2024年四川省德阳市中江县九年级中考三模数学试题（学生版+教师版）

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说明：
1．本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷．第I卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，全卷共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将答题卡交回．
2．本试卷满分150分，监测时间为120分钟．
第I卷选择题（36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）
1. 下列各数中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义、二次根式的化简、求算术平方根以及分母有理化，把每个选项依次化简即可得到答案．
【详解】A．，不是最简二次根式，不符合题意；
B． ，不是最简二次根式，不符合题意；
C． ，不是最简二次根式，不符合题意；
D． 是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，完全平方公式的应用．利用积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，完全平方公式分别计算，即可得到答案．
【详解】解：A、，本选项符合题意；
B、，不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意．
故选：A．
3. 生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中，n是一个负整数，n的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可解答．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键．
4. 如图，已知直线，直线l与直线AB、CD相交于点，E、F，将l绕点E逆时针旋转40°后，与直线AB相交于点G，若∠GEC=80°，那么∠GFE=（ ）
A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】求出∠FED，根据平行线的性质得出∠GFE=∠FED，即可得出选项．
【详解】∵将l绕点E逆时针旋转40°后，与直线AB相交于点G，
∴∠GEF=40°，
∵∠GEC=80°，
∴∠FED=180°﹣40°﹣80°=60°，
∵，
∴∠GFE=∠FED=60°，
故选∶A．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质得出∠GFE=∠FED是解此题的关键．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 处于中间位置的数为这组数据的中位数
B. 中间两个数的平均数为这组数据的中位数
C. 要想了解一批电磁炉的使用寿命，适合采用全面调查的方法
D. 公司员工月收入的众数为3500元．说明该公司中月收入3500元的员工最多
【答案】D
【解析】
【详解】【分析】根据中位数的定义、调查方式的选择、众数的概念逐项进行判断即可得.
【详解】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），故A、B本选项错误；
要想了解一批电磁炉的使用寿命，适合采用抽样调查的方法，故C选项错误；
公司员工月收入的众数为3500元．说明该公司中月收入3500元的员工最多，正确，
故选D.
【点睛】本题了中位数定义、众数的定义、调查方式的选择，熟练掌握中位数、众数的定义，根据具体问题确定调查方式是解题的关键.
6. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些小球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 以上均不正确
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．设袋子中黄球有x个，根据摸出黄球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．
【详解】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得：
，
解得：，
∴袋子中黄球的个数最有可能是5个，红球有（个）
故选：C．
7. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题是圆锥的计算，主要考查了圆锥的侧面积和底面积公式，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
设出圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积和底面积之间的倍数关系求得圆锥的底面半径即可．
【详解】解：设圆锥的底面半径为，
根据题意得：，
解得：．
故选：B．
8. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的大小是（ ）

A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAC＝∠BAC−∠BAD计算即可得解．
【详解】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
9. 在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可．
本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键．
【详解】A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；
B 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；

C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；

D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意，
故选D.
10. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的解．先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以得，，
解得，
∵x为正数，
∴，解得．
∵，
∴，即．
∴m的取值范围是且．
故选：D．
11. 如图，将ΔABC沿BC翻折得到ΔDBC，再将ΔDBC绕C点逆时针旋转60°得到ΔFEC，延长B D交EF于H，已知∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，AC＝1，则四边形CDHF的面积为（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，
∴BC=2AC=2，
∴AB= ，
由翻折、旋转的性质知：AC=CD=CF=1，∠ACB=∠BCD=∠FCE=60°，
∴∠ACF=180°，
即点A、C、F三点共线，CE=CB=2，EF=BD=AB=，∠E=∠ABC=30°，
∴DE=2﹣1=1．
在Rt△DEH中，
DH=DE=，
S四边形CDHF=S△CEF﹣S△DEH=×1×﹣×1×=．
故选C．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点均在反比例函数的图象上，点均在轴的正半轴上，且均为等腰直角三角形，分别为以上等腰直角三角形的底边，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2024
【答案】A
【解析】
【分析】过点分别向x轴作垂线，交x轴于点，构造等腰直角三角形，利用反比例函数建立方程，可求出，…，从而找出规律即可．
【详解】如图，过点分别向x轴作垂线，交x轴于点，

∵点在反比例函数的图象上，且构造成等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
令，则有，
解得（舍去），，
则
同理，
解得，
则，
根据规律可得
故选A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，反比例函数的性质，过点分别向x轴作垂线，构造等腰直角三角形是本题的关键．
第Ⅱ卷非选择题（114分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分）
13. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取，再运用完全平方公式即可分解因式．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了综合运用提取公因式和公式法分解因式，熟练掌握公式是解题的关键．
14. 已知一组数据10，15，10，x，18，20的平均数为15，则这组数据的方差为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查算术平均数、方差，解题的关键是熟练掌握算术平均数的定义与方差的计算公式．先根据平均数为15列出关于x的方程，解之求得x即可知完整的数据，再根据方差公式计算可得．
【详解】解：∵数据10，15，10，x，18，20的平均数为15，
∴，
解得：，
则这组数据为10，15，10，17，18，20，
∴这组数据的方差是：
，
故答案为：．
15. 如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形，、为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角，坡长米，背水坡的坡度：（为与的比值），则背水坡的坡长为______米
【答案】12
【解析】
【分析】根据题意求得，再根据坡度正切定义求出，进而利用求解即可．
【详解】解：由题意，，，
∵ ，米，
∴米，则米，
∵的坡度，
∴，
∴，
∵，
∴米，
故答案为：12．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟记特殊角的三角函数值并正确求解是解答的关键．
16. 如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为_____．
【答案】4．
【解析】
【详解】解：如图，连接OP，OC，PC，则有OP≥OC－PC．
当O、P、C三点共线时，OP=OC－PC．
∵∠APB=90°，OA=OB，
∴点P在以AB为直径的圆上，
∴⊙O与⊙C相切时，OP取到最小值．
设⊙O与⊙C切点为P′，则OP′=OC－CP′=2，
∴此时AB=2OP′=4．
故答案为4．
17. 某学校科学兴趣小组为了了解自己育种的树苗的生长情况，随机抽取株树苗测量其高度，统计结果如表：
由此估计这批树苗的平均高度为______．
【答案】53
【解析】
【分析】根据平均值的计算方法进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得估计这批树苗的平均高度为：，
故答案为：53．
【点睛】本题考查平均值，解题的关键是熟练掌握平均值的计算方法．
18. 如图，将抛物线在轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图像当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 (a,b,c是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．通过解方程得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象沿x轴翻折所得图象的解析式为，然后求出直线与相切b的值，直线过A和过B点所对应的b的值，再利用图象可判断直线与此图象有且只有两个公共点时b的取值范围．
【详解】解：当时，，解得，则，
，
则顶点坐标为，
把图象沿x轴翻折所得图象的解析式为，
如图，
当直线与相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时有两个相等的实数解，
方程整理得，，
解得，
∴当时，直线与图像恰有两个公共点，
当直线过时，，解得，
当直线过时，，解得，
所以，当时，直线与此图象有且只有两个公共点．
综上可知，当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7个小题，满分90分）
19. （1）
（2），再选一个合适的的值代入求值，其中且为整数．
【答案】（1）；（2），时，原式．
【解析】
【分析】本题主要考查了含特殊角的实数运算、分式化简求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零次幂、负整数指数幂、平方根以及乘方的性质求解即可；
（2）先化简分式，在根据分式有意义的条件选择x的值代入求值即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式，
要是分式有意义，则，
，原式．
20. 某网络约车公司近期推出了“520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”分布情况，老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表．
根据统计表提供的信息，解答下面的问题：
（1）①表中______：②样本中“单次营运单程”不超过15公里的频率为______；
（2）请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数；
（3）为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机（2男2女）成立交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出至少有1名男司机的概率．
【答案】（1）①48；②0.73；
（2）超过20公里的次数是750次；
（3）图形见解析，（至少有1名男生．
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法∶利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率，也考查了统计图和统计表，要熟练从统计图表中得出解题所需数据．
(1)①用总数减去其他的频数就能直接得出a的值；②用第一、二、三组的频数和除以总数量可得；
(2)用总数量乘以样本中“单次营运里程”超过20公里的次数所占比例即可得；
(3)画列表法或树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽到至少有1名男司机的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：①；
②，
故答案为①48；②0.73
【小问2详解】
（次）
【小问3详解】
列表法如下：
总共有12种等可能性结果，其中符合条件的有10种．
（至少有1名男生．
21. 如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABM=2∠BAM．
（1）求证：AG=BG；
（2）若点M为BC的中点，同时S△BMG=1，求三角形ADG的面积．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）4．
【解析】
【分析】（1）由菱形的对角线平分一组对角，得出∠ABD=∠CBD，再由∠ABM=2∠BAM，得出∠ABD=∠BAM，即可得出结论．
（2）由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABM=2∠BAM，
∴∠ABD=∠BAM，
∴AG=BG；
（2）∵AD∥BC，
∴△ADG∽△MBG，
∴，
∵点M为BC的中点，
∴=2，
∴=4，
∵S△BMG=1，
∴S△ADG=4．
【点睛】考点：菱形的性质．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，已知点，点.
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）把直线沿轴负方向平移2个单位后得到直线，直线与双曲线交于、两点，当时，求的取值范围.
【答案】（1）∴直线和双曲线的解析式分别为：和；（2）的取值范围是：或.
【解析】
【分析】（1）把点B 代入双曲线求出a的值，即可得到双曲线的解析式；把点A代入双曲线求出m的值，确定A点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，即可解答；
（2）先求出y3的解析式，再解方程组求出点D点E的坐标，即可解答．
【详解】（1）∵
又∵在双曲线上，即，
又∵点双曲线上，即，即，，
∵，在直线上，
∴，解得，
∴直线和双曲线的解析式分别为：和.
（2）∵直线是直线沿轴负方向平移2个单位得到，
∴，
解方程组：得，或
∴当，，
∴当时，的取值范围是：或.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解决本题的关键是求出直线和双曲线的解析式．
23. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为P盒．
（1）当时，P等于______；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？
【答案】（1）400；
（2）当时，取最大值，最大值为8750元；
（3）小红错误，理由见详解．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到与之间的函数关系式，把代入解析式计算即可；
（2）根据每盒利润销售盒数总利润可得关于的关系式，由二次函数性质可得答案；
（3）根据题意，在正确的的范围中求出日销售额的最大值，判断小强是否正确，根据题意列出不等式，结合的范围求出不等式的解集，判断小红是否正确．
【小问1详解】
解：由题意可得，
，
即每天的销售量（盒与每盒售价（元之间的函数关系式是，
当时，，
故答案为：400．
【小问2详解】
解：由题意可得，
，
由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，
，
即，解得．
当时，取得最大值，此时，
答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润（元最大，最大利润是8750元；
【小问3详解】
解：小强：，
设日销售额为元，
，
当时，值最大，此时，
当时，值最大，此时，
小强正确．
小红：当日销售利润不低于8000元时，
即，
，解得：，
，
当日销售利润不低于8000元时，．
故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，．
24. 如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．

（1）求证：是切线；
（2）若，求的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）连接OC，证明，即可得到结论；
（2）连接AC，证明，从而可得，再代入求值即可；
（2）连接，证明，从而可得，，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
【小问1详解】
证明：连接，

∵点C是的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴半径，
∴是切线；
【小问2详解】
连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
连接，

∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定、切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
25. 如图，已知抛物线：与轴交于点，，（在的左侧），与轴交于点，对称轴是直线，是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）有可能是等边三角形吗？若是，请求点P的坐标，若不是，请说明理由；
（3）过点作轴的垂线与线段交于点，垂足为点，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）不可能是等边三角形，理由见解析
（3）点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）把点代入中，再由对称轴是直线列方程，两个方程组成方程组可解答；
（2）当是等边三角形时，点在的垂直平分线上，所以取的中点，过点作轴交抛物线于点，连接，计算，可知不可能是等边三角形；
（3）分两种情况：①当时，根据的长列方程可解答；②当，过点作轴于，证明，可得结论．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：不可能是等边三角形，理由如下：
取的中点，过点作轴交抛物线于点，连接，
，则，
令，则，，
，
，
不可能是等边三角形；
【小问3详解】
解：设点的坐标为，则，，
分两种情况：
①如图2，，
，，
，
，
，，
，
，
解得：，，
；
②如图3，，则，
过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
解得：（舍，，
；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法，等边三角形的判定，相似三角形性质和判定，三角函数等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决以，，为顶点的三角形与相似的情况．
高度
株数
组别
“单次营运里程x”（公里）
频数
第一组
72
第二组
a
第三组
26
第四组
24
第五组
30
男1
男2
女1
女2
男1
男1，男2
男1，女1
男1，女2
男2
男2，男1
男2，女1
男2，女2
女1
女1，男1
女1，男2
女1，女2
女2
女2，男1
女2，男2
女2，女1