湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（学生版+教师版）

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时量：120分钟 满分：150分 命题单位：安乡五中 审题单位：常德市第七中学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式求出集合，再求交集可得答案.
【详解】，则.
故选：C.
2. 等差数列的首项为2，公差不为0，若成等比数列，则前3项的和为（ ）
A. B. C. 18D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】依题意有，，设的公差为d，代入可求得d，从而根据等差数列的前n项和公式求得结果.
【详解】等差数列中，根据题意，，
即，
解出（舍去），，，
所以数列前3项的和为：
.
故选：A.
3. 若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇函数的性质，结合单调性，分情况讨论可得答案.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，
显然时，满足；
因为在上单调递增，，所以在上单调递增，，
当时，不等式等价于，
因为在上单调递增，所以；
当时，不等式等价于，
因为在上单调递增，所以；
综上可知不等式的的取值范围是.
故选：B
4. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由三角恒等变换公式化简，化为正切的齐次式，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，
则.
故选：D
5. 在棱长为2正四面体中，正四面体的内切球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据正四面体的性质求出正四面体的高；再利用等体积法求出内切球的半径；最后根据球的表面积公式即可解答.
【详解】
正四面体底面的中心记为点，连接，.
由正四面体的性质可得：面.
因正四面体棱长为2，
所以底面三角形的高为，
则，
所以正四面体的高.
设正四面体内切球的半径为，球心为.
由等体积法可得：，
即，解得：.
所以正四面体的内切球表面积为.
故选：B.
6. 已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A. 9B. 2C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】设，，根据求出，再根据得到，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.
【详解】依题意设，，
由，所以，则，
又，且，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
即的最大值为.
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由赋值法求解即可.
【详解】令，则①，
令，则②，
②减①可得：.
故选：A.
8. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过4次而接通电话的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出第一，二，三和四次接通电话的概率，由互斥事件的概率加法公式求解即可.
【详解】第一次接通电话的概率为，第二次接通电话的概率为，
第三次接通电话的概率为，
第四次接通电话的概率为，
所以拨号不超过三次就接通电话的概率为.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. “长沙沙水水无沙，常德德山山有德”2024年3月国家主席习近平走进湖南长沙和常德两个城市，感受了常德和长沙两地的好风光.从气象意义上从冬季进入春季的标志为：“连续5天日平均温度不低于18”.现有常德和长沙两地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位）满足以下条件：
常德：5个数据的中位数是20，众数是18；
长沙：5个数据有1个是27，平均数是21，方差是10.2.
则下列说法正确的是（ ）
A. 进入春季的地区有2个B. 长沙地区肯定进入了春季
C. 两地肯定还未进入春季D. 不能肯定常德地区进入了春季
【答案】AB
【解析】
【分析】分析得到常德地区5个数据从小到大排列为，得到结论，再分析出长沙地区连续5天日平均温度大于18℃，得到结论.
【详解】常德：5个数据的中位数是20，众数是18，
则5个数据中必有2个18，1个20，设剩余的两个数为，
则将5个数据从小到大排列为，
显然满足连续5天日平均温度不低于18，故常德地区进入春季；
长沙：5个数据有1个是27，平均数是21，方差是10.2.
设5个数据依次为，
则且，
即，，
由于数据都是正整数，若中有数据小于等于时，
此时，不合要求，
故中数据均大于等于，显然满足连续5天日平均温度不低于18，
故长沙地区进入春季，故AB正确，CD错误.
故选：AB
10. 已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（ ）
A. 当实数变化时，直线恒过定点
B. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为
C. 当时，圆关于直线对称
D. 当时，直线与圆没有公共点
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，变形后得到直线恒过；B选项，先根据直线平行得到，进而利用两直线距离公式求出答案；C选项，求出圆心，代入检验得到圆心不在直线上，从而C错误；D选项，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较后得到D正确.
【详解】A选项，变形为，
，解得，
故当实数变化时，直线恒过定点，A正确；
B选项，当直线与直线平行时，，
故直线，
故两条直线的距离为，B错误；
C选项，当时，直线，
，故圆心为，
其中，故圆心不在上，
故圆不关于直线对称，C错误；
D选项，当时，，
圆心到直线的距离，
的半径为，
由于，故直线与圆没有公共点，D正确.
故选：AD
11. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 只有一个零点B. 在处取得极大值为
C. D. 若在区间上恒成立，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：令分析求解即可判断；对于B：求导，利用导数判断的单调性和极值；对于C：根据的单调性结合分析判断；对于D：分析可知原题意等价于在内恒成立，设，利用导数判断的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.
【详解】对于选项A：令，解得，
可知只有一个零点，故A正确；
对于选项B：由题意可知：的定义域为，，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；

可知函数在处取得极大值也是最大值，故B正确；
对于选项C：因为函数在上单调递减，且，
由，可得，故C错误；
对于选项D：若，则，
原题意等价于在内恒成立，则，
设，定义域为，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
可知的最大值为，所以，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，根据直线垂直的性质，即可得出答案.
【详解】因为，所以，
，，
曲线在点处的切线斜率为，
又因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以
故答案为：.
13. 设，，为虚数单位，若是关于的二次方程一个虚根，则__________．
【答案】7
【解析】
【分析】由代入方程，根据复数相等可得答案.
【详解】因为是关于的二次方程一个虚根，
所以，
即，可得，
解得，
则.
故答案为：7.
14. 设抛物线C：的焦点为F，准线为，斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A、B两点，若，则抛物线C的方程为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】设直线方程为，联立抛物线的方程可得，再由抛物线的定义表示出，解方程即可得出答案.
【详解】抛物线C：的焦点为，
则过焦点且斜率为的直线方程为：，
联立，消去可得：，,
设A、B两点的坐标分别为，
则，
由抛物线的性质可得：，
代入化简可得：，解得：.
则抛物线C的方程为:.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中已知.
（1）求；
（2）若面积为，求的周长的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化化简，即可得到结果；
（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理边角互化可得，而，
即，即，所以，，
即，则，.
【小问2详解】
由（1）可知，则，
因为面积为，即，所以，
则，即，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的周长的最小值为.
16. 近些年来，由于手机与电脑的影响，学生视力问题逐渐突出.习近平总书记作出重要指示，呵护好孩子的眼睛就是呵护孩子的未来.为了落实这一指示，某学校调查了学生的视力情况，随机抽取了200名学生，男生80人，女生120人，记录了他们的视力情况，结果如下表：
（1）是否有90％的把握认为近视与性别有关(结果精确到0.001)；
（2）从120名女生中按是否近视，采用分层抽样的方法抽取12人，再从12人中随机抽取4人做进一步调查，记抽到一名近视的得分，抽到一名不近视的得1分，设随机变量X表示抽取的4名学生的总得分，试求X的分布列与数学期望.
附：独立性验临界值表
公式，其中．
【答案】（1）见解析 （2）分布列见解析；.
【解析】
【分析】（1）由给定条件求出的观测值，再比对临界值表即可得解；
（2）确定的所有可能值，再分别求出各值对应的概率即可作答.
【小问1详解】
补全列联表如下：
据列联表中的数据可得
，
根据临界值表可知，没有的把握认为近视与性别有关.
【小问2详解】
由分层抽样可知，抽取的12人中，近视的有人，不近视的有人，
所以的可能取值为，则
，，
，，，
所以的分布列如下：
于是.
17. 如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形．
（1）求证：直线平面；
（2）若，，，求平面和平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知可得，，由线面垂直的判定定理可得结果；
（2）以C为坐标原点，所在直线分别为x，y轴，过点C且与平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量法求面面角可得结果.
【小问1详解】
∵为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，∴,
∵四边形为矩形，平面，∴平面，
又平面，∴，
又∵平面，平面，
∴平面.
【小问2详解】
以C为坐标原点，所在直线分别为x，y轴，过点C且与平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
所以，
所以平面和平面夹角的余弦值.
18. 已知双曲线过点，且离心率为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点.问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，该定点为.
【解析】
【分析】（1）根据题意，设，求得，得到双曲线的方程可化为，将点在双曲线上，求得，即可求解；
（2）假设存在点，设直线的方程为，联立方程组，求得，化简得到，当，得到为定值，即可求解.
小问1详解】
由题意，双曲线的离心率为，可得，
设，则，所以，
所以双曲线的方程可化为，
因为点在双曲线上，所以，解得，
所以双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
设，假设存在点，
易知直线的斜率存在，且不为0，设其方程为，
联立双曲线方程与直线方程，得，消去并整理，
得，
则，
且，
因为
，
，
所以当，即时，或
，
故存在定点，使直线与斜率之积为定值．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
19. 如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．若数列还满足：数列项数有限为；则称数列为“阶可控摇摆数列”.
（1）若某6阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项；
（2）若某13阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
【答案】（1）或
（2）或
（3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用“归化数列”的条件可得，从而，以后各项依次可写出；
（2）由13阶“归化数列”得，当时，，当时，，由此可得的通项公式；
（3）根据数列为“阶可控摇摆数列”求得，再利用数列的前项和得，然后推得与不能同时成立，即可判断.
【小问1详解】
设成公比为的等比数列，显然，
则有，
得，解得，由，
得，解得，
所以数列或为所求6阶“归化数列”；
【小问2详解】
设等差数列的公差为，由，
所以，所以，即，
当时，与归化数列的条件相矛盾，
当时，则，
所以，即，
所以，
当时，由，
所以，即，
所以，
故或；
【小问3详解】
不能，理由如下：
记中所有非负项之和为，负项之和为，
因为数列为“阶可控摇摆数列”，则，得，
故，所以，
若存在，使得，即，
则，
且，
假设数列也为“阶可控摇摆数列”，记数列的前项和为，
则，
因为，所以，
所以；
又，则，
所以；
即与不能同时成立.
故数列不为“阶可控摇摆数列”.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义问题，应根据定义得到数列满足的递推关系，再利用常见的数列通项公式求法（如公式法、累加法、待定系数法等）求得数列通项公式和前项和，最后在通项和前项和的基础上讨论数列的性质.近视
不近视
男生
50
30
女生
70
50
P
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
近视
不近视
合计
男生
50
30
80
女生
70
50
120
合计
120
80
200
0
2
4