2024年吉林省白山市中考二模数学试题（学生版+教师版）

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1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进50吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A. 运出50吨粮食B. 亏损50吨粮食C. 卖掉50吨粮食D. 吃掉50吨粮食
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【详解】解：粮库把运进50吨粮食记为“”，则“”表示运出50吨粮食，
故选：A．
2. 2023年，吉林省旅游行业实现了快速增长，全省共接待国内游客314000000人次，同比增长．数据314000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据314000000用科学记数法表示为，
故选：B．
3. 如图所示的几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】从左面看易得左视图为“”.
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4. 下列四个生活中的现象可用公理“两点之间，线段最短”来解释的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查两点之间，线段最短；熟练掌握这个公理是解题的关键；因此此题可根据选项进行排除答案．
【详解】解：A、该选项是解释“两点确定一条直线”，故不符合题意；
B、该选项是解释“两点之间，线段最短”，故符合题意；
C、该选项是解释“点到直线，垂线段最短”，故不符合题意；
D、该选项是解释“三角形的稳定性”，故不符合题意；
故选B．
5. 如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握基本作图；根据角平分线的作图可判断D，根据角平分线的性质可判断B，证明，可判断A，由题目条件无法证明出，可判断C；
详解】根据作图可知平分，
，
故D选项不符合题意；
，，平分，
，
故B选项不符合题意；
，
，
，
故A选项不符合题意；
由题目条件无法证明出，故C选项符合题意，
故选：C；
6. 如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，已知，则这根圆柱形木材的半径是（ ）
A. 20B. 12C. 10D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
连接，由垂径定理得，设圆的半径为x，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵
∴
设圆的半径为x，则
∴由勾股定理得，
即
解得：
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再用平方差公式分解即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
8. 用一个a的值说明“若a是实数，则2a一定比a大”是错误的，这个值可以是__________．
【答案】a=0（答案不唯一）
【解析】
【分析】举出一个反例：a＝0，说明命题“若a为实数，则2a一定比a大”是错误的即可．
【详解】当a＝0时，2a=0，
此时a=2a，
∴命题“若a为实数，则2a一定比a大”是错误的，
故答案为：0．（答案不唯一，满足即可）
【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
9. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为_____．

【答案】##度
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意，，
∴，
∵，，
∴
∴．

故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10. 下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路”．已知米，米，只为少走______米的路．
【答案】20
【解析】
【分析】先用勾股定理求出AC的长，然后再求出少走的路即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=40m，BC=30m，则：AC==50m
所以少走的路为40+30-50=20m．
故答案为20 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意灵活运用勾股定理是解答本题的关键．
11. 《九章算术》第八卷方程第十问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.甲、乙持钱各几何？”
题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱,如果甲得到乙所有的一半，那么甲共有钱50文，如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50文.甲、乙各带了多少钱？
设甲原有文钱，乙原有文钱，可列方程组为：_____________________.
【答案】
【解析】
【分析】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的=50，据此列方程组可得．
【详解】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
根据题意得：，
故答案为.
【点睛】考查由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.
12. 已知一张三角形纸片（如图①），其中．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的点E处，折痕为，点D在边上（如图②）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图③）．原三角形纸片中，的大小为______．

【答案】72
【解析】
【分析】根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解答．
详解】设，根据翻折不变性可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故答案为72．
【点睛】本题考查了翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会转化角的关系并用方程的思想思考问题．
13. 如图，点均在上，线段经过圆心，于点，于点，已知的半径为2，，，则图中阴影部分的周长为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，解直角三角形，求弧长．勾股定理求出的长，进而求出的度数，利用弧长公式求出的长度，进而求出周长即可．
【详解】解：∵于点，于点，
∴，
∵的半径为2，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长度为：，
∴图中阴影部分的周长为；
故答案为：．
14. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为13的奖杯，杯体轴截面是抛物线 的一部分，则杯口的口径长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，求出点A，C的坐标，即可求出杯口的口径长．
【详解】解：∵，
∴点D的坐标为，
当时，，
解得，
∴，
∴，
故答案为：7．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，原式
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，乘法分配律的应用；先用乘法分配律计算，然后化简，最后代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
16. 为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．
（1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是_________．
（2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）画出树状图，得出总的结果数和恰好抽到景区A和景区B门票的情况，即可求解.
【小问1详解】
解：∵共有4张相同的卡片且任意抽取一张卡片，记录后放回，
∴每张卡片抽到的概率都是，
设小明恰好抽到景区A门票为事件，则,
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意，画树状图如下：

∴一共有16种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种，
∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为；
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
17. 如图，点D在内部，，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的判定，由，可知，再利用即可证明结论，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴．
18. 《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．求两种图书的单价分别为多少元？
【答案】《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程的应用；设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，根据等量关系：用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，列出分式方程即可求解；根据等量关系列出方程是解题的关键，注意解分式方程要检验．
【详解】解：设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，
根据题意，得，
解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
所以（元）．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，在的正方形方格纸中，线段的端点均在格点上，请按要求画图．
（1）如图①，画出一条线段，使，且点在格点上；
（2）如图②，在上找一点，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了网格作图，利用网格构造全等直角三角形画垂直或比例线段是解题关键．
（1）根据网格的特征，构造全等的直角三角形即可；
（2）根据网格特点，如图构造相似三角形，使相似比为3∶1，即可
【小问1详解】
解：如图①，为所求，
【小问2详解】
解：如图②，点E为所求.
20. 如图，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点在点的下方，过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）点的坐标为
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数综合运用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
（）用待定系数法即可求解；
（）根据题意得到，进而得到，过点作轴于点，过点作轴于点，易得，易证，由相似性质得到，即可解答．
【小问1详解】
解：将点的坐标代入直线的表达式得，，
解得，
∴一次函数的表达式为，
当时，，
∴，
∴，
将代入反比例函数表达式得，，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：点在下方，的面积是面积的倍，
则，
∴，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为，
当时，，
解得，
∴．
21. 某校2024年举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：
收集数据：从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：
81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100．
整理、描述数据：
分析数据：
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）样本数据中，七年级的甲同学和八年级的乙同学的分数都为90分， 同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；
（3）如果七年级共有400人参赛，则该年级约有多少人的分数不低于95分？
【答案】（1）6；91；95
（2）甲 （3）该年级约有160人的分数不低于95分
【解析】
【分析】本题考查了中位数的定义、众数的定义、样本估计总体；掌握估算方法，理解相关定义“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数”是解题的关键；
（1）根据中位数的定义、众数的定义即可求解；
（2）由中位数的定义判断甲乙两位同学的大致名次，即可求解；
（3）求出95分以上所占百分比，进行估算，即可求解；
【小问1详解】
解：由题意知，，，
故答案为：6，91，95；
【小问2详解】
七年级的分数的中位数是89分，
甲同学的分数由高到低排可以排到第10名或之前，
八年级乙同学的分数由高到低排在第11名，
甲同学更靠前，
故答案为：甲；
【小问3详解】
由题意得（人）
该年级约有160人的分数不低于95分；
22. 数学兴趣小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
请你依据此方案，求教学楼的高度．（结果保留整数）
【答案】教学楼的高度约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得四边形是矩形，则可得，然后分别在与中，利用三角函数的知识，求得与的长，进而可得，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是关键．
【详解】根据题意得：四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：教学楼的高度约为．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：

（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是_________函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
（2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式；
（3）当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
【答案】（1）一次 （2）
（3）当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为
【解析】
【分析】（1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可．
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）把代入函数关系式，求出函数值即可．
【小问1详解】
由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加，油的温度就升高，
故可知可能是一次函数关系，
故答案为：一次；
【小问2详解】
设这个一次函数的解析式为，
当时，；当时，，
，
解得，
∴y关于t的函数解析式为；
【小问3详解】
当时，
答：当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为．
【点睛】本题考查函数的表示方法以及求函数值；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键．
24. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．

（1）如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形．
（2）如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．
（3）如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，求四边形的周长．
【答案】（1）证明见解析
（2）画图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先证明，，再证明，即可得到结论；
（2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足或的格点D；②，结合图形再确定满足的格点D；
（3）如图，过作于，可得四边形是矩形，，，证明四边形为平行四边形，可得，，设，而，，，由新定义可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∵对角线平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为邻等四边形．
【小问2详解】
解：，，即为所求；
【小问3详解】
如图，过作于，

∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
设，而，
∴，，
由新定义可得，
由勾股定理可得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意舍去），
∴，
∴四边形的周长为．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以的速度沿运动．同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．连接．设点的运动时间为，的面积为．
（1）当点运动到的中点时，求的长度；
（2）当点沿运动，且时，求的值；
（3）求S与之间的函数关系式；
（4）当的边将分成面积比为的两部分时，直接写出的值．
【答案】（1）或
（2）
（3）
（4），
【解析】
【分析】（1）分两种情况：当点P从点A向点C运动，点运动到的中点时，当点P从点C向点A运动，点运动到的中点时，分别求出结果即可；
（2）由．可得，即可解决问题；
（3）分两种情况进行讨论，当时，分别过点P、Q作于点E，于点F；当时，分别过点P、Q作于点E，于点F；分别利用三角形的面积求解即可；
（4）当时，P是中点，为的中位线，满足条件，求出t的值即可．
【小问1详解】
解：∵在中，，，，
∴由勾股定理，得：，
当点P从点A向点C运动，点运动到的中点时，运动时间为：
，
∴此时，，
∴；
当点P从点C向点A运动，点运动到的中点时，运动时间为：
，
∴此时，，
∴；
综上分析可知：或；
【小问2详解】
解：如图，
∵，，
∴，
∵，D为边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由题意，，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图，当时，分别过点P、Q作于点E，于点F．
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
同理得：，
∴，
即，
解得：，
∴
，
∴．
如图，当时，分别过点P、Q作于点E，于点F．
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
同理得：，
∴，
即，
解得：，
∴
∴；
综上分析可知：．
【小问4详解】
解：点P从A→C需要2秒，从C→A也需要2秒，共4秒停止运动；点Q从C→B需要3秒，
∴
如图，当时，P是中点时，
∵为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，符合题意，
∴此时或3；
即当的边将分成面积比为的两部分时，或．
【点睛】本题考查了相似形综合题、勾股定理、三角形面积的计算，中位线性质，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点在抛物线上，横坐标为，点不与点重合．
（1）求的值；
（2）设点是抛物线的顶点，过点作直线轴交轴于点，当时，求的值；
（3）将抛物线上两点之间的部分（包括端点）记作图象，当图象的最高点与最低点的纵坐标之差小于4时，直接写出的取值范围；
（4）设点，以为对角线构造矩形，使点A在该矩形的内部或边上，当抛物线在该矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）且
（4）或
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法把代入即可解答；
（2）由题意得，根据建立方程求解即可；
（3）分、、、四种情况，分别画出图像，根据图像列不等式求解或图像法求解即可；
（4）分两种情况：当点Q在直线上或左侧，点P在x轴上或下方时，当点P在直线左侧，点Q在x轴上或下方时，利用图象法求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，解得：．
【小问2详解】
解：当时，，
∴抛物线的顶点，
如图：设，则，则，
∵，
∴，
∴，即，解得：．
【小问3详解】
解：如图：当时，最高点为，最低点为，
∵图象的最高点与最低点的纵坐标之差小于4时，
∴，解得：，
∵，
∴
当，点A和点P重合，即图象的最高点与最低点的纵坐标之差为0，不符合题意；
如图:当时，最高点为，最低点为，
∵图象的最高点与最低点的纵坐标之差小于4时，
∴，解得：，
∵，
∴．
如图：当时，最高点为，最低点为，此时图象的最高点与最低点的纵坐标之差横为4，不符合题意；

综上所述，m的取值范围为且．
【小问4详解】
解：∵设点，以为对角线构造矩形，点A在矩形边上或内，矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，
∴如图：分两种情况：当点Q在直线上或左侧，点P在x轴上或下方时，则，解得：；
当点P在直线左侧，点Q在x轴上或下方时，如图：
当时，，
∴，解得：．
综上所述，m的取值范围为或．分数段
七年级人数
4
6
2
8
八年级人数
3
4
7
年级
平均数
中位数
众数
七年级
91
89
97
八年级
91
课题
测量教学楼的高度
测量方案示意图
测得数据
，，
说明
图上所有点均在同一平面内
参考数据
，，，
，，
时间t/s
0
10
20
30
40
油温y/
10
30
50
70
90