2024年山东省聊城市东昌府区部分学校中考数学一模试题（学生版+教师版）

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注意事项：
1.答题前，考生务必用05毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题
卡和试卷规定的位置上．
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握有理数的相关运算法则．根据有理数得到加法法则、有理数的乘法和有理数的乘方，逐一判断即可．
【详解】解：A、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D符合题意；
故选：D．
2. “福禄寿喜”图是中华传统祥云图纹，以下四个图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解．
【详解】解：A：不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
C：是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意 ；
D：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
3. 一个如图所示的几何体，已知它的左视图，则其俯视图是下面的（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．根据从上面看到的图形即为俯视图进行求解即可．
【详解】解：由几何体的形状可知，从上面看，是一列两个相邻的矩形．
故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘除法，积的乘方，完全平方公式；根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，将沿直线折叠，使点A落在边上的点F处，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质；
根据平行线的性质可得，根据折叠的性质求出，进而可计算的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠得：，
∴，
故选：B．
6. 甲乙两地相距，新的高速公路开通后，在甲乙两地间行驶的长途客车平均速度提高了，而从甲地到乙地的时间缩短了．若设原来的平均速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设原来的平均速度为，则提速以后的平均速度为，根据提速以后时间缩短了，列出方程即可．解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
【详解】解：设原来的平均速度为，则提速以后的平均速度为，
由题意得：．
故选：C．
7. 近年来，从昆曲、京剧、端午节，到珠算、中医针灸，二十四节气，我国多项非遗在联合国教科文组织申遗成功，成为全人类共同保护和记忆的文化遗产，极大提升了中华儿女的文化自信．某校组织学生去某非遗馆研学，其中有六个非遗项目体验，同学们有机会随机参加两个不同的非遗项目，A同学最想体验京剧和中医针灸，此次研学活动他恰好体验到这两个项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有30种等可能的结果，其中恰好选中京剧和中医针灸的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把六个非遗项目昆曲、京剧、端午节，到珠算、中医针灸，二十四节气体验分别记为：A、B、C、D、E，F
画树状图如下：
共有30种等可能的结果，其中恰好选中京剧和中医针灸的结果有2种，
∴恰好选中京剧和中医针灸的概率为．
故选：C．
8. “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长约为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵点P大致是的黄金分割点，，
∴，
∴，
∴AB的长约为，
故选：A．
9. 如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据解析式求出点A、B、C的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P的坐标，根据过点P作⊙B的切线，切点是Q得到PQ的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】解：令中y=0，得x1=-，x2=5，
令，则
设直线的解析式为，将
解得
∴直线AC的解析式为，
设P（x，），
∵过点P作⊙B的切线，切点是Q，BQ=1
∴PQ2=PB2-BQ2，
=(x-5)2+（）2-1，
=，
∵＞0，
∴PQ2有最小值=，
∴PQ的最小值是，
故选D
【点睛】此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ、BQ、PB之间的关系式是解题的关键.
10. 如图，在正方形中，．则下列结论：①；②；③连接，若的面积为，则的长为5．其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①③D. ②③
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质得到，，即可证明，进而判断①；证明出，即可判断②；设，则，然后由代数求出或，然后利用勾股定理求出或，即可判断③．
【详解】提示：四边形是正方形，
．
，即，
，
，
，故①正确；
在与中，
，
，故②正确；
设，则，
，
，解得或，
或．
，
或，故③错误．
故选A．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质求解．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 已知：，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题关键．先根据可得，再代入计算即可得．
【详解】解：由得：，
，
，
故答案为：．
12. 如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形BAC，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是________m．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角定理得BC为⊙O的直径，即BC=2，所以AB= ，设该圆锥的底面圆的半径为rm，根据弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC=2m，
∵AB=AC，
∴AB= ，
设该圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得，解得r= ，
即该圆锥的底面圆的半径为m．
故答案为．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解题的关键是弄清扇形弧长和底面圆的周长的关系．
13. 阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值，杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，“标杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用，比如：小刚用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图所示，若小刚想使动力臂为，则动力至少需要______ ．

【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出阻力关于阻力臂的函数关系，再根据动力动力臂=阻力阻力臂，即可得到动力与动臂的关系，再将代入，求出的值即可．
【详解】解：设，
点在该函数图象上，
，
解得，
即，
，
动力动力臂阻力阻力臂，
，
当为时，，
解得，
动力至少需要，
故答案：．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14. 如图，在中，，，，斜边是半圆的直径，点是半圆上的一个动点，连接与交于点，若是等腰三角形，则的度数为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，分两种情形：，分别求出即可，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论的思想．
【详解】如图中，当时，
∵，，
∴，
∴；
如图中，当时，点与重合，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：或．
15. 如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，N是的中点，点M、点P分别是直线和y轴上的动点，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】作点关于轴对称的点，过点作于，交轴于点，连接，利用一次函数解析式求出点A和点B坐标，根据对称的性质得出，可得的值最小，利用勾股定理求出，利用面积法求出的长即可得解．
【详解】解：在中，令，则，令，则，
∴，，
∵N是的中点，
∴，
作点关于轴对称的点，则的坐标为，
过点作于，交轴于点，连接，
，
此时的值最小，
∵，
∴，
即，
解得：，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称求最小值，勾股定理，面积法，最短路径问题．根据轴结称和垂线段确定最短路径是解题的关键．
16. 如图1，菱形中，，动点以每秒2个单位的速度自点出发沿线段运动到点，同时动点以每秒4个单位的速度自点出发沿折线运动到点．图2是点、运动时，的面积随时间变化关系图像，则的值是__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据图2中的数据即可得到时两点停止运动，所以点以每秒2个单位速度从点运动到点用了4秒，所以，再得出点对应的横坐标为2，然后连接，证明是等边三角形，得，，利用勾股定理求得，即可由求解．
【详解】解：由图2得，时两点停止运动，
点以每秒2个单位速度从点运动到点用了4秒，
，
点运动到点之前和之后，面积算法不同，即时，的解析式发生变化，
图2中点对应的横坐标为2，
此时为中点，点与点重合，
连接，如图，

菱形中，，，
是等边三角形，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了动点函数的图象，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是求出菱形的边长．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）不等式组的解集为
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂、化简二次根式、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握各运算法则和不等式组的解法是解题关键．
（1）先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、化简绝对值和二次根式，再计算乘法与加减法即可得；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
18. 某校为改善教师的办公环境，计划购进A，B两种办公椅共100把．经市场调查：购买A种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元．
（1）求A种，B种办公椅每把各多少元？
（2）因实际需要，购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍．请设计一种购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【答案】（1）种办公椅元把，种办公椅元把
（2）当购买把种办公椅，把种办公椅时，实际所花费用最省，最省的费用为元
【解析】
【分析】（1）设种办公椅元把，种办公椅元把，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购买种办公椅把，则购买种办公椅把，根据题意列出不等式得出．设实际所花费用为元，根据题意列出已阐述，根据一次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设种办公椅元把，种办公椅元把，
依题意得，
解得．
答：种办公椅元把，种办公椅元把．
【小问2详解】
设购买种办公椅把，则购买种办公椅把，
依题意得，
解得．
设实际所花费用为元，则．
，
随着的增大而增大，
当时，取最小值，
最小值，
此时．
答：当购买把种办公椅，把种办公椅时，实际所花费用最省，最省的费用为元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19. 某中学八年级数学社团随机抽取部分学生，对“错题整理习惯”进行问卷调查．他们设计的问题：“你对自己做错的题目进行整理纠错吗？”，答案选项为：A：很少，B：有时，C：常常，D：总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次参与调查的共有 名学生；
（2）请你补全条形统计图，并求出“很少”所对的扇形圆心角的度数；
（3）若该校有3000名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理纠错的学生共有多少名？
【答案】（1）200 （2）见解析；
（3）1080名
【解析】
【分析】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）由题意可知回答“有时”的人数和百分比，用“有时”的人数除以“有时”所占百分比即可得出总人数；
（2）根据总人数乘以“常常”所占百分比即可得到“常常”的人数，补全条形统计图即可，用乘以“很少”所占的百分比求解即可；
（3）用该校学生的人数乘以“总是”对错题进行整理纠错的百分比即可．
【小问1详解】
解：由题意得，
调查的总人数为：（名），
故答案：200；
【小问2详解】
“常常”的人数：（名），
条形统计图如图所示，
“很少”所占的百分比：，
“很少”所对的扇形圆心角的度数，
【小问3详解】
∵（名），
∴“总是”对错题进行整理纠错的学生共有1080名．
20. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定及性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质．
（1）由和平分可得，从而，进而根据菱形的定义得证结论；
（2）由求出，进而，，在中，根据勾股定理构造方程，即可求得的长，根据面积公式即可解答．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
即，
∴，
∵在菱形中，，
∴．
21. 某学习小组在学习了锐角三角函数之后，想要利用课余时间测量公园人工湖岸边一棵树的高度，制定了如下的测量方案．
请根据以上测量数据，带助该学习小组求这棵树的高度．（结果精确到．参考数据：）
【答案】这棵树的高度大约为
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活利用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，由题意得：，，，，利用三角函数分别求出，，即可求出的高度．
【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
由题意得：，，，，
在中，，
，
在中，，
解得：，
，
即这棵树的高度大约为．
22. 如图，内接于，，是的直径，点是延长线上的一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若与交于点，，且，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定及性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，扇形公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）分别求出，即可得，从而证明是的切线；
（2）连接，根据等腰三角形的性质得到，得到，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接，，
是圆的直径，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
点在圆上，
是的切线；
【小问2详解】
解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积的面积扇形的面积．
23. 如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为．
（1）填空：_______，_______，_______；
（2）在图1中，若点在轴上方的拋物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求的值；
（3）如图2，若点在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点的坐标是或或或或或
【解析】
【分析】（1）将点代入，可得，可得抛物线的解析式，令解方程可得点的坐标，即可得的值；
（2）连接，由点的横坐标为得，根据面积和可得四边形的面积，利用二次函数的性质可得其最大值；
（3）分三种情况：作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质以及点的坐标列方程求得的值，即可得点的坐标．
【小问1详解】
将点代入
得，，
解得，
∴抛物线的解析式：，
令，
则，
解得或1，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
连接，
∵轴交抛物线于点，
∴点的纵坐标为，
，
解得或4，
∴，
∵点的横坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴的值为；
【小问3详解】
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点的横坐标为2，
分三种情况：
①当为直角顶点时，，
如图2，过作轴，过作于，过作于，
∴，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点的横坐标为2，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或(；
②当为直角顶点时，，
如图3，过作轴，过作于，过作于，
同理，
∵，点的横坐标为2，
∴，解得或，
∴点的坐标为或，；
③当直角顶点时，，如图4，过作于，过作于，
同理，
∵，点的横坐标为2，
∴，解得或5，
∴点的坐标为或；
综上所述，点的坐标是或或或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用二次函数的性质，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
24. 典型题例：
（1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？
（2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）

迁移应用：
（3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：；
（4）如图4，的三条中线，，相交于点，
①请你写出所有与面积相等的三角形；
②写出与的数量关系式，并说明理由；

拓展应用；
（5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．

【答案】（1）；理由见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）①与面积相等的三角形有，，，，；②，理由见解析；（5）27
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的中线的性质、三角形的面积公式，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．
（1）根据过点A作于点H，根据中心得出，根据三角形的面积公式得出，，即可求出结果；
（2）根据三角形面积的有关计算公式进行求解即可．
（3）根据三角形中线的性质得到，同理可得，证明结论；
（4）①根据三角形的中线的性质、结合图形判断；
②根据高相等的两个三角形的面积比等于底的比证明；
（5）利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得．
【详解】解：（1）；理由见如下：
过点A作于点H，如图所示：

∵是的中线，
∴，
∵，，
∴；
（2）方法一：取的四等分点E、D、F，连接、、，此时分的四个三角形面积相等，如图所示：

∵，
∴；
方法二：取、、的中点E、D、F，连接、、，则此时的四个三角形面积相等，如图所示：

∵D为的中点，
∴，
∴，
同理得：，，
∴；
（3）是的中线，则
，
同理，
，
；
（4）①；
∴与面积相等的三角形有，，，，；
②，
理由如下：，
，
；
（5）在图①中，连接，

，，
，，，
，，
，
，
设，则
，
解得；
在图②中，连接、、，

则，，
设，则
，
解得；
在图③中，连、、、、，
则，，
设，则
，
解得，
．
由可知，，
，
，
解得．
故答案为：27．
课题
测量人工湖岸边一棵树的高度
成员
组长：瑛瑛
组员：小明、小华、小晴
测量工具
测角仪、皮尺
测量示意图及测量数据

说明：线段表示所要测量树的高度．测量者在岸边点B处清晰地看到这棵树倒映在平静的湖面上，并测得该树顶端C的仰角为，树的顶端C在水中的倒影D的俯角为．测量者的眼睛距湖面的高度，点B，F在同一水平直线上，，点A，B，C，D，F在同一平面内．
实施说明
测量树的顶端在水中倒影的俯角，测得的角度有一点误差，结果的误差就会很大，经多次测量取其平均值．（光线的折射忽略不计）