20，2024年内蒙古通辽市中考数学模拟考试卷

这是一份20，2024年内蒙古通辽市中考数学模拟考试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）|﹣2024|的结果是（ ）
A．B．2024C．D．﹣2024
2．（3分）中国的航天事业蓬勃发展，取得了显著的进展和突破．下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．中国探月B．中国航天
C．中国火箭D．中国行星探测
3．（3分）3月5日，国务院总理李强在政府工作报告中提出，今年发展主要预期目标是：城镇新增就业1200万人以上，城镇调查失业率5.5%左右．数据“1200万”用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×106B．1.2×107C．1.2×108D．1.2×109
4．（3分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，直线a∥b，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）试卷源自 期末大优惠，即将回复原价。
A．20°B．30°C．40°D．50°
6．（3分）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20mB．28mC．35mD．40m
7．（3分）如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（ ）
A．主视图和左视图
B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图
D．主视图、左视图、俯视图
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a3﹣a2＝aB．（a3）2＝a6
C．a3•a2＝a6D．（a﹣1）2＝a2﹣1
9．（3分）某公司今年1月的营业额为2100万元，按计划第一季度的总营业额要达到6200万元，设该公司2、3两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．2100（1+x）2＝6200
B．2100（1+x%）2＝6200
C．2100（1+x）+2100（1+x）2＝6200
D．2100+2100（1+x）+2100（1+x）2＝6200
10．（3分）若点（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）、（2，y4）分别在反比例函数的图象上，则下列值最小的是（ ）
A．y1B．y2C．y3D．y4
11．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．如果a＞b，则有|a|＞|b|
B．若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数
C．一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数
D．若m+n＝0，则m、n互为相反数
12．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．10B．12C．20D．24
二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题3分，共15分）
13．（3分）分式方程＝1的解为 ．
14．（3分）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由 个基础图形组成．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，在线段ED上存在一点P，使P、B、F三点构成的△PBF的周长最小，则△PBF周长的最小值为 ．
16．（3分）如图，正方形OABC的边长为6，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在第一象限内，反比例函数的图象与正方形OABC的两边AB，BC分别相交于点M，N．若△OMN的面积为10，则k的值为 ．
17．（3分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．则安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为 米．（结果精确到0.1米）
参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cs22°≈，tan22°≈0.4．
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共9题，满分69分）
18．（5分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中m＝2．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5．
（1）利用直尺和圆规作出∠ABC的角平分线，交AD于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上求DE的长．
20．（9分）遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：h）的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
课外劳动时间频数分布表：
解答下列问题：
（1）频数分布表中a＝ ，m＝ ；将频数分布直方图补充完整；
（2）若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；
（3）已知课外劳动时间在60h≤t＜80h的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．
21．（6分）冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元；
（2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？
22．（7分）掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表：
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．
（1）求满足条件的抛物线的解析式；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．
23．（8分）如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，AC＝4，求⊙O的半径．
(8分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
25．（8分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．
（1）直接写出BC＝ ，AB＝ ；
（2）当PC2+PD2＝13时，求点D的坐标；
（3）在运动过程中，∠CDP是否一个定值，如果是，求出该值，如果不是，说明理由．
26．（12分）如图，抛物线L：y＝ax2+bx+3经过点B（1，0）和（3，﹣12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与△AOC全等，则点P的坐标为 ；
（3）点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
2024年中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑.每小题3分，共42分）
1．（3分）|﹣2024|的结果是（ ）
A．B．2024C．D．﹣2024
【分析】根据绝对值的定义即可求得答案．
【解答】解：|﹣2024|＝2024，
故选：B．
2．（3分）中国的航天事业蓬勃发展，取得了显著的进展和突破．下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．中国探月B．中国航天
C．中国火箭D．中国行星探测
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、B、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
3．（3分）3月5日，国务院总理李强在政府工作报告中提出，今年发展主要预期目标是：城镇新增就业1200万人以上，城镇调查失业率5.5%左右．数据“1200万”用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×106B．1.2×107C．1.2×108D．1.2×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：1200万＝12000000＝1.2×107．
故选：B．
4．（3分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．
【解答】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能，
∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果）＝，
故选：B．
5．（3分）如图，直线a∥b，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】根据互余和两直线平行，同位角相等解答即可．
【解答】解：由图可知，∠3＝180°﹣90°﹣∠1＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝40°，
故选：C．
6．（3分）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20mB．28mC．35mD．40m
【分析】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD＝，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，
设主桥拱半径为R m，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝（m），
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（）2+（R﹣7）2＝R2，
解得R＝≈28．
故选：B．
7．（3分）如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（ ）
A．主视图和左视图
B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图
D．主视图、左视图、俯视图
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：将正方体①移走后，主视图不变，俯视图变化，左视图不变，
故选：A．
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a3﹣a2＝aB．（a3）2＝a6
C．a3•a2＝a6D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．
【解答】解：A、2a3与﹣a2不是同类项，所以不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故本选项计算正确，符合题意；
C、a3•a2＝a5，故本选项计算错误，不符合题意；
D、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本选项，计算错误，不符合题意．
故选：B．
9．（3分）某公司今年1月的营业额为2100万元，按计划第一季度的总营业额要达到6200万元，设该公司2、3两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．2100（1+x）2＝6200
B．2100（1+x%）2＝6200
C．2100（1+x）+2100（1+x）2＝6200
D．2100+2100（1+x）+2100（1+x）2＝6200
【分析】由该公司今年1月的营业额及2、3两月的营业额的月平均增长率，可得出该公司今年2、3月的营业额，结合按计划该公司第一季度的总营业额要达到6200万元，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵该公司今年1月的营业额为2100万元，且该公司2、3两月的营业额的月平均增长率为x，
∴该公司今年2月的营业额为2100（1+x）万元，3月的营业额为2100（1+x）2万元．
根据题意得：2100+2100（1+x）+2100（1+x）2＝6200．
故选：D．
10．（3分）若点（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）、（2，y4）分别在反比例函数的图象上，则下列值最小的是（ ）
A．y1B．y2C．y3D．y4
【分析】由反比例函数解析式可知k＝﹣2＜0，则有在每个象限内，y随x的增大而增大，进而问题可求解．
【解答】解：由反比例函数可知k＝﹣2＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）、（2，y4）分别在反比例函数的图象上，
∴y3＜y4＜y1＜y2；
∴函数值最小的是y3；
故选：C．
11．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．如果a＞b，则有|a|＞|b|
B．若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数
C．一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数
D．若m+n＝0，则m、n互为相反数
【分析】根据绝对值的性质、有理数的乘法、相反数的定义即可求出答案．
【解答】解：A、当a＝1，b＝﹣5时，|a|＜|b，不符合题意，故A不符合题意．
B、若有一个数为零时，此时乘积为0，故B不符合题意．
C、一个有理数的绝对值是它本身，则这个是非负数，故C不符合题意．
D、若m+n＝0，则m、n互为相反数，故D符合题意．
故选：D．
12．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．10B．12C．20D．24
【分析】由图1看到，点P从B运动到A的过程中，y＝BP先从0开始增大，到达点C时达到最大，对应图2可得此时y＝5，即BC＝5；点P从C运动到A的过程中，y＝BP先减小，到达BP⊥AC时达到最小，对应图2可得此时BP＝4；而后BP又开始增大，到达点A时达到最大y＝5，即BA＝5，所以△ABC为等腰三角形．作AC边上的高BD＝4，即能求得AD＝CD＝3，即AC＝6，再求得△ABC面积．
【解答】解：由图形和图象可得BC＝BA＝5，BP⊥AC时，BP＝4
过点B作BD⊥AC于D，则BD＝4
∴AD＝CD＝
∴AC＝6
∴S△ABC＝AC•BD＝×6×4＝12
故选：B．
二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题3分，共12分）
13．（3分）分式方程＝1的解为 ．
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵+＝1，
∴x（x﹣5）+2（x﹣1）＝x（x﹣1），
∴x＝﹣1，
经检验：x＝﹣1是原方程的解．
故答案为：-1.
14．（3分）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由 个基础图形组成．
【分析】根据图形的变化，找出其规律，再计算求值即可．
【解答】解：根据题意有，
第1个图案基础图形个数为：1+3×1＝4，
第2个图案基础图形个数为：1+3×2＝7，
第3个图案基础图形个数为：1+3×3＝10，
……，
第n个图案基础图形个数为：1+3×n＝3n+1．
故答案为：3n+1
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，在线段ED上存在一点P，使P、B、F三点构成的△PBF的周长最小，则△PBF周长的最小值为 7 ．
【分析】由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，则当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小为AF+FB的长．
【解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，
连接AF，交ED于点P，
∵AP＝PB，
∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，
当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，
∵F为BC边的中点，AB＝AC，
∴AF⊥BC，
∴S△ABC＝×BC×AF＝10，
∵BC＝4，
∴AF＝5，
∴△PBF周长＝AF+FB＝5+2＝7，
∴△PBF周长的最小值为7，
故答案为：7．
16．（3分）如图，正方形OABC的边长为6，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在第一象限内，反比例函数的图象与正方形OABC的两边AB，BC分别相交于点M，N．若△OMN的面积为10，则k的值为 24 ．
【分析】首先得到OC＝OA＝AB＝BC＝6，设，，根据S正方形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN﹣S△BMN＝10代入求解即可．
【解答】解：∵正方形OABC的边长为6，
∴OC＝OA＝AB＝BC＝6，
设，，
∴，，，，
∵△OMN的面积为10，
∴S正方形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN﹣S△BMN＝10，
∴，
解得k＝±24，
∵反比例函数的图象在第一象限，
∴k＝24．
故答案为：24．
17．（3分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．则安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为 0.9 米．（结果精确到0.1米）
参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cs22°≈，tan22°≈0.4．
【分析】过点B作BF⊥AD于点F，根据正弦的定义求出BF，根据余弦的定义求出AF，根据正切的定义求出AD，进而求出BC．
【解答】解：如图2，过点B作BF⊥AD于点F，
则四边形BFC为矩形，
∴DF＝BC，BF＝DC，
在Rt△ABF中，AB＝3米，∠BAF＝37°，
∵sin∠BAF＝，cs∠BAF＝，
∴BF＝AB•sin∠BAF≈3×＝1.8（米），AF＝AB•cs∠BAF≈3×＝2.4（米），
∴DE＝CD﹣CE＝1.8﹣0.5＝1.3（米），
在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，
则AD＝≈3.25（米），
∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米），
故答案为：0.9．
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）
18．（5分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中m＝2．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣1）÷
＝
＝
＝
＝，
当m＝2时，原式＝＝6．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5．
（1）利用直尺和圆规作出∠ABC的角平分线，交AD于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上求DE的长．
【分析】（1）由作角平分线的方法进行作图；
（2）利用平行四边形ABCD的性质求得AD∥BC，AD＝BC＝5；然后根据平行线的性质、角平分线的性质以及等角对等边等性质求得AE＝AB＝3；最后由DE＝AD﹣AE作答．
【解答】解：（1）如图，作∠ABC 的角平分线交AD于点E，BE即为所求；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5．
∴∠AEB＝∠EBC．
∴∠ABE＝∠AEB．
∴AE＝AB＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝2．
20．（9分）遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：h）的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
课外劳动时间频数分布表：
解答下列问题：
（1）频数分布表中a＝ 5 ，m＝ 0.2 ；将频数分布直方图补充完整；
（2）若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；
（3）已知课外劳动时间在60h≤t＜80h的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．
【分析】（1）根据频数分布表所给数据即可求出a，m；进而可以补充完整频数分布直方图；
（2）根据样本估计总体的方法即可估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；
（3）根据题意画出用树状图即可求所选学生为1男1女的概率．
【解答】解：（1）a＝（2÷0.1）×0.25＝5，
m＝4÷20＝0.2，
补全的直方图如图所示：
故答案为：5，0.2；
（2）400×（0.25+0.15）＝160（人）；
答：估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数为160人；
（3）根据题意画出树状图，
由树状图可知：
共有20种等可能的情况，
1男1女有12种，
故所选学生为1男1女的概率为：
P＝＝．
21．（6分）冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元；
（2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？
【分析】（1）设A种笔记本每本的进价为x元，则B种笔记本每本的进价为（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本（100﹣m）本，根据总利润＝每本的利润×销售数量（购进数量）结合总获利不小于468元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种笔记本每本的进价为x元，则B种笔记本每本的进价为（x+10）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝30．
答：A种笔记本每本的进价为20元，B种笔记本每本的进价为30元．
（2）设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本（100﹣m）本，
依题意，得：（24﹣20）m+（35﹣30）（100﹣m）≥468，
解得：m≤32．
答：最多购进A种笔记本32本．
22．（7分）掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表：
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．
（1）求满足条件的抛物线的解析式；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．
【分析】（1）依据题意，通过图表求出抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，再代入（0，2）即可求出解析式；
（2）依据题意，把y＝0代入y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果．
【解答】解：（1）由题意，根据表格的数据可得对称轴是直线x＝＝4，
∴顶点为（4，3.6）．
故可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6，
把（0，2）代入，
得a（0﹣4）2+3.6＝2，
∴a＝﹣0.1．
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6．
（2）明明在此次考试中能得到满分，理由如下：
把y＝0代入y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，
得﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0，
解得x1＝10或x2＝﹣2（不符合题意，舍去），
∵10＞9.7，
∴明明在此次考试中能得到满分．
23．（8分）如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，AC＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，根据垂直定义可得∠E＝90°，再根据等腰三角形的性质和已知可得∠ACD＝2∠ACO，从而可得∠ACO＝∠DCO，然后利用同弧所对的圆周角定理可得∠A＝∠D，从而可得∠D＝∠DCO，进而可得OC∥DE，最后利用平行线的性质即可解答；
（2）连接BC，根据切线的性质、圆周角定理推出△BCE∽△CDE，△BEC∽△BCA，根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE⊥DE，
∴∠E＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠ACD＝2∠A，
∴∠ACD＝2∠ACO，
∴∠ACO＝∠DCO，
∴∠A＝∠DCO，
∵∠A＝∠D，
∴∠D＝∠DCO，
∴OC∥DE，
∴∠E+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CE与⊙O相切；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∵∠OCB+∠BCE＝∠OCE＝90°，
∴∠ACO＝∠BCE，
∵∠D＝∠A＝∠ACO，
∴∠D＝∠BCE，
又∠BEC＝∠CED＝90°，
∴△BCE∽△CDE，
∵＝＝2，
∴BC＝CE，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵OC∥ED，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠OBC，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴△BEC∽△BCA，
∴＝，
∴＝＝，
∵AC＝4，
∴AB＝2，
∴OA＝，
即⊙O的半径为．
24.（8分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【分析】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量＝4月份的销售量×（1+该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，利用月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，
根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400，
整理得：y2﹣113y+3150＝0，
解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
25．（8分）如图，抛物线L：y＝ax2+bx+3经过点B（1，0）和（3，﹣12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与△AOC全等，则点P的坐标为 （﹣4，﹣5）或（2，﹣5） ；
（3）点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）将（1，0）和（3，﹣12）代入y＝ax2+bx+3，用待定系数法即得抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由y＝﹣x2﹣2x+3得对称轴为直线x＝﹣1，A（﹣3，0），C（0，3），即知△AOC是等腰直角三角形，根据以P、E、F为顶点的三角形与△AOC全等，得PE＝EF＝OA＝OC＝3，即可求得P（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）；
（3）设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（0，m），而A（﹣3，0），B（1，0），分三种情况：①以PQ、AB为对角线，则PQ的中点即为AB的中点，可得，解得P（﹣2，3），②以PA、QB为对角线，同理可得P（4，﹣21），③以PB、QA为对角线，可得P（﹣4，﹣5）．
【解答】解：（1）将（1，0）和（3，﹣12）代入y＝ax2+bx+3得：
，解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图：
由y＝﹣x2﹣2x+3得对称轴为直线x＝﹣1，A（﹣3，0），C（0，3），
∴AO＝OC＝3，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，
∴∠PEF＝90°，
∵以P、E、F为顶点的三角形与△AOC全等，
∴PE＝EF＝OA＝OC＝3，
∴xP＝﹣4或xP＝2，
∴P（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）；
（3）存在，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（0，m），而A（﹣3，0），B（1，0），
①以PQ、AB为对角线，则PQ的中点即为AB的中点，如图：
∴，解得t＝﹣2，
∴P（﹣2，3），
②以PA、QB为对角线，
∴，解得t＝4，
∴P（4，﹣21），
③以PB、QA为对角线，
∴，解得t＝﹣4，
∴P（﹣4，﹣5），
综上所述，P的坐标为（﹣2，3）或（4，﹣21）或（﹣4，﹣5）．
26．（12分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．
（1）直接写出BC＝ 2 ，AB＝ 2 ；
（2）当PC2+PD2＝13时，求点D的坐标；
（3）在运动过程中，∠CDP是否一个定值，如果是，求出该值，如果不是，说明理由．
【分析】（1）根据点，即可解决问题；
（2）设D点的横坐标是m，根据勾股定理得m的值，即可解决问题；
（3）过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，得四边形OFEC是矩形，所以EF＝OC＝2，设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，然后证明△CEP∽△PFD，对应边成比例，进而利用锐角三角函数即可解决问题．
【解答】解：（1）∵，
∴OA＝BC＝2，AB＝OC＝2，
故答案为：，2；
（2）设D点的横坐标是m，根据勾股定理得：
PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+m2＝13，
∴m＝3或﹣3（舍去），
∴点D的坐标为（3，0）；
（3）∠CDP 是个固定值，∠CDP＝60°，理由如下：
如图，过点P作PF⊥OA 于F，FP的延长线交BC于E，
∴PE⊥BC，
∴∠CEF＝∠ECO＝∠COF＝90°，
∴四边形OFEC是矩形，
∴EF＝OC＝2，
设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，
在Rt△BEP中，，
∴BE＝a，
∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），
∵PD⊥PC，
∴∠CPE+∠FPD＝90°，
∵∠CPE+∠PCE＝90°，
∴∠FPD＝∠ECP，
∵∠CEP＝∠PFD＝90°，
∴△CEP∽△PFD，
∴＝＝，
∴＝
∴DF＝，
∴，
∴∠CDP＝60°．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/29 19:38:04；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.cm；学号：27405248劳动时间分组
频数
频率
0≤t＜20
2
0.1
20≤t＜40
4
m
40≤t＜60
6
0.3
60≤t＜80
a
0.25
80≤t＜100
3
0.15
水平距离x/m
0
2
4
5
6
8
竖直高度y/m
2
3.2
3.6
3.5
3.2
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