2024年高考考前最后一课-数学 讲义

这是一份2024年高考考前最后一课-数学 讲义，共221页。
☛2.常用逻辑用语4
☛3.复数6
☛4.平面向量7
☛5.三角函数10
☛6.解斜三角12
☛7.数列13
☛8.立体几何18
☛9.直线和圆18
☛10.椭圆、双曲线、抛物线20
☛11.计数原理23
☛12.统计25
☛13.概率28
☛14.初等函数30
☛15.函数与导数32
☛16.参考答案85
多选题专攻篇
☛1.函数与导数34
☛2.三角函数与解三角形37
☛3.空间向量与立体几何40
☛4.平面解析几何43
☛5.统计概率46
命题猜想篇
☛1.简单几何体的表面积和体积49
☛2.抽象函数56
☛3.数列创新问题61
考前技巧篇
☛1.2024年高考数学考前冲剌备忘录70
☛2.高考数学核心考点解题方法与策略76
☛3.高考数学临场解题策略 81
☛4.多选题的特点及解题策略84
☛5.高考数学阅卷和答题卡的注意事项 89
☛6.高考数学解答题结题模型93
考前考后心理篇
☛1.考前考生需要做哪些准备97
☛2.高考前一天需要做哪些准备99
☛3.考后需要注意哪些事项？100
终极押题篇
☛2024年新高考数学冲刺押题1卷（22题型）102
☛2024年新高考数学冲刺押题2卷（19题型）108
☛2024年新高考数学冲刺押题1卷（解析）113
☛2024年新高考数学冲刺押题2卷（解析）128
基础巩固篇
1、集合★★★★★
新高考考情：
此考点在每年的考试中均占据重要地位，第一题的掌握尤为关键。从考查内容来看，主要涉及交并补运算，常与解不等式等知识点相结合。虽然新定义的运算也可能出现，但其难度通常不高。综合历年经验，预计命题小组对集合部分的考题进行大幅度调整的可能性较小。因此，考生应重点掌握交并补运算的基础知识，并熟悉其与其他知识点的交汇点，以确保在考试中能够稳定得分。此外，排除法（特殊法）也是解决此类问题优选方法。
常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是x还是y。
2024高考预测：
1．已知集合,则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
4．已知集合，，则集合等于（ ）
A．；B．；C．；D．．
5．设全集，集合，，则
A．B．C．D．
6．若集合,则能使成立的所有组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
7．已知集合和，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知集合，，且，则（ ）
A．B．C．D．
9．若全集 ，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2、常用逻辑用语★★
新高考考情：
显然，近年来这板块考察的比较少，分析发现地方考卷考得比较多，全国卷考得少，新高考才出现了一次，很显然这一考点不是一个热门考点，但我觉得依然需要大家引起足够得重视，尤其是“充要条件”和“全称与特称”。2024年要注意“全称量词与特称量词”。
“充要条件”的判断要先区分清楚条件和结论，充分性“条件⇒结论”，必要性“结论⇒条件”。要注意“三角与充要条件”结合的考题
2024高考预测：
1．设a，，则“”是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设命题p：，(x－1)(x+2)>0，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，或
4．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“”的否定形式是“”
D．“”是“”的充分不必要条件
5．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
6．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
8．若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3、复数★★★★★
新高考考情：
每年一题，稳得不得了，我觉得这也是送分题之一，但九省联考，不再是以选择题的方式来考，而是放在了填空题的位置。说明考试题型由可能会变，但我认为不管怎么变，这仍然是一道送分题，大家要细心，确保拿下。考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等.无法直接计算时可以先设z=a+bi。
重要提示：不管考察的是什么问题，一定要先把复数转化为标准模式z=a+bi！
2024高考预测：
1．设，则（ ）
A．iB．C．1D．
2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．若复数，则（ ）
A．B．C．D．
4．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ）
A．B．2C．D．4
5．已知为复数单位，，则的模为（ ）
A．B．1C．2D．4
6．设复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
7．若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．D．
8．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
9．（多选）已知复数，下列命题正确的是（ ）
A．B．若，则
C．D．若，则为实数
10．（多选）已知复数均不为0，则（ ）
A．B．
C．D．
4、平面向量★★★★★
新高考考情：
向量每年一题或两题，单选题4题，多选题2题，填空题2题，解答题1题，覆盖了所有的题型。考察的比较基础,难度不大,很少与其它知识交汇,重点考查向量的基本运算。数量积问题有坐标按照坐标算，没有坐标按照模运算；可以建系的建系（直角三角形、等腰、等边、矩形、正方形、直角梯形等）、投影向量问题考的可能性不大.
几何运算注意利用三角形法则和平行四边形法则转化（注意用好作图法）；单位向量要看清，模为1；向量夹角为锐角，数量积大于0且向量不能同向（夹角为0）；向量夹角为钝角，数量积小于0且不能反向（夹角为π）；两个向量不共线才可以作为基底；多个向量和差带模先平方后开方.
2024高考预测：
1．已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知公比为q的等比数列中，，平面向量，，则下列与共线的是（ ）
A．B．C．D．
3．对于平面内个起点相同的单位向量，若每个向量与其相邻向量的夹角均为，则与的位置关系为（ ）
A．垂直B．反向平行C．同向平行D．无法确定
4．如图所示，边长为2的正三角形ABC中，若（），（），则关于的说法正确的是（ ）
A．当时，取到最大值B．当或1时，取到最小值
C．，使得D．，为定值
5．已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
7．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，向量与向量的夹角为锐角
C．存在，使得
D．若，则
8．已知是坐标原点，平面向量，，，且是单位向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若A，B，C三点共线，则
C．若向量与垂直，则的最小值为1
D．向量与的夹角正切值的最大值为
9．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为 ；②设，则 ．
10．已知平面向量，，设，，，则与的夹角为 ，当时，
5、三角函数★★★★★
新高考考情：
几乎每年至少一小题．题目难度不大，主要考察公式熟练运用、平移、图像性质（重点+难点）、化简求值（热点+几乎年年考）、基本属于“送分题”．小心平移伸缩问题．最担心ω和φ问题（这是热点也是难点，注意用好数形结合）.
三角函数的定义式:会巧妙利用定义求解 sin、cs、tan,特别要注意正负;熟练诱导公式、两角和与差公式、倍角公式、辅助角公式,符号问题太重要;牢记 sin、cs、tan 的图像性质;注意利用整体思想解决问题。出现等的时候记着用诱导公式,其他角的形式用两角和与差公式展开或合并;用降幂公式的较多;巧妙选择倍角公式进行凑角和转化;巧妙选择两角和与差公式进行凑角和转化。
2024高考预测：
1．已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，，，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（ ）

B．
C．D．
5．已知为第一象限角.，则（ ）
A．B．C．D．
6．若函数，的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
9．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则 ．
10．在中，，，则外接圆半径为 .
6、解斜三角★★★★★
新高考考情：
之前6道大题时，新高考每年解斜三角都会有一道题。但今年新高考大题如果真的调整为5道解答题得话，解三角出大题的概率必然会降低，但这又是一个很重要的考点，因此出小题几率将会增大。余弦定理、正弦定理、面积公式要熟记；对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角互化，如果是化成角的话，下一步按三角→两角→一角进行；如果转化成边，就努力往余弦定理靠。如判断三角形的形状等，利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或角的关系是解三角形的常规思路。三角形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等都体现了三角函数知识与三角形知识的交汇。
2024高考预测：
1．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=
A．5B．C．2D．1
4．在中，角所对的边分别为 ，，且的面积为，若，则（ ）
A．B．5C．D．
5．中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．在中，，，，则（ ）
A．B．4C．D．
7．设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
8．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A．B．C．D．
9．在中，，，M为BC的中点，，则 .
10．在中，，，则外接圆半径为 .
7、数列★★★★★
新高考考情：
新高考对数列的考察，这几年基本上是以一大一小的形式出现。今年新高考题量改为19题之后，数列有没有可能削弱。我有一种大胆的猜想，2024年高考第19题压抽题，有可能考察与数列有关内容，当然这不影响小题的考察。如果大题有数列，那小题很可能会是一道多选题，和其他内容组合而成。
等差等比用通项公式和前n项公式，等比问题学会作比值化简；累加法、累乘法、构造法求通项，裂项相消、错位相减、分组求和求前n项和要掌握类型特点。
特别注意Sn和an的关系, ,两个方向都可以转化;分组求和、裂项相消法和错位相减法要看清通项的形式;等基本量的求解很重要,多解问题要多次验证进行取舍。
2024高考预测：
1．《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山.问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列满足，则下列命题：①是递减数列；②使成立的的最大值是9；③当时，取得最大值；④，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③
C．①④D．①②③
3．已知等比数列，对任意，，是数列的前项和，若存在一个常数，使得，；下列结论中正确的是（ ）
A．是递减数列B．是递增数列
C．D．一定存在，当时，
4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，，则第40层放小球的个数为（ ）
A．1640B．1560C．820D．780
5．已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（ ）
A．－64B．－8C．D．
6．已知各项均为正数的数列满足，且数列的前项积为，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在及正整数，使得
D．若为等比数列，则
7．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为，总结规律并以此类推下去，第个图形对应的点数为 ，若这些数构成一个数列，记为数列，则 ．
8．88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列．若中音A（左起第49个键）的频率为，钢琴上最低音的频率为，则左起第61个键的音的频率为 ．
9．对于数列，由作通项得到的数列，称为数列的差分数列，已知数列为数列的差分数列，且是以1为首项以2为公差的等差数列，则 ．
10．如图，已知在扇形OAB中，半径，，圆内切于扇形OAB（圆和OA、OB、弧AB均相切），作圆与圆、OA、OB相切，再作圆与圆、OA、OB相切，以此类推．设圆、圆……的面积依次为，……，那么 ．
8、立体几何★★★★★
新高考考情：
新课标卷的小题主要集中在几何体的表面积和体积问题上，这一点是明确且不容忽视的。对于考生而言，必须对此给予特别的关注。深入理解并熟练掌握空间几何体的结构特征是解答这类问题的关键，这包括能够准确计算长度、表面积和体积等。在实践中，常采用的方法包括分割法、补体法、还台为锥法以及等积变换法等，这些方法在处理不规则几何体体积计算时尤为有效。
此外，球与几何体的切接问题也是高考中的重要考点，通常作为客观题中的难点出现。这类问题主要考察几何体的外接球，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力。在选择题和填空题中，图形通常不会直接给出，这就要求考生不仅要具备解题所需的数学技能，还需要有读题画图的能力。
总的来说，对于空间几何体的表面积和体积问题，考生需要深入理解其结构特征，掌握相关计算方法，并具备空间想象能力和精确的计算技巧，才能顺利应对各种考查。
2024高考预测：
1．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
2．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
3．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4D．5
4．三棱锥中，平面，．若，，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
5．已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（ ）
A．B．C．D．
7．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（ ）
A．2B．C．4D．
8．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．
则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为 ．
9．四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为 .
10．已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是 ，圆锥的表面积与球的表面积的比值是 ．
9、直线和圆★★★★★
新高考考情：
直线的考察基本上没有单独成题，而是作为一个条件或者一个选项出现在某一道题当中。我们熟悉掌握基本知识即可。直线与圆的位置关系这几年出现的次数显著增加，值得我们重视。直线与圆相交的弦长问题要结合点线距离和勾股定理（垂径定理）。
2024高考预测：
1．已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（ ）
A．0B．4C．8D．12
2．若与轴相切的圆与直线也相切，且圆经过点，则圆的直径为（ ）
A．2B．2或C．D．或
3．已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是（ ）
A．8B．9C．10D．100
4．已知动直线l的方程为，，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知两条直线，，有一动圆（圆心和半径都在变动）与都相交，并且被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点满足，直线l：与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当面积最大时，直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．求圆的切点弦方程可利用“同构”思想．如“已知圆，过作圆O的两条切线，切点记为A，B，求直线方程”，部分解答如下：设，，由，化简可得，又因为，所以，同理可得，…．则直线的方程为 ．
8．圆，，过作圆的切线，，过作斜率为1的直线与圆交于点（在内），线段上有一点使，则的坐标为 ．
9．已知曲线与曲线，长度为1的线段AB的两端点A、B分别在曲线、上沿顺时针方向运动，若点A从点开始运动，点B到达点时停止运动，则线段AB所扫过的区域的面积为 .
10．已知点，定义为的“镜像距离”.若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 .
10、椭圆、双曲线、抛物线★★★★★
新高考考情：
圆锥曲线，每年一大两小，椭圆、双曲线、抛物线都考了个遍！太稳定了！太重要了！！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合一点的小题侧重考查圆锥曲线与直线位置关系。数形结合很重要。椭圆的定义、标准方程、通经、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法
、焦点三角形面积；
双曲线的定义、标准方程、通经、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法
、焦点到渐近线距离b、渐近线斜率、相似三角形、
焦点三角形面积；
折线和差最值要考虑用定义进行转化；求离心率问题得到a,c的二次方程后可以等式两边同时除化简为e的二次方程.
抛物线的定义、标准方程、通经、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法、相似三角形、重心结论（）、焦点弦的三种求法（最常用后边两种，要注意开口方向）、焦半径比值（A点在第一象限）；开口向上或向下的抛物线中切线问题可求导，求斜率； 以为直径的圆与抛物线的准线相切；
过点作垂直于准线，过点作垂直于准线，以为直径的圆与抛物线的弦相切；以为直径的圆与轴相切；
2024高考预测：
1．已知抛物线：为抛物线的焦点，为抛物线上的动点（不含原点），的半径为，若与外切，则（ ）
A．与直线相切B．与直线相切
C．与直线相切D．与直线相切
2．已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
下列结论正确的是（ ）
若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是；
双曲线与椭圆的焦点相同．
M是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则或1．
直线与椭圆C：交于P，Q两点，A是椭圆上任一点（与P，Q不重合），已知直线AP与直线AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为．
4．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
5．已知为椭圆上不同的三点，直线，直线交于点，直线交于点，若，则（ ）
A．0B．C．D．
6．已知直线与双曲线交于P，Q两点，轴于点H，直线与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（ ）
A．且B．
C．为定值 D．的最小值为2
7．勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，若椭圆的一个焦点把长轴分成长度分别为的两段，且恰好为一组勾股数，则的一个标准方程为 . (写出满足条件的一个即可)
8．十九世纪初，我国数学家董祐诚在研究椭圆求周长时曾说：“椭圆求周旧无其术，秀水朱先生鸿为言圆柱斜剖成椭圆，是可以勾股形求之．”也就是说可以通过斜截圆柱法得到椭圆．若用一个与圆柱底面成60°的平面截该圆柱，则截得的椭圆的离心率为 ．
9．抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行．已知抛物线的焦点为F，直线，点P，Q分别是C，l上的动点，若Q在某个位置时，P仅存在唯一的位置使得，则满足条件的所有的值为 ．
10．设是面积为1的等腰直角三角形，是斜边的中点，点在所在的平面内，记与的面积分别为，，且．当，且时， ；记，则实数的取值范围为 ．
11、计数原理★★★★★
新高考考情：
通过对上表分析，我们发现这几年，这以内容考察得很散，几乎所有的基本知识点都考了个遍，没有发现侧重哪点，往年的二项式定理出现较多，而新高考这几年只出现了一次。排列组合考题的难度不大，无需投入过多时间（无底洞），注意掌握好基本题型，处理好分配问题，排列问题，以及掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通项问题”出现较多。赋值法不要忘记。
2024高考预测：
1．为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）种．
A．40B．24C．20D．12
2．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）
A．120种B．180种C．240种D．300种
3．2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
A．50B．36C．26D．14
4．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（ ）
A．100个B．125个C．225个D．250个
5．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48B．32C．24D．16
6．已知函数（k，n为正奇数），是的导函数，则（ ）
A．B．
C．D．
7．在的二项展开式中，称为二项展开式的第项，其中r=0，1，2，3，……，n．下列关于的命题中，不正确的一项是（ ）
A．若，则二项展开式中系数最大的项是．
B．已知，若，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数的取值范围是．
C．若，则二项展开式中的常数项是．
D．若，则二项展开式中的幂指数是负数的项一共有12项．
8．有7名运动员（5男2女）参加三个集训营集训，其中集训营安排5人，集训营与集训营各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排方案种数为（ ）
A．18B．22C．30D．36
9．为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量中丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为（ ）
A．96B．120C．144D．240
10．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48B．54C．60D．72
12、统计★★★★
新高考考情：
近年来，统计小题在考试中频繁出现，今年再次出现此类题目的概率极高。考察的内容涵盖了多个方面，如频率分布表、直方图、抽样方法、样本平均数、中位数、众数、百位数、方差、标准差、散点图、回归分析、独立性检验等。此外，还包括正相关、负相关、完全相关、相关系数、样本中心点以及频率分布直方图和频数分布表中的平均数和中位数等概念。虽然考察的内容较多，但考试难度并不大，主要考察学生对相关考点的基本理解。因此，希望同学们能够充分掌握这些基本概念，以免在考试时因不熟悉基本概念而失分。
2024高考预测：
1．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ）
A．B．C．8D．
2．已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．变量y与x是负相关关系
C．该回归直线必过点
D．x增加1个单位，y一定增加2个单位
3．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ）
A．B．C．D．
4．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A．14B．16C．18D．20
5．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（ ）
A．93B．93.5C．94D．94.5
6．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）
A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1
C．已知随机变量服从正态分布，若，则
D．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则
7．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），
高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（单位：℃）
若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则为（ ）
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
8．2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（ ）

A．B．
C．D．
9．下图为2012年─2021年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（ ）
A．2012年─2021年电子信息制造业企业利润总额逐年递增
B．2012年─2021年工业企业利润总额逐年递增
C．2012年─2017年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速
D．2012年─2021年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值
10．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A．B．C．D．
13、概率小题★★★
新高考考情：
这几年概率题出现的频率很高，几乎每年都有一题．主要考古典概型（与排列组合相结合）和条件概率、相互独立事件的概率、全概率公式，难度不算大，相信大家能拿得下来。
概率题近年来在数学考试中频繁出现，凸显了概率论的重要性及对学生逻辑思维和问题解决能力的重视。概率题主要涉及古典概型、条件概率、相互独立事件的概率和全概率公式等。古典概型要求确定样本空间和满足条件的事件数，进而计算概率。条件概率涉及在某一事件已发生的条件下，另一事件发生的概率。相互独立事件的概率是指多个事件互不影响，计算时可将各事件概率相乘。全概率公式用于计算某事件在所有可能原因下的总概率，体现概率的加法原理。难度不算大，相信同学们一定能拿得下来.
2024 高考预测：
1．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥D．事件3与事件4互为对立事件
3．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（ ）
A．B．C．D．
5．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A．，互斥B．C．D．
6．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（ ）
A．两两不互斥B．
C．与B是相互独立事件D．
7．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则（ ）
A．甲学校没有女大学生的概率为
B．甲学校至少有两名女大学生的概率为
C．每所学校都有男大学生的概率为
D．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为
函数的概念与基本初等函数★★★★★
新高考考情：
主要考查：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、零点等，分段函数是重要载体！绝对值函数也是重要载体！函数已经不是值得同学们“恐惧”的了吧？零点问题数形结合很重要，抽象函数要重视。
牢记周期性和对称性的结论；注意单调性和奇偶性的关系；学会用特殊点巧解；隐藏性质：奇函数在原点处有定义时，；常见奇偶函数的特殊形式（总结过的）；比较大小单调性和中间变量相结合，构造函数是底线。图像选择四部曲：定义域奇偶性特殊点单调性（求导数），特殊点最关键。
1．已知为奇函数，且时，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若为奇函数，则的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．-1或1
3．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数的图象大数为（ ）
A．B．
C．D．
6．函数的单调递增区间是
A．B．
C．D．
7．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1)B．a∈[,1)C．a∈(0,]D．a∈[,2)
8．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的定义域为，，，，若，则（ ）
A．B．C．2D．4
15、函数与导数★★★★
新高考考情：
这几年的新高考试卷中，导数出现在小题已经是一种常态，而且一出就是两题或者更多，有单独成题，也有出现在多选题中的一个选项。考察的面很广，初等函数求导、简单复合函数的求导、切线方程、单调性、极值点、零点等都有考察。其中重点考察了切线方程，利用导数研究函数的单调性。
2024高考预测：
1．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
3．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
5．设，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
9．（多选）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
10．（多选）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数n，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．为递减数列D．
多选题专攻篇
多选题专题训练1--函数与导数
1．设是定义域为的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，则（ ）
A．为偶函数
B．在上单调递减
C．在区间上有4046个零点
D．
2．已知函数，，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0
D．设，则的解集为
3．已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．
C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增
D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为
4．已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
5．e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．已知函数，对于任意的实数，，下列结论一定成立的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（ ）
A．当时，
B．任意，
C．存在非零实数，使得任意，
D．存在非零实数，使得任意，
9．已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（ ）
A．是“封闭”函数
B．定义在上的函数都是“封闭”函数
C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数
D．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数
10．定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A．在上是“弱减函数”
B．在上是“弱减函数”
C．若在上是“弱减函数”，则
D．若在上是“弱减函数”，则
考卷
题号
详细知识点
2020
1
交集的概念及运算；
20211
1
交集的概念及运算；
20212
2
交集的概念及运算；补集的概念及运算；
20221
1
交集的概念及运算；
20222
1
交集的概念及运算；公式法解绝对值不等式；
20231
1
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式；
20232
2
根据集合的包含关系求参数；
考卷
题号
详细知识点
20231
7
充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列；
求等差数列前n项和；
考卷
题号
详细知识点
2020
2
复数代数形式的乘法运算；
20211
2
复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算；
20212
1
在各象限内点对应复数的特征；复数的除法运算；
20221
2
共轭复数的概念及计算；
20222
2
复数代数形式的乘法运算；
20231
2
复数的除法运算；共轭复数的概念及计算；
20232
1
在各象限内点对应复数的特征；复数代数形式的乘法运算；
考卷
题号
详细知识点
2020`
3
向量加法的法则；向量减法的法则；
20211
10
数量积的坐标表示；坐标计算向量的模；
20212
15
数量积的运算律；
20221
3
用基底表示向量；
20222
4
平面向量线性运算的坐标表示；向量夹角的坐标表示；
10
数量积的坐标表示；
20231
3
平面向量线性运算的坐标表示；向量垂直的坐标表示；利用向量垂直求参数；
20232
13
数量积的运算律；
17
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；数量积的运算律；
考卷
题号
详细知识点
2020
11
由图象确定正（余）弦型函数解析式；
16
三角函数在生活中的应用；
20211
4
求sinx型三角函数的单调性；
6
正、余弦齐次式的计算；二倍角的正弦公式；给值求值型问题；
10
逆用和、差角的余弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式；
20221
6
由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）；
20222
6
用和、差角的余弦公式化简、求值；
9
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；利用正弦函数的对称性求参数；
求sinx型三角函数的单调性；
20231
6
给值求值型问题；余弦定理解三角形；
8
用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式；给值求值型问题；
15
余弦函数图象的应用；
20232
7
半角公式；二倍角的余弦公式；
16
特殊角的三角函数值；由图象确定正（余）弦型函数解析式；
考卷
题号
详细知识点
2020
17
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；
202011
19
正弦定理边角互化的应用；几何图形中的计算；
20212
18
正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；
20221
18
正弦定理边角互化的应用；
20222
18
正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；
20231
17
用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；
20232
17
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；
考卷
题号
详细知识点
2020
15
求等差数列前n项和；
18
写出等比数列的通项公式；求等比数列前n项和；
20211
16
错位相减法求和；数与式中的归纳推理；
17
由递推数列研究数列的有关性质；利用定义求等差数列通项公式；求等差数列前n项和；
20212
12
求等比数列前n项和；数列新定义；
17
等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和；解不含参数的一元二次不等式；
20221
17
裂项相消法求和；累乘法求数列通项；利用an与sn关系求通项或项；利用等差数列通项公式求数列中的项；
20222
3
等差数列通项公式的基本量计算；
17
等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算；数列不等式能成立（有解）问题；
22
利用导数研究不等式恒成立问题；裂项相消法求和；含参分类讨论求函数的单调区间；
20231
7
充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列；求等差数列前n项和；
20
等差数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算；等差数列前n项和的基本量计算；
20232
8
等比数列前n项和的基本量计算；等比数列片段和性质及应用；
18
利用定义求等差数列通项公式；等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和；分组（并项）法求和；
考卷
题号
详细知识点
2020
13
锥体体积的有关计算；
20211
3
圆锥中截面的有关计算；
20212
4
球的表面积的有关计算；
5
棱台的结构特征和分类；台体体积的有关计算；
10
求异面直线所成的角；证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直；
20221
4
台体体积的有关计算；
8
锥体体积的有关计算；球的体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；
9
求异面直线所成的角；求线面角；
20222
7
球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；
11
锥体体积的有关计算；证明线面垂直；
20231
12
正棱锥及其有关计算；多面体与球体内切外接问题；
14
台体体积的有关计算
20232
9
圆锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算；
二面角的概念及辨析；由二面角大小求线段长度或距离；
14
正棱台及其有关计算；锥体体积的有关计算；台体体积的有关计算；
考卷
题号
涉及知识点
2020
10
二元二次方程表示的曲线与圆的关系
20211
11
切线长；直线与圆的位置关系求距离的最值；
20212
3
已知点到直线距离求参数；
11
点与圆的位置关系求参数；判断直线与圆的位置关系；
16
两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；直线的点斜式方程及辨析；
20221
14
判断圆与圆的位置关系；圆的公切线方程；
20222
3
已知斜率求参数；
10
已知两点求斜率；
15
求点关于直线的对称点；直线关于直线对称问题；由直线与圆的位置关系求参数；
16
根据弦长求参数；由弦中点求弦方程或斜率；
考卷
题号
涉及知识点
2020
10
判断方程是否表示椭圆；双曲线定义的理解；
14
求直线与抛物线相交所得弦的弦长；
20211
5
椭圆定义及辨析；
14
根据抛物线方程求焦点或准线；根据抛物线上的点求标准方程；
20212
3
根据抛物线方程求焦点或准线；
13
由双曲线的离心率求参数的取值范围；根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程；
20221
11
根据抛物线方程求焦点或准线；判断直线与抛物线的位置关系；
求直线与抛物线相交所得弦的弦长；
16
椭圆中焦点三角形的周长问题；根据离心率求椭圆的标准方程；
20222
10
抛物线定义的理解；求直线与抛物线的交点坐标；
16
根据弦长求参数；由弦中点求弦方程或斜率；
20231
5
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；由椭圆的离心率求参数的取值范围；
16
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；求双曲线的离心率或离心率的取值范围；
20232
5
根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；椭圆中三角形（四边形）的面积；
求椭圆中的参数及范围；
10
抛物线定义的理解；根据焦点或准线写出抛物线的标准方程；求直线与抛物线的交点坐标；与抛物线焦点弦有关的几何性质；
年份
题号
详细知识点
2020
6
分组分配问题；
20211
8
独立事件的判断；
20221
5
实际问题中的组合计数问题；
20222
5
元素（位置）有限制的排列问题；相邻问题的排列问题；
13
两个二项式乘积展开式的系数问题；
20231
13
分类加法计数原理；实际问题中的组合计数问题；
20232
3
分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题；
年份
题号
详细知识点
2020
9
根据折线统计图解决实际问题；
20211
9
众数、平均数、中位数的比较；计算几个数据的极差、方差、标准差；
20212
9
计算几个数的众数、中位数、平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；
20221
5
实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率；
13
两个二项式乘积展开式的系数问题；
20231
9
计算几个数的中位数、平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；
13
分类加法计数原理；实际问题中的组合计数问题；
20232
3
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；分步乘法计数原理及简单应用；
实际问题中的组合计数问题；
x
2
4
6
8
y
5
8.2
13
m
年份
题量
题号
难度
详细知识点
20221
3
5
0.85
实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率；
20
0.65
独立性检验解决实际问题；计算条件概率；
20222
3
13
0.94
指定区间的概率；
19
0.65
利用对立事件的概率公式求概率；计算条件概率；
20231
3
21
0.65
求离散型随机变量的均值；利用全概率公式求概率；
20232
3
12
0.65
利用互斥事件的概率公式求概率；独立重复试验的概率问题；
年份
题号
详细知识点
2020
7
对数型复合函数的单调性；
8
函数奇偶性的应用；根据函数的单调性解不等式；
20211
13
由奇偶性求参数；
20212
7
比较对数式的大小；
8
函数奇偶性的应用；函数的周期性的定义与求解；
14
函数奇偶性的定义与判断；基本初等函数的导数公式；
20221
7
比较指数幂的大小；用导数判断或证明已知函数的单调性；比较对数式的大小；
12
抽象函数的奇偶性；函数对称性的应用；函数与导函数图象之间的关系；
20222
8
函数奇偶性的应用；由抽象函数的周期性求函数值；
9
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；
利用正弦函数的对称性求参数；求sinx型三角函数的单调性；
20231
4
根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性；
已知二次函数单调区间求参数值或范围；
10
对数的运算性质的应用；对数函数模型的应用（2）；由对数函数的单调性解不等式；
11
函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析；
15
根据函数零点的个数求参数范围；余弦函数图象的应用；
20232
4
函数奇偶性的应用；由奇偶性求参数；
6
由函数的单调区间求参数；
11
根据二次函数零点的分布求参数的范围；根据极值求参数；
年份
题号
详细知识点
20211
7
求过一点的切线方程；利用导数研究函数图象及性质；
15
由导数求函数的最值（不含参）；
20221
7
比较指数幂的大小；用导数判断或证明已知函数的单调性；比较对数式的大小；
8
由导数求函数的最值（不含参）；
10
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究函数的零点；求已知函数的极值点；
12
函数与导函数图象之间的关系；
15
求过一点的切线方程；求某点处的导数值；
20222
9
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；
14
求过一点的切线方程；
20231
4
根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性；
已知二次函数单调区间求参数值或范围；
11
函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析；
20232
11
根据二次函数零点的分布求参数的范围；根据极值求参数；
6
由函数的单调区间求参数；
年份
题号
难度系数
详细知识点
2020-2
12
0.65
基本（均值）不等式的应用
2022-1
10
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；
利用导数研究函数的零点；求已知函数的极值点；
2022-1
12
0.40
抽象函数的奇偶性；函数对称性的应用；
函数与导函数图象之间的关系；
2022-2
9
0.85
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；
利用正弦函数的对称性求参数；
求sinx型三角函数的单调性；
2023-1
10
0.65
对数的运算性质的应用；对数函数模型的应用（2）；
由对数函数的单调性解不等式；
2023-1
11
0.65
函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析；
2023-2
11
0.65
根据二次函数零点的分布求参数的范围；
根据极值求参数；
多选题专题训练2--三角函数与解三角形
1．已知函数是的一个极值点，是与其相邻的一个零点，则（ ）
A．B．
C．直线是函数的对称轴D．
2．已知函数，则（ ）
A．B．的最小正周期为
C．在上单调递减D．在上单调递增
3．已知函数，下列结论中正确的有（ ）
A．若，则是的整数倍
B．函数的图象可由函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移单位得到
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上单调递增
4．已知，下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
C．若在区间上的最大值是，则的最小值为
D．若，则
5．已知函数，则以下说法中正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的值域为
C．为奇函数
D．若在区间上单调，则的最大值为
6．（多选）函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．函数的周期是
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递减
D．该函数的图象可由的图象向左平行移动个单位长度得到
7．关于函数，下列选项正确的有（ ）
A．为偶函数
B．在区间上单调递增
C．的最小值为2
D．在区间上有两个零点
8．已知函数，则下列结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于对称
C．的最小值为
D．在区间上单调递增
9．已知是的导函数（ ）
A．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移得到的
B．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移得到的
C．的对称中心坐标是
D．是的一条切线方程.
10．若函数（）的最小正周期为，则（ ）
A．B．在上单调递减
C．在内有5个零点D．在上的值域为知识模块
题号
难度系数
详细知识点
2020
11
0.65
由图象确定正（余）弦型函数解析式；
20211
10
0.85
逆用和、差角的余弦公式化简、求值；
二倍角的余弦公式；数量积的坐标表示；
坐标计算向量的模；
20222
9
0.85
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；
利用正弦函数的对称性求参数；
求sinx型三角函数的单调性；
多选题专题训练3--空间向量与立体几何
1．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
2．已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为
3．如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（ ）
三棱锥的体积为
直线PA与直线BC所成角的余弦值为
直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
D．三棱锥外接球的半径为
4．已知平面平面，B，D是l上两点，直线且，直线且．下列结论中，错误的有（ ）
A．若，，且，则ABCD是平行四边形
B．若M是AB中点，N是CD中点，则
C．若，，，则CD在上的射影是BD
D．直线AB，CD所成角的大小与二面角的大小相等
5．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )
A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得平面
C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D．若，那么Q点的轨迹长度为
7．如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则（ ）
A．当时，存在点P满足
B．当时，存在唯一的点P满足
C．当时，满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为
D．当时，满足的点P轨迹长度为
8．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．记，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
9．三棱锥中，平面平面ABC，，，则（ ）
A．
B．三棱锥的外接球的表面积为
C．点A到平面SBC的距离为
D．二面角的正切值为
10．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
多选题专题训练4--平面解析几何
1．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
2．已知，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径B．点在圆C的内部
C．直线与圆C相切D．圆与圆C相交
3．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为0
C．的最大值为D．的最大值为
4．已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn0，则C是两条直线
5．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
7．过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为18
B．四边形可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是
D．的最小值为-1
8．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
9．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点的横坐标的取值范围是
B．的取值范围是
C．面积的最大值为
D．的取值范围是
10．已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．时，
B．时，的最小值为9
C．时，
D．时，的最小值为8
年份
题号
难度系数
详细知识点
20211
12
0.15
求空间向量的数量积；空间向量的坐标表示；
20212
10
0.85
求异面直线所成的角；证明线面垂直；
线面垂直证明线线垂直；
20221
9
0.85
求异面直线所成的角；求线面角；
20222
11
0.65
锥体体积的有关计算；证明线面垂直；
20231
12
0.40
正棱锥及其有关计算；多面体与球体内切外接问题；
20232
9
0.65
圆锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算；二面角的概念及辨析；由二面角大小求线段长度或距离；
知识模块
题量
题号
难度系数
详细知识点
2020
3
10
0.65
二元二次方程表示的曲线与圆的关系；
判断方程是否表示椭圆；
双曲线定义的理解；
20211
11
0.65
切线长；
直线与圆的位置关系求距离的最值；
20212
11
0.85
点与圆的位置关系求参数；
判断直线与圆的位置关系；
20221
4
11
0.65
根据抛物线方程求焦点或准线；
判断直线与抛物线的位置关系；
求直线与抛物线相交所得弦的弦长；
20222
10
0.65
数量积的坐标表示；
已知两点求斜率；
抛物线定义的理解；
求直线与抛物线的交点坐标；
20232
10
0.65
抛物线定义的理解；根据焦点或准线写出抛物线的标准方程；求直线与抛物线的交点坐标；与抛物线焦点弦有关的几何性质；
多选题专题训练5--统计板块
1．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
2．已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．时，
C．时，随着的增大而增大D．时，随着的增大而减小
3．在一次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标率结果得到下表：
定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中正确的有（ ）
A．乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校
B．两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率
C．若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65%
D．甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率
4．下列命题中，正确的命题的序号为（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大
5．某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.07
B．这100名学生中体重低于60kg的人数为60
C．据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62
D．据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5
6．已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则D．若，则A与B相互独立
7．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（ ）
A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08
B．该零件是次品的概率为0.03
C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98
D．如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为
8．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种
D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：
假设经验回归方程为，则（ ）
A．
B．当时，y的预测值为2.2
C．样本数据y的40%分位数为0.8
D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不变
10．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
年份
题号
难度系数
详细知识点
2020
9
0.85
根据折线统计图解决实际问题；
20211
9
0.94
平均数、中位数、极差、标准差；
20212
9
0.85
中位数、平均数、极差、标准差；
20231
9
0.65
计算几个数的中位数；
计算几个数的平均数；
计算几个数据的极差、方差、标准差；
20232
12
0.65
利用互斥事件的概率公式求概率；
独立事件的乘法公式；
独立重复试验的概率问题；
甲校理科生
甲校文科生
乙校理科生
乙校文科生
达标率
60%
70%
65%
75%
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.8
1
1.2
1.5
命题猜想篇
1.简单几何体的表面积和体积
新课标卷中的小题基本上都是关于几何体的表面积体积问题，从不避讳，不怕重复，需要考生特别注意。空间几何体表面积和体积的考查实质要明确空间几何体的结构特征，并能进一步度量和计算长度、表面积、体积等。为此，考前特意为大家准备了这一微专题，希望能唤起大家对相应问题的解决方法。
解答空间几何体表面积与体积问题的基本方法
(1)空间几何体表面积的求法
①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(2)空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
①直接利用公式进行求解．
②用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
考向1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
Ⅰ、棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和
Ⅱ、棱柱表面积：；其中侧面为平行四边形，底面为多边形
Ⅲ、棱锥表面积：，其中侧面为三角形，底面为多边形
Ⅳ、棱台的表面积：，其中侧面为梯形，底面为多边形，
1.正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体．则（ ）
A．是正六面体
B．正方体的边长为2
C．与正方体的表面积之比是
D．平面与相交所得截面的面积是
【答案】A
【解析】对于A，如图，是各棱长均相等的正八面体，所以A错误；
对于B，设正方体的边长为a，是正八面体，且是底面是对角线长为的正方形，上下两个四棱锥的高都为，则的体积为，所以，所以B正确；
对于C，正方体的表面积是，的各个侧面的棱长都为等边三角形，所以的表面积是，所以，所以C正确；
对于D，如图平面与相交所得截面，分别是的中点，
且相等，，四边形是菱形，，其面积为，所以D正确．
故选：BCD.
2．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积与底面面积之和的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．以上都不是
【答案】A
【解析】
由题，正三棱台侧棱，
正三棱台侧面为等腰梯形，侧面高，
，，
故选：A
考向2 棱柱、棱锥、棱台的体积
Ⅰ、柱体的体积公式：V棱柱=Sh．
Ⅱ、锥体的体积公式：．
Ⅲ、台体的体积公式．
3．如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则
【答案】
【解析】取的中点，连，因为平面，故平行于平面与面的交线，又分别为的中点，易知，即平面平面，故平面分正方体为两部分，
设正方体的边长为2，则正方体的体积为8，，
故,
故答案为：.
4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（ ）（，棱台体积公式，其中，分别为棱台的上下底的面积，是棱台的高）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
考向3 圆柱、圆锥、圆台的表面积
Ⅰ、圆柱的表面积
①圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr．
②圆柱的表面积：．
Ⅱ、圆锥的表面积
①圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．
②圆锥的表面积：S圆锥表．
Ⅲ、圆台的表面积
①圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=．
②圆台的表面积：．
5．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆锥的半径为r，母线长为l，则，
由题意知，，解得：，所以圆锥的侧面积为.
故选：A.
6．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4D．5
【答案】D
【解析】大圆柱表面积为
小圆柱侧面积为，上下底面积为
所以加工后物件的表面积为，当时表面积最大.
故选：D
7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又，则，所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，所以.
故选：C.
考向4 圆柱、圆锥、圆台的体积
Ⅰ、圆柱的体积公式
圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．
Ⅱ、圆锥的体积公式
圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．
Ⅲ、圆台的体积公式
圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是
．
8．如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为圆台外接球的表面积，所以球的半径，
设圆台的上､下底面圆心分别为，在上､下底面圆周上分别取点，
连接，如图，
因为圆台上､下底面的半径分别为3和4，所以，，
所以，,所以，
所以圆台体积.
故选：D.
9．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为，
则其面积为，解得，
所以扇环的两个圆弧长分别为和，
设圆台上下底面的半径分别为，高为，所以，解得，
，解得，作出圆台的轴截面，如图所示：

图中，，过点向作垂线，垂足为，则，
所以圆台的高，则上底面面积，，
由圆台的体积计算公式可得：.
故选：A.
10．已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对正四棱台，连接，取中点分别为，连接，如下所示：
因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，，
易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且，
因为，则，又，且，
由，即，解得；
由面，面，则；
则，
又正方形的面积为，正方形的面积为，
故正四棱台的体积.
故选：B.
2.每年必考的抽象函数
抽象函数问题是考查学生数学抽象素养的有效载体，这几年，新高考数学试卷中每年都出现了抽象函数问题，题目常涉及到函数的基本性质(奇偶性、周期性、对称性、单调性等)、函数图像、不等式、复合函数、导函数等基本内容，同时还蕴含着数形结合、函数与方程、化归等数学思想.由于抽象函数仅仅给出函数某种性质或满足某种关系，学生在解决此类问题时，常常感到束手无策、不知所措.因此，在考前我们有必要把这种抽象函数概括总结清楚。
一、 近几年抽象函数考情分析
二、常见函数运算法则可构造特殊函数模型
模型1：一次函数模型
若f(x+y)=f(x)+f(y)+b,则可构造f(x)=kx−b.
当f(x+y)=f(x)+f(y)时，可构造f(x)=kx.
模型2：二次函数模型
若f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy−c,则可构造f(x)=ax2+bx+c.
模型3：指数函数模型
若f(x+y)=f(x)f(y)或,则可构造f(x)=ax(a>0且a≠1）.
模型4：对数函数模型
若f(xy)=f(x)+f(y)xy≠0或则可构造f(x)=lgax(a>0且a≠1）.
模型5：余弦函数模型
若f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y),则可构造f(x)=csωx.
模型6：正切函数模型
若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y),则可构造f(x)=tanωx.
可以看出，如果能够根据抽象函数的运算性质找到函数模型，把抽象函数问题具体化，就能够很容易地破解此类问题.
解题分析
1．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的基本性质相互转化
因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
2.已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
3.已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
【答案】ABC
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
[方法二]：构造特殊函数
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
四、考前训练
1.（多选）已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a)，则下述正确的是( )
A. f(0)=0B. f(1)=1
C. f(x)是奇函数D. 若f(2)=2，则f(−12)=12
【答案】ACD
【解析】对a，b取特殊值代入已知表达式即可求解
令a=b=0，则f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确;
令a=b=1，则f(1)=1f(1)+1f(1)=2f(1)，则f(1)=0，故B错误;
令a=b=−1，则f(1)=−f(−1)−f(−1)=−2f(−1)，所以f(−1)=0，
又令a=−1，b=x，则f(−x)=−f(x)+xf(−1)=−f(x)+0=−f(x)，
所以f(x)是奇函数，故C正确;
令a=2，b=−12，则f(−1)=f[2×(−12)]=2f(−12)−12f(2)=2f(−12)−1=0，
所以f(−12)=12，故D正确;
2.（多选）已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)在区间(0,+∞)内单调递减，f(−3)=0，则( )
A. f(3)=0B. f(x)在R上单调递减
C. f(0)=0D. f(x)≥0的解集为(−∞,−3]∪[0,3]
【答案】ACD
【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(3)=−f(−3)=0，f(0)=0，A，C项正确；f(x)的图像大致如下图所示，
由图得，B项错误，D项正确．
3.已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)−f(2)，若y=f(x+1)的图象关于直线x=−1对称，且对任意的，x1,x2∈[0,2]，当x1≠x2时，都有fx1−fx2x2−x1