2024安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学试题含解析

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本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1至第3页，非选择题第4至第6页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
考生注意事项：
1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．
2．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知，“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，已知，，则（ ）
A. -2025B. -2024C. 2024D. 2025
4. 在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数，，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则的最大值为（ ）
A. 57B. 58C. 60D. 61
5. 设函数的导函数为，则（ ）
A. B. C. 7D. 25
6 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数的定义域为R，对于任意实数x，y，都有，则的值不可能是（ ）
A. -2B. C. 1D. 2
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 复数p，q，r在复平面内对应的点分别为P，Q，R，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则P，Q，R三点共线D. 若，则，，成等比数列
10. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，、分别为棱、的中点，下列说法正确的有（ ）
A. B. 平面
C. 若，则D. 若平面，则
11. 已知为的三条边长，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 在中，，，，则以B、C为焦点，且过A点的双曲线的离心率为______．
13. 曲线在点，处切线分别与y轴交于点，．若c，，d成等差数列，则______．
14. 某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 在中，分别是角所对的边，为边上一点．
（1）试利用“”证明：“”；
（2）若，求的面积．
16. 某品牌儿童玩具一箱80件，每箱玩具在出厂前都需要经过质检，如果质检不合格，则立即更换．质检时，先从一箱玩具中任取8件检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有玩具进行检验，设每件玩具质检不合格的概率都为，且各件玩具质检是否合格相互独立．
（1）若，求8件玩具中至少有一件质检不合格的概率；
（2）记8件玩具中恰有2件质检不合格的概率为，求的极大值点．
17. 矩形ABCD中，BC=2AB=2，取BC边上一点M，将△ABM沿着AM折起，如图所示形成四棱锥S- AMCD.
（1）若M为BC的中点，二面角S-AM-B的大小为，求AS与平面ABCD所成角的正弦值；
（2）若将△ABM沿着AM折起后使得SD⊥AM，求线段MC的长.
18. 设p为任意给定的大于1的整数，每个正整数n均可以唯一地表示成，，我们将称为n的p进制表示，将称为n在p进制下的数字和．例如：由可知，．
（1）请给出2024的三进制表示；
（2）若，求．
19. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线：的焦点为F，点，，在抛物线上，直线，，的斜率分别为，，．
（1）若F为的重心，求证：为定值；
（2）若F为垂心，求证：为定值．