2024年吉林省长春市二道区九年级中考一模数学试题（学生版+教师版）

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一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
1. 下列计算结果是负数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 长白山脉，粉雪静风，滑雪爱好者驰骋雪浪；查干湖畔，冰湖腾鱼，八方来客熙熙攘攘．这个雪季，吉林省冰雪旅游异常火热， 数据显示，2024年春运期间，吉林省接待国内游客约为20 500 000人次．其中20 500 000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列几何体均由五个大小相同的小正方体搭成，其中主视图与其它三个都不同的是（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A B.
C. D.
5. 如图，O是量角器的中心，点M是量角器上一点，直尺的一边与量角器的零刻度线重合， 与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 近年，长春市城区内背街小巷都安装上了路灯，为市民提供更多的出行方便．如图所示，其中一款路灯的灯杆高9米，灯臂长1米，灯臂与水平面的夹角为，则灯臂的最高点B到地面的距离为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
7. 如图，已知小于，在射线上取一点C，以点О为圆心，长为半径作交于点D，连结．以点D为圆心，长为半径作弧，交于点P，再以点P为圆心，长为半径继续作弧，交于点Q，连结，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）

A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数第一象限内图象上一点，过点A分别作轴，轴，交反比例函数的图象于点B和点C，过点B作轴于点P，连结．若平分，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6道小题,每小题3分，共18分）
9. 计算：_____．
10 因式分解：__________．
11. 关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是___．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为__________．
13. 如图，四边形是的内接四边形，，直线与相切于点．若，则的大小为__________度．
14. 如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方发出，把球看成点，其运行的高度（米与运行的水平距离（米满足表达式．已知球网与点的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点的水平距离为18米．若排球不碰球网且不出界，则的取值范围是____________．（排球落在边界线上时为界内）
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15 先化简，再求值：，其中．
16. 一个不透明的盒子中有三张卡片，卡片上面分别标有数字0，1，2，每张卡片除数字不同外其他都相同．小明先从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片记下数字．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽出的卡片上的数字之和是偶数的概率．
17. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？
18. 如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，则菱形的面积为 ．
19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
（1）在图①中，确定一个格点（不与重合），连结、，使得的面积和的面积相等；
（2）在图②中，确定一个格点，连结、，使得的面积是的面积的2倍；
（3）在图③中，确定两个格点和，连结、和，使得四边形的面积是的面积的3倍．
20. 近期，许多市民对我市 “道路交通拥堵指数”很感兴趣，它相当于把拥堵情况数字化，其计算公式是：
．
例如：从A点→B点畅通期只需要10分钟，拥堵期需要20分钟，那么就意味着拥堵期从A点→B点需要花费的时间是畅通期的2倍，这个时候的道路交通拥堵指数将会显示为2．目前，我市界定交通状况的道路拥堵指数范围如下：
拥堵指数为畅通；拥堵指数为缓行；
拥堵指数为拥堵；拥堵指数为严重拥堵．
小张同学为了解本市早高峰时段部分路段的交通情况，随机查阅了本市某天的早高峰道路交通拥堵指数，整理这些数据并绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）估计我市360条重点管理道路中早高峰时段处于拥堵和严重拥堵的总条数；
（3）基于以上统计结果，我市交通管理部门建议交通参与者要绿色出行，文明行车，使我市360条重点管理道路中早高峰时段交通状况为畅通或缓行的道路条数占比达到85％，则我市交通管理部门应在保证现有的通畅和缓行道路条数的基础上至少要改变________条拥堵或严重拥堵的道路．
21. 小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示．
（1）小红同学骑自行车的速度为 千米/小时；
（2）当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式；
（3）当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离．
22. 【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____．
【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，．
请你补全余下的证明过程．
【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ．
23. 如图，在中，，，，点M是的中点，动点P从点C出发，沿折线向终点A运动，点P在上的运动速度为每秒4个单位长度，在上的运动速度为每秒5个单位长度，作点P关于点C的中心对称点Q，连结、．设点P的运动时间为秒．
（1）线段的长为 ；
（2）设点P到的距离为h，用含t的代数式表示h；
（3）当是直角时，求t的值；
（4）当点P在上运动时，在边上存在一点N，使四边形是轴对称图形，直接写出此时t的值及的长度．
24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线为常数）的顶点坐标为，抛物线与轴相交于点，点在此抛物线上，其横坐标为，该抛物线在、两点之间的部分（包括、两点）记为图象．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当图象G与x轴有交点时，求m的取值范围；
（3）设图象G的最高点与最低点的纵坐标差为h，横坐标差的绝对值为l，当时，求m的值；
（4）过点作轴，点的横坐标为，连结，以和为邻边构造，若图象与的边有交点（不包括的顶点），交点记为点，当的面积被直线分成的两部分时，直接写出的值．