湖南省岳阳市平江县2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省岳阳市平江县2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．棱长为1的正方体的外接球的表面积为（）
A.B.C.D.
3．甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为( )
A.B.C.D.
4．已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5．在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表：
则两个班所有学生的数学成绩的方差为( )
A.6.5B.13C.30.8D.31.8
6．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A.，，则
B.，，，，则
C.，，，则
D.，，，则
7．著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家,他曾言：勤学如春起之苗,不见其增,日有所长;辍学如磨刀之石,不见其损,日有所亏.今天,我们可以用数学观点来对这句话重新诠释,我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是,一年后是;而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是,一年后是.可以计算得到,一年后的“进步”是“落后”的倍.那么,如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%,要使“进步”是“落后”的倍,大约需要经过（,）( )
A.17天B.19天C.23天D.25天
8．已知M是内的一点，且，，，则的最小值是( )
A.4B.C.8D.
二、多项选择题
9．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是( )
A.事件M发生的概率为B.事件M与事件N互斥
C.事件发生的概率为D.事件M与事件N相互独立
10．已知复数，，则( )
A.B.若，则的最大值为3
C.D.是纯虚数
11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于点对称
B.函数的图象关于直线对称
C.函数在单调递减
D.该图象向右平移个单位可得的图象
12．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面PAD为正三角形，且平面平面ABCD，则下列说法正确的有( )
A.在线段AD上存在一点M，使平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为
C.二面角的大小为
D.平面PAC
三、填空题
13．若“”是“”的充分非必要条件，则实数m的取值范围是______.
14．某轨道交通1号线在10个车站上车人数统计如下：70，60，60，50，60，40，10，30，30，40，则这组数据的第50百分位数与第75百分位数的和为______.
15．如图，为了测量某湿地A，B两点之间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点C，D，E.从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，（单位：百米），则A，B两点之间的距离为______百米.
四、双空题
16．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，、为圆柱两个底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则
①平面DEF截得球的截面面积最小值为______；
②若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为______.
五、解答题
17．某工厂为了保障安全生产,举行技能测试,甲、乙、丙3名技术工人组成一队参加技能测试,甲通过测试的概率是0.8,乙通过测试的概率为0.9,丙通过测试的概率为0.5,假定甲、乙、丙3人是否通过测试相互之间没有影响.
(1)求甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率;
(2)求甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试的概率.
18．（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；
（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且，求的值.
19．如图，已知平面ABC，，，，，，点E和F分别为BC和的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面所成角的大小.
20．“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.“天宫课堂”是结合载人飞行任务，贯穿中国空间站建造和在轨运营系列化推出的，将由中国航天员担任“太空教师”，以青少年为主要对象，采取天地协同互动方式开展.2022年10月12日15时40分，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲.学校针对这次直播课，举办了”天宫课堂”知识竞赛，有100名学生代表参加了竞赛，竞赛后对这100名学生的成绩进行统计，将数据分为，，，这4组，画出如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中m的值；
（2）估计这100名学生竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（3）若该校准备对本次知识竞赛成绩较好的40%的学生进行嘉奖，试问被嘉奖的学生的分数不低于多少？
21．在中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且.
（1）求角A的值；
（2）已知D在边BC上，且，，求的面积的最大值.
22．已知函数，a，，.
（1）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）设，若函数有三个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在整数m，n，使得的解集恰好是，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，解得，故，
故.
故选：D
2．答案：B
解析：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，
则，故，所以.
故选:B.
3．答案：B
解析：甲、乙、丙三人排队，有{（甲，乙，丙）、（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）}，共6个基本事件；
其中甲排在末位的有：{（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）}，共2个基本事件；
甲排在末位的概率.
故选：B.
4．答案：D
解析：依题意，，即，又，因此，解得，
则有，所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D
5．答案：C
解析：两个班级总的平均数为，
则两个班所有学生的数学成绩的方差为.
故选：C.
6．答案：D
解析：对于A，，，则或，A错误；
对于B，若，，，，则或,相交，
只有加上条件m,n相交，结论才成立，B错误；
对于C，，，无法得到，
只有加上条件才能得出结论，C错误；
对于D，，，则，又因为，所以，D正确.
故选:D.
7．答案：C
解析：经过x天后,“进步”与“落后”的比,
所以,
两边取以为底的对数得,又,,
所以,
解得,
所以大约经过23天后,“进步”是“落后”的10000倍.
故选：C.
8．答案：C
解析：，，
，.
，
设，，则，
即时，等号成立，故的最小值是8.故选：C.
9．答案：AD.
解析：对于A，由题意可知，故A选项正确.
对于B，若两次投掷向下的数字都为3，，则事件M，N同时发生，所以M与N不互斥，故B选项错误.
对于C，事件表示：“第一次向下的数字为1或2，且两次向下的数字之和为奇数”，包含的事件为：，，，，共4种，所以事件发生的概率为，故C选项错误；
对于D，事件表示：“第一次向下的数字为3或4，且两次向下的数字之和为偶数”，包含的事件为：，，，，共4种，所以事件发生的概率为.
事件N包含的事件为，，，，，，，，共8种，所以，
所以，即事件M与事件N相互独立，故D选项正确.
10．答案：AB.
解析：对于A：复数，，
，，
又，
∴，A正确；
对于B：设，，，
则，
即，且，
，
即的最大值为3，B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，不是纯虚数，D错误.
故选：AB.
11．答案：AD.
解析：由图象可得的最大值为，即，
，即，
所以，
因为，所以，，
所以，，因为，所以，
所以，
对于A，因为，所以函数的图象关于点对称，故正确；
对于B，因为，所以错误；
对于C，当时，，
所以函数在上不单调，故错误；
对于D，该图象向右平移个单位可得的图象，故正确，
故选：AD
12．答案：ABC
解析：对于A选项，如图，取AD的中点M，连接PM，BM，
设AC与BD交于点O.侧面PAD为正三角形，.又底面ABCD是菱形，，是等边三角形，.又，平面，平面PMB，故A正确.
对于B选项，平面，平面，，即异面直线AD与PB所成的角为，故B正确.
对于C选项，，平面.平面，，.又平面平面，是二面角的平面角.设，则，.在中，，即，故二面角的大小为，故C正确.
对于D选项，易得，与PA不垂直，与平面PAC不垂直，故D错误.故选ABC.
13．答案：.
解析：根据题意可知，但，故是的真子集，
故,
故答案为：
14．答案：105.
解析：将数据从小到大排序：10，30，30，40，40，50，60，60，60，70，因为，所以第50百分位数是第5项与第6项的平均数，即. 因为，所以第75百分位数是第8项，即60，则这组数据的第50百分位数与第75百分位数的和为：45+60=105.
故答案为：105.
15．答案：3（百米）.
解析：根据题意，在中，，，，
则，则，
在中，，，，
则，
则有，变形可得，
在中，，，，
则，
则；
故答案为：3（百米）
16．答案：；
解析：①过O作于G，则由题可得，
设O到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为，
则，
以平面DEF截得球的截面面积最小值为；
②由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P在底面的射影为，
则，，，，
设，则，，
所以
.
所以.
故答案为：；
17．答案：(1)0.36 ;
(2)0.49 .
解析：(1)设甲、乙、丙3人通过测试分别为事件A, B, C,
则,,,
.
(2)甲、乙、丙 3 人中恰有 2 人通过测试, 等价于恰有1人未通过测试,
18．答案：（1）或；
（2）.
解析：（1），，
设，且，
，解得，。
或；
（2），，，
，
又，
，解得.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）.
解析：（1）证明：连接，
在中，E和F分别是BC和的中点，，
又平面，平面，平面.
（2）证明：，E为BC中点，，
平面ABC，平面ABC，
又平面ABC，，
又，BC，平面，平面；
（3）解析：取中点M和中点N，连接，，NE，
N和E分别为和BC的中点，且，
∴且，∴四边形是平行四边形，，
平面，平面，
∴即为直线与平面所成角，
在中，，，
，，且，
又由，，
在中，，
在中，
因为，，即直线与平面所成角的大小为.
20．答案：（1）0.005；
（2）84.5；
（3）87.5.
解析：（1）由图可得，解得；
（2）估计这100名学生竞赛成绩的平均数
；
（3）设被嘉奖的学生的分数不低于x，
因为第四组的频率为，第三组的频率为，
所以，所以，
得，即被嘉奖的学生的分数不低于87.5分.
21．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）中，，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以，
又因为C是的内角，所以，所以；
又因为A是的内角，所以.
（2）因为，所以，所以；
所以，
即
由基本不等式得：，当且仅当，时等号成立；
所以面积的最大值为.
22．答案：（1）；
（2）；
（3）所以存在，，使得的解集恰好是.
解析：（1）由，可知，所以，对称轴为，
则.
因为在上是减函数，
当，即时，在上是减函数，符合题意；
当，即时，在上是减函数，
，，
综上可知，实数a的取值范围为；
（2）函数有三个零点，则方程有三个不同根，设其图象如下图，
由题意，关于t的方程：，
即，有两根，，且这两根有三种情况：
，；，；，，
若，，则，所以，此时方程为，所以或符合题意；
若，，则，所以，此时方程为，所以舍去；
若，，则，所以a不存在；
综上得：；
（3）因为是开口向上的抛物线，所以，且，
由作差可得，所以，
由可得，
所以，所以，
因为m，n为整数且，所以，，
即，，此时，符合题意，
所以存在，，使得的解集恰好是.
班级
人数
平均分数
方差
甲
40
70
5
乙
60
80
8