角形判定与性质、等边三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，证明△AEB≌△AFC.评价等级
成绩x/分
频数
频率
A
90≤x≤100
20
0.4
B
80≤x<90
b
0.22
C
70≤x<80
15
0.3
D
60≤x<70
4
0.08