2023-2024学年四川省南充市阆中师范学校高考班高二（下）第一次月考数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省南充市阆中师范学校高考班高二（下）第一次月考数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知A＝{x|x≤﹣4或x≥2}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣2，2]B．[﹣2，4]C．[﹣4，4]D．[2，4]
2．（4分）函数的定义域为（ ）
A．（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，4）
C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）
3．（4分）若a＞0，b＞0，则函数f（x）（ ）
A．2πB．2abπC．D．
4．（4分）不等式|2x﹣3|＜5的解集为（ ）
A．{x|x＜4}B．{x|﹣1＜x＜4}
C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＞4或x＜﹣1}
5．（4分）“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（4分）与直线2x+3y+1＝0平行且过点（0，1）的直线方程是（ ）
A．2x+3y﹣3＝0B．3x+2y﹣2＝0C．2x﹣3y+3＝0D．3x﹣2y+2＝0
7．（4分）已知向量，则＝（ ）
A．（2，6）B．（1，8）C．（1，6）D．（2，8）
8．（4分）双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝B．y＝xC．y＝xD．y＝x
9．（4分）已知，那么n＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
10．（4分）从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，则数字2只出现一次的取法总数有（ ）
A．16B．48C．75D．96
11．（4分）小明和爸爸、妈妈、爷爷四个人站成一排照全家福，小明要求必须和爷爷相邻，则有（ ）
A．6B．12C．24D．36
12．（4分）从5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选的选法也有（ ）
A．8种B．16种C．6种D．12种
13．（4分）（x﹣2）10展开式中第6项的二项式系数是（ ）
A．B．
C．D．
14．（4分）在二项式的展开式中，常数项等于（ ）
A．﹣42B．42C．14D．﹣14
15．（4分）2024年2月，贵州省多点爆发山火，给国家和当地人民带来了巨大的财产损失．为帮助兄弟省份有效控制火势继续蔓延，女性2名，至少抽派到1名女性的方法数是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题共5个小题，每空题4分，共20分。下列题目均用数字作答。）
16．（4分）在△ABC中，a＝3，b＝4，则S△ABC＝ ．
17．（4分）设函数，则f[f（﹣1）]＝ ．
18．（4分）二项式（2x﹣3）5的展开式中，x3的系数是 ．
19．（4分）6名同学站成一排，其中甲、乙不站在一起的不同排法有 种.
20．（4分）已知，则a0+a1+a2+...+a7＝ ．
三、解答题（本题共6个小题，共70分。）
21．（10分）计算：
（1）；
（2）．
22．（12分）等差数列{an}中，a1＝4，a15＝60．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）99是否为数列{an}中的项，说明理由；
（3）求数列{an}的前20项的和．
23．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）设PD＝AD＝1，求三棱锥A﹣PBD的体积．
24．（12分）从0、1、2、3、4这5个数字中随机抽取2个不同的数字，求：
（1）这两个数字都是偶数的概率；
（2）这两个数字之和是偶数的概率．
25．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与曲线的右焦点重合．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若抛物线C上的点P满足|PF|＝6，求点P的坐标．
26．（12分）已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，y（x+2y）＝f（x）+2f（y）
（1）若f（1）＝﹣2，求的值．
（2）若x＞0时恒有f（x）＜0，试判断函数f（x），并说明理由．
2023-2024学年四川省南充市阆中师范学校高考班高二（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共15个小题，每小题4分，共60分）
1．（4分）已知A＝{x|x≤﹣4或x≥2}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣2，2]B．[﹣2，4]C．[﹣4，4]D．[2，4]
【答案】D
【分析】根据交集的定义即可求解．
【解答】解：∵A＝{x|x≤﹣4或x≥2}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，
∴A∩B＝{x|2≤x≤3}＝[2，4]．
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，难度不大．
2．（4分）函数的定义域为（ ）
A．（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，4）
C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）
【答案】A
【分析】根据即可求解．
【解答】解：∵，
∴x＜1且x≠﹣5，
∴函数的定义域为（﹣∞，1）．
故选：A．
【点评】本题考查函数的定义域，难度不大．
3．（4分）若a＞0，b＞0，则函数f（x）（ ）
A．2πB．2abπC．D．
【答案】C
【分析】根据题干信息计算求解正弦函数的周期即可．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，
∴函数f（x）＝asinbx的最小正周期是，
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦函数的周期，解题的关键在于数值运算，为基础题．
4．（4分）不等式|2x﹣3|＜5的解集为（ ）
A．{x|x＜4}B．{x|﹣1＜x＜4}
C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＞4或x＜﹣1}
【答案】B
【分析】将|2x﹣3|＜5转化为求解即可。
【解答】解：∵|2x﹣3|＜3，
∴﹣5＜2x﹣3＜5，
∴﹣1＜x＜2，
故选：B。
【点评】本题主要考查不等式的求解，解题的关键在于数值运算，为基础题。
5．（4分）“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件即可求解．
【解答】解：“两条直线没有公共点”推不出“两条直线平行”，比如这两条直线异面，
∴“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充分必要条件，难度不大．
6．（4分）与直线2x+3y+1＝0平行且过点（0，1）的直线方程是（ ）
A．2x+3y﹣3＝0B．3x+2y﹣2＝0C．2x﹣3y+3＝0D．3x﹣2y+2＝0
【答案】A
【分析】设所求直线方程为2x+3y+C＝0，代入点的坐标求得C，即可得出答案．
【解答】解：设所求直线方程为2x+3y+C＝5，
又过点（0，1），
则3+C＝0，解得C＝﹣3，
则所求直线方程为5x+3y﹣3＝7．
故选：A．
【点评】本题考查直线方程，属于基础题．
7．（4分）已知向量，则＝（ ）
A．（2，6）B．（1，8）C．（1，6）D．（2，8）
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算计算即可．
【解答】解：∵向量，
∴＝（﹣3，4）＝（1．
故选：B．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，是基础题．
8．（4分）双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝B．y＝xC．y＝xD．y＝x
【答案】C
【分析】根据双曲线方程直接得出渐近线方程．
【解答】解：双曲线中a2＝7，b2＝16，
则渐近线方程为，
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题．
9．（4分）已知，那么n＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】根据排列数的计算即可求解．
【解答】解：∵，
∴n（n﹣1）＝56，
∴n＝4或n＝﹣7（舍去）．
故选：D．
【点评】本题考查排列数的计算以及一元二次方程的解，难度不大．
10．（4分）从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，则数字2只出现一次的取法总数有（ ）
A．16B．48C．75D．96
【答案】B
【分析】根据题干信息和排列组合的计算公式计算求解即可．
【解答】解：∵从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，数字3只出现第二次的取法有4×4的16种，
∴从6，2，3，3，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，
故选：B．
【点评】本题主要考查排列组合的计算公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．
11．（4分）小明和爸爸、妈妈、爷爷四个人站成一排照全家福，小明要求必须和爷爷相邻，则有（ ）
A．6B．12C．24D．36
【答案】B
【分析】相邻问题运用捆绑法，先将小明与爷爷当成一个元素，再进行全排列即可。
【解答】解：将小明与爷爷进行捆绑，再与剩余的2人进行全排列，
共有A22•A33＝12种方法，
故选：B。
【点评】本题考查了简单的排列问题，属于基础题。
12．（4分）从5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选的选法也有（ ）
A．8种B．16种C．6种D．12种
【答案】C
【分析】根据题干信息和排列组合的计算公式计算求解即可．
【解答】解：从5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选的选法有，
故选：C．
【点评】本题主要考查排列组合的计算公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．
13．（4分）（x﹣2）10展开式中第6项的二项式系数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据第6项的二项式系数即可求解．
【解答】解：（x﹣2）10展开式中第6项的二项式系数是．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理，难度不大．
14．（4分）在二项式的展开式中，常数项等于（ ）
A．﹣42B．42C．14D．﹣14
【答案】C
【分析】先求出通项，再令x的指数为0，即可求得常数项.
【解答】解：二项式的展开式的通项为，
令，解得r＝6.
故选：C。
【点评】本题考查二项式定理的运用，属于基础题。
15．（4分）2024年2月，贵州省多点爆发山火，给国家和当地人民带来了巨大的财产损失．为帮助兄弟省份有效控制火势继续蔓延，女性2名，至少抽派到1名女性的方法数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题干信息和排列组合的计算公式计算求解即可．
【解答】解：省政府决定让我市抽派3名志愿者去支援抗火．目前6名志愿者中有男性4名，至少抽派到1名女性的方法数是+，
故选：C．
【点评】本题主要考查排列组合的计算公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．
二、填空题（本题共5个小题，每空题4分，共20分。下列题目均用数字作答。）
16．（4分）在△ABC中，a＝3，b＝4，则S△ABC＝ 3 ．
【答案】3．
【分析】根据三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵△ABC中，a＝3，C＝30°，
∴S△ABC＝absinC＝＝3．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查三角形的面积公式，解题的关键在于掌握三角形的面积公式和数值运算，为基础题．
17．（4分）设函数，则f[f（﹣1）]＝ 20 ．
【答案】20．
【分析】根据函数求解即可．
【解答】解：∵函数，
∴f[f（﹣5）]＝f（5）＝20，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查函数的值，解题的关键在于数值运算，为基础题．
18．（4分）二项式（2x﹣3）5的展开式中，x3的系数是 720 ．
【答案】720．
【分析】根据二项式（2x﹣3）5展开式的通项即可求解．
【解答】解：∵二项式（2x﹣3）7展开式的通项公式为Tr+1＝（6x）5﹣r（﹣3）r＝25﹣r（﹣4）rx5﹣r，0≤r≤3，且r为整数，
∴当5﹣r＝3时，r＝4，
∴x3的系数是•23•（﹣7）2＝720．
故答案为：720．
【点评】本题考查二项式定理，难度不大．
19．（4分）6名同学站成一排，其中甲、乙不站在一起的不同排法有 480 种.
【答案】480.
【分析】先排除甲乙外的4名同学，再将甲乙插入这4名同学所形成的5个空挡中，最后由分步计数原理得解.
【解答】解：先排除甲乙外的4名同学，有种排法，
再将甲乙插入这4名同学所形成的5个空挡中，有种排法，
故符合题意的排法共有24×20＝480种.
故答案为：480.
【点评】本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题.
20．（4分）已知，则a0+a1+a2+...+a7＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】将x＝1代入二项式即可求解．
【解答】解：∵，
∴（2﹣2）7＝a2+a1+a2+...+a7，
∴a0+a1+a7+...+a7＝﹣1．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查二项式定理，难度不大．
三、解答题（本题共6个小题，共70分。）
21．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）396；（2）4974．
【分析】（1）根据排列数的计算即可求解；
（2）根据组合数以及排列数的计算即可求解．
【解答】解：（1）＝4×4×3×2+5×8×4×3＝396；
（2）＝+2．
【点评】本题考查排列数的计算以及组合数的计算，难度不大．
22．（12分）等差数列{an}中，a1＝4，a15＝60．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）99是否为数列{an}中的项，说明理由；
（3）求数列{an}的前20项的和．
【答案】（1）an＝4n；
（2）99不是数列{an}中的项，理由见解析；
（3）840．
【分析】（1）根据等差数列的性质求解即可；
（2）直接代入求n即可；
（3）直接代入前n项和公式即可求解．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，
∵等差数列{an}中，a1＝4，a15＝60．
∴d＝＝＝4，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝6+4（n﹣1）＝6n；
（2）令4n＝99，解得n＝，故99不是数列{an}中的项；
（3）数列{an}的前20项的和S＝20a5+d＝20×4+20×19×7＝840．
【点评】本题主要考查等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题．
23．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）设PD＝AD＝1，求三棱锥A﹣PBD的体积．
【答案】（1）证明过程见解答；（2）．
【分析】（1）设AB的中点为E，连接DE，根据PD⊥底面ABCD可知PD⊥BD，再根据题意可证△ABD为直角三角形，从而可知AD⊥BD，即BD⊥平面PAD，从而可证PA⊥BD；
（2）根据三棱锥的体积公式可求出VP﹣ABD，再根据等体积法即可求解．
【解答】（1）证明：如图，设AB的中点为E，
∵AB＝2AD，
∴AD＝AE，
∵∠DAB＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴，
∴△ABD为直角三角形，
即AD⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，
∴PD⊥BD，
∵AD∩PD＝D，
∴BD⊥平面PAD，
又∵PA⊆平面PAD，
∴PA⊥BD；
（2）解：∵AB＝2AD＝2，
∴，
∴VP﹣ABD＝××1＝，
∴VA﹣PBD＝VP﹣ABD＝．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质以及三棱锥的体积，难度中等．
24．（12分）从0、1、2、3、4这5个数字中随机抽取2个不同的数字，求：
（1）这两个数字都是偶数的概率；
（2）这两个数字之和是偶数的概率．
【答案】（1）；（2）．
【分析】用列举法求出从0，1，2，3，4这5个数字中任取2个数字的情况数目，分析其中（1）两个数字都是偶数的情况数目（2）2个数字之和为偶数的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．
【解答】解：从0，1，5，3，4这7个数字中任取2个数字、1，3、2，0、3，0、4，2、2，1、8，1、4，7、3，2、6，3、4，共10种情况；
（1）两个数字都是偶数的情况有3、2，0、7，2、4，共2种情况，
故两个数字都是偶数的概率为；
（2）2个数字之和为偶数的情况有3、2，0、3，1、3，2、4，共4种情况，
故8个数字之和为偶数的概率为．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
25．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与曲线的右焦点重合．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若抛物线C上的点P满足|PF|＝6，求点P的坐标．
【答案】（1）y2＝8x．
（2）（4，4）或（4，﹣4）．
【分析】（1）根据题意可得a2＝3，b2＝1，又c2＝a2+b2＝4，解得c，可得抛物线C的焦点坐标，解得p，即可得出答案．
（2）由抛物线的准线方程为x＝﹣＝﹣2，结合抛物线的定义可得xP+2＝6，即xp，代入抛物线的方程，解得yP，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为双曲线曲线，
所以a2＝4，b2＝1，
所以c5＝a2+b2＝8，即c＝2，
所以双曲线的右焦点为（2，2），
因为抛物线C：y2＝2px（p＞8）的焦点F与曲线的右焦点重合，
所以＝4，
所以抛物线的标准方程为y2＝8x．
（2）由抛物线的准线方程为x＝﹣＝﹣2，
因为抛物线C上的点P满足|PF|＝6，
所以由抛物线的定义可得xP+5＝6，即xp＝4，
所以＝8xP＝8×8＝32，
所以yP＝±4，
所以P点的坐标为（7，4）或（7）．
【点评】本题考查抛物线与双曲线的性质，属于基础题．
26．（12分）已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，y（x+2y）＝f（x）+2f（y）
（1）若f（1）＝﹣2，求的值．
（2）若x＞0时恒有f（x）＜0，试判断函数f（x），并说明理由．
【答案】（1）f（）＝﹣1，f（）＝﹣．
（2）f（x）为R上的减函数，理由见解答．
【分析】（1）取x＝y＝0，可得f（0）＝0，取x＝0，y＝，解得f（），取x＝y＝，解得f（），即可得出答案．
（2）由题意可知f（x+2y）﹣f（x）＝2f（y），设x2＞x1，令t＝，则t＞0，作差f（x2）﹣f（x1），进而可得答案．
【解答】解：（1）取x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+2f（0），
取x＝8，y＝），解得f（，
取x＝0，y＝1，解得f（2）＝﹣3，
取x＝y＝，则f（2）＝f（），解得f（．
（2）由题意可知f（x+2y）﹣f（x）＝3f（y），
设x2＞x1，令t＝，则t＞4，
所以f（x2）﹣f（x1）＝f（x3+2t）﹣f（x1）＝3f（t）＜0，
所以函数f（x）在R上为减函数．
【点评】本题考查抽象函数，属于基础题．