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    浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题(学生版+教师版)

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    1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    4.本试卷主要考试内容:高考全部内容.
    一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1 已知集合,则( )
    A. B. C. D.
    2. 双曲线的渐近线方程为( )
    A B. C. D.
    3. 已知向量,若,则的值为( )
    A. B. C. D.
    4. 为虚数单位,则( )
    A. B. iC. D. 1
    5. 已知正数x,y满足,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    6. 圆台的上底面面积为,下底面面积为,母线长为4,则圆台的侧面积为( )
    A. B. C. D.
    7. 对于数列,设甲:为等差数列,乙:,则甲是乙的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    8. 袋子中装有5张编号分别为1,2,3,4,5的卡片,从袋子中随机选择3张卡片,记抽到的3张卡片编号之和为,编号之积为,则下列说法正确的是( )
    A. 是3的倍数的概率为0.4B. 是3的倍数的概率为0.6
    C. 是3的倍数的概率为0.2D. 是3的倍数的概率为0.8
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9. 若直线与圆相交于两点,则的长度可能等于( )
    A. 3B. 4C. 5D. 6
    10. 已知,则下列等式成立的是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    11. 下列定义在上的函数中,满足的有( )
    A B.
    C. D.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 的展开式中的系数为______.
    13. 已知过椭圆右顶点作直线交轴于点,交椭圆于点,若是等腰三角形,且,则椭圆的离心率为______.
    14. 若不等式对任意满足的正实数x,y,z均成立,则实数的最大值为______.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 已知函数.
    (1)求函数在处切线方程;
    (2)求函数的单调区间和极值.
    16. 已知盒中有2个黑球和2个白球,每次从盒中不放回地随机摸取1个球,只要摸到白球就停止摸球.
    (1)求摸球三次后刚好停止摸球的概率;
    (2)记摸球的次数为随机变量,求的分布列和期望.
    17. 如图,在正三棱柱中,为侧棱的中点.
    (1)求证:平面平面.
    (2)若,求平面与平面所成二面角的大小.
    18. 如图,抛物线是抛物线内一点,过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线,设与抛物线相交于点与抛物线相交于点,,当恰好为线段的中点时,.

    (1)求抛物线的方程;
    (2)求的最小值.
    19. 对于正整数m,n,存在唯一的自然数a,b,使得,其中,我们记.对任意正整数,定义的生成数列为,其中.
    (1)求和.
    (2)求的前3项.
    (3)存在,使得,且对任意成立.考虑的值:当时,定义数列的变换数列的通项公式为当时,定义数列的变换数列的通项公式为若数列和数列相同,则定义函数,其中函数的定义域为正整数集.
    (ⅰ)求证:函数是增函数.
    (ⅱ)求证:.

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