丰城市第九中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份丰城市第九中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若，则“”是“”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．已知（，i为虚数单位），则复数( )
A.2B.C.D.6
3．函数的大致图像为( )
A.B.C.D.
4．如图，在三棱柱中，M为AC的中点N为侧面上的一点，且平面，若点N的轨迹长度为2，则( )
A.B.C.D.
5．已知实数x,y满足,则的最大值是( )
A.B.4C.D.7
6．已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为( )
A.2B.C.D.3
7．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有( )
A.76种B.82种C.86种D.90种
二、多项选择题
9．连续拋掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有( )
A.A与B不互斥且相互独立B.A与D互斥且不相互独立
C.B与D互斥且不相互独立D.A与C不互斥且相互独立
10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则下列正确的是( )
A.B.C.的周长为D.
11．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为2，3，…，7，用X表示小球落入格子的号码，则( )
A.B.C.当Р最大时，或5D.
12．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.
图1图2
已知正八边形的边长为2，P是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是( )
A.若函数，则函数的最小值为
B.的最大值为
C.在方向上的投影向量为
D.
三、填空题
13．关于x的二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_________.
14．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则此函数的表达式为______.
15．用模型拟合一组数据组，其中.设，变换后的线性回归方程为，则_________.
16．已知函数若方程有四个不同的解，，，，且，则的最大值是___________.
四、解答题
17．已知命题，，命题q：已知，，.
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若“p为真命题”是“q为真命题”的必要不充分条件，求m的取值范围.
18．吃粽子是我国端午节的传统习俗.现有一盘子粽子装有10个，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外外观完全相同，从中任意选取3个.
（1）求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；
（2）求所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率.
（3）设ξ表示取到的红豆粽个数，求ξ的分布列与期望.
19．在中，，，.
（1）求c；
（2）设D为边上一点，且，求的面积.
20．如图，在三棱锥中，平面，且.
（1）证明：平面平面；
（2）设棱，的中点分别为E，D，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21．已知椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为，，线段，的中点分别为，，且是面积为4的直角三角形.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过作直线l交椭圆于P，Q，，求直线l的方程.
22．已知椭圆的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段长度的最小值为，C的离心率为。
（1）求C的标准方程；
（2）斜率存在且不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，
使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由。
参考答案
1．答案：A
解析：当，时，；当时，，即.
故“”是“”的必要不充分条件.故选：A
2．答案：B
解析：，，
，解得，所以.故选：B.
3．答案：D
解析：函数的定义域为，当时，，排除B和C；当时，，排除A.故选：D.
4．答案：B
解析：
如图，取的中点D，的中点E，连接MD，DE，ME，由，，可得平面平面，故点N的轨迹为线段DE，又由2，可得，故选B.
5．答案：C
解析：法一:令,则,
代入原式化简得,
因为存在实数y,则,即,
化简得,解得,
故的最大值是,
法二:,整理得,
令,,其中,
则,
,所以,则,即时,取得最大值,
法三:由可得,
设,则圆心到直线的距离,
解得
故选:C.
6．答案：B
解析：由题意知，设，则，
所以当时，，又因为圆C的半径为1，所以.
故选：B.
7．答案：D
解析：因为,
所以,
由B为三角形内角可得,
则
由,
所以,
所以,故.
故选:D.
8．答案：D
解析：由题意知这4人中恰有2人均预约了2个馆，剩下2人均预约了1个馆，
首先将4人分成2组，有种不同的分法，
下面分2种情况：若预约2个馆的2人预约完全相同，有种不同的结果；
若预约2个馆的2人有预约1馆相同，有种不同的结果，
所以每个馆恰有2人预约的不同方案有种.故选：D.
9．答案：ABD
解析：对于A，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即A与B相互独立；第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，A与B不互斥：故A正确；对于B，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即A与D不相互独立；第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即A与D不能同时发生，即A与D互斥，故B正确：对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即B与D不相互独立；若第一次的点数为5点，第二次的点数为4点，则两次点数之和为9，即B与D可以同时发生，即B与D不互斥，故C错误；对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即A与C相互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数为3，则两次点数之和为5是奇数，即A与C可以同时发生，即A与C不互斥，故D正确.故选ABD.
10．答案：AB
解析：对于A，C，在中，，
由正弦定理可得，所以，即，
所以的周长为，故A正确，C错误；
对于B，D，因为，所以，所以，
所以，，故B正确，D错误.
故选：AB
11．答案：CD
解析：记事件“向右下落”，则事件“向左下落”，则，
设Y表示事件A发生的次数，
因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数Y加上2，则，
而小球在下落过程中共碰撞小木钉5次，则，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，
，，
，，
，故当或时，概率P最大，故C正确；
对于D，，故D正确.故选：CD.
12．答案：AB
解析：如图所示：以为y轴，为x轴建立直角坐标系，
设，
在中，根据余弦定理可得，，整理得到，
，，，，，，
，，设，
对选项A：，，
所以，，
所以
，
所以当时，函数有最小值为，A正确；
对选项B：取的中点M，则，，
则，，
两式相减得：，
由正八边形的对称性知，当点P与点E或F重合时，最大，
又，，所以，
所以，
所以的最大值为，B正确；
对选项C：，，
所以，即投影向量为，C错误；
对选项D：因为，，所以，
又，所以，D错误.故选：AB
13．答案：1或16
解析：因为关于x的二次方程有两个相等的实数根，
则，解得或，
所以或.故答案为：1或16.
14．答案：
解析：由图知，且，解得，即，解得.
则，所以当时，，
即，则，，
又，所以当时，，即.故答案为：.
15．答案：
解析：因为线性回归方程为恒过，
因为，所以，，
即，所以，即.
故答案为：
16．答案：4
解析：画出的图象有：因为方程有四个不同的解，，，，故的图象与有四个不同的交点，又由图，，，故a的取值范围是.又由图可知，，，故，故.故.又当时，.
当时，，故.又在时为减函数，故当时取最大值.
17．答案：（1）或；
（2）.
解析：（1）当，显然不存在x使方程1=0成立；
当时，一元二次方程的判别式，所以，解得或.
（2）若命题q为真，则，
因为，所以，即，当且仅当时，等号成立.设命题p为真时a的取值集合为A，命题q为真时a的取值集合为B，
因为命题p为真是命题q为真的必要不充分条件，所以B是A的真子集，
所以，故.
18．答案：（1）；
（2）；
（3）分布列见解析，.
解析：（1）令A表示事件“三个粽子中有1个肉粽”，从中任意选取3个有种可能，其中恰有1个肉粽的可能选法有种，
由古典概型的概率计算公式有.
（2）所选3个粽子有肉粽的可能选法有种，
所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的选法有种，
故所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率为.
（3）由题意知，ξ可能取的值为0，1，2，则，
，，，
故ξ的分布列为：
则的期望为.
19．答案：（1）4；
（2）.
解析：（1）由余弦定理可得，
化简可得，解得或（舍）.
（2）因为，所以，
在中，由正弦定理可得，即，解得.
易知C为锐角，所以，，
因为，所以在中，.
根据三角形面积公式可得，
，所以.
20．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）证明：因为平面，平面，所以.
，
平面.又平面，所以平面平面.
（2）解法一：以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
如图，令，则，，，，，
设平面的法向量为，则，取，则.
易知平面的一个法向量为，
则.
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
解法二：如图，设所求平面角为，为两平面的交线，由平面，
得：，又由，得：平面，故设，则，设，则：，
又易知：，，，
故：，得：，
由，得：
，，.
21．答案：（1）；
（2）和.
解析：（1）设椭圆的方程为，
是直角三角形，，为直角，从而，即，，，
在中,，
，，
椭圆标准方程为.
（2）由（1）知，，由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为
代入椭圆方程，消元可得①
设，
，，
则，
，
，，
，
故直线的方程为和
22．答案：（1）；
（2）当时，上式恒为0，即直线l恒过定点.
解析：（1）.过程略.
（2）法一：由，可知PF平分，.
设直线l的方程为，，，
由得，，即，
，，，
，，
整理得，∴当时，上式恒为0，即直线l恒过定点.
法二（齐次化）：由，可知PF平分，.
解：设直线，，，联立：，得：，
令，则：，
由：，解得：，故直线，即直线l恒过定点.
0
1
2
P