广东省湛江市廉江实验学校2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试卷

这是一份广东省湛江市廉江实验学校2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了下列说法中错误的是等内容，欢迎下载使用。
（满分为120分，考试时间为90分钟）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中错误的是（ ）
A．必然事件发生的概率是1
B．不可能事件发生的概率是0
C．概率很小的事件不可能发生
D．随机事件发生的概率大于等于0、小于等于1
3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为( )
A．B．C．D．
4．在直角坐标系中，如果⊙O是以原点为圆心，以10为半径的圆，那么点的位置（ ）
A．在⊙O内B．在⊙O外C．在⊙O上D．不能确定
5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
6．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（ ）
A．B．
C．D．
7．若反比例函数y＝的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜－2B．k＞－2C．k＞－2且k≠0D．k＞2
8．如图，是内接四边形的一个外角，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，，是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得，则下列选项不成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+1的顶点在直线y＝kx+1上，对称轴为直线x＝1，有以下四个结论：①ab＜0，②b＜，③a＝﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确的结论是( )
A．①②③B．①③④C．①④D．②③
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从B，C，D三个出口中恰好在C出口出来的概率为（ ）
12．已知一元二次方程的一个根为，另一根 ， ． ， ．
13．如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 cm．（结果用π表示）
14．如图，⊙O直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM：OC=3：5，则弦AB的长为 ．
15．如图，将已知抛物线向右平移2个单位得到抛物线的图象，则阴影部分（抛物线向右平移时在x轴下方扫过的部分）的面积为 ．
．
16．如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若点P是第2021段抛物线的顶点，则点P的坐标是 ．
．

三．解答题（一）（本大题共3小题，每道题6分，共18分）
17．解方程： -4x+3=0；
18.如图，．求证．

19．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2；
（3）直接写出下列点的坐标：A1 ，B2 ．
四．解答题（二）（本大题共4小题，每道题8分，共32分）
20.已知：关于的方程
(1)求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根．
(2)已知求出的值．
21．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?
22. 如图，直线与双曲线相交于两点，与y轴相交于点C．
(1)求双曲线的解析式以及B点的坐标；
(2)的值是：_______，________；
(3)若点D与点C关于x轴对称，求的面积．
23．“2022卡塔尔世界杯”已正式拉开战幕，足球运动备受人们的关注，某中学对部分学生就足球运动的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅统计图． 根据图中信息回答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ；
(2)若该中学共有学生 1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 人；
(3)若从足球运动达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人解说一场足球赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
五．解答题（三）（本大题共2小题，24题10分，25题12分，共22分）
24．如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于．
(1)求证：与相切；
(2)若，．
①求的半径；
②求的长度．
25．如图，抛物线经过点A（0，3），B（－1，0）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
(3)在抛物线上是否存在点P，使△PBD是以BD为直角边的直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
廉江市实验学校2023-2024学年度第一学期期末考试
初三级数学试题
（满分为120分，考试时间为90分钟）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．D
【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】解：A、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、此图形是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题需先根据概率的意义和求法分别对每一项进行分析，即可求出答案．
【详解】A．∵必然事件发生的概率为1，故本选项正确；
B．∵不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；
C．∵ 概率很小的事件也有可能发生，故本选项错误；
D．∵随机事件发生的概率介于0和1之间，故本选项正确．
故选C．
【点睛】本题考查了概率的意义，在解题时要能根据概率的意义确定每一类事件发生的概率是解答本题的关键．
3．A
【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数,即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：A．
【点睛】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数．
4．C
【分析】根据两点间的距离公式求出AO的长，然后与⊙O的半径比较，即可确定点A的位置．
【详解】解：∵点，
∴，
∴点A在⊙O上，
故选：C．
【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
5．C
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
故选：C．
6．D
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是：，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
7．B
【分析】先根据反比例函数的性质得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：反比例比例函数的图象在其每一象限内，随的增大而减小，
，解得．
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
8．C
【分析】根据圆内接四边形对角互补即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题关键．
9．B
【分析】根据题意，已知一个公共角相等，所以再添加一组角相等，或者夹这个角的两边对应成比例即可判断两三角形相似，据此即可求解．
【详解】解：已知，
A. ，两边成比例，夹角相等，可证明，不符合题意，
B. ，不能证明，符合题意，
C. 加上条件 ，可证明，不符合题意，
D. 加上条件，可证明，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
10．B
【分析】根据二次函数图象的开口方向和对称轴即可判断①，将x=-1代入即可判断②，求出抛物线的顶点坐标，将其代入一次函数解析式中即可判断③，根据图象即可判断④．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴ab＜0，所以①正确，符合题意；
②∵x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+1＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
∴﹣﹣b+1＜0，
∴b＞，所以②错误，不符合题意；
③当x＝1时，y＝a+b+1＝a﹣2a+1＝﹣a+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a+1），
把（1，﹣a+1）代入y＝kx+1得﹣a+1＝k+1，
∴a＝﹣k，所以③正确，符合题意；
④当0＜x＜1时，ax2+bx+1＞kx+1，
即ax2+bx＞kx，
∴ax+b＞k，所以④正确，符合题意．
综上：正确的是①③④
故选：B．
【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．C
【分析】本题考查了概率公式求概率，从所有结果中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：从A口进入，出口有三种情况，其中从C口出的只有1种结果，
∴从三个出口中恰好在C出口出来的概率为
12．【分析】把x=2代入方程,即可求得实数c的值，再根据根与系数的关系即可求出
【详解】把x=2代入方程,得
22-6×2+c=0
解得c=8
∵a=1，b=-6，
∴x1+x2=−=6
∴4
故答案是:4,8
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键
13．
【分析】先求出圆锥的底面半径，然后根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式进行求解即可．
【详解】设底面圆的半径为rcm，
由勾股定理得：r==6，
∴2πr=2π×6=12π，
故答案为12π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系．
14．16．
【详解】解：连接OA，
⊙O的直径CD=20，
则⊙O的半径为10，
即OA=OC=10，
又∵OM：OC=3：5，
∴OM=6，
∵AB⊥CD，垂足为M，
∴AM=BM，
在Rt△AOM中，AM==8，
∴AB=2AM=2×8=16，
故答案为：16．
15．6
【分析】连接AB，CD，作BE⊥x轴于E，由题意知：四边形ABCD是平行四边形，且，根据解析式得到BE=3，即可求出．
【详解】如图，连接AB，CD，作BE⊥x轴于E，
由题意知：四边形ABCD是平行四边形，且，
∵，
∴点B坐标为（-1，-3），
∴BE=3，
∵AD=2，
∴，
故答案为：6．
．
【点睛】此题考查抛物线平移的性质，平行四边形的性质，点到坐标轴的距离，将不规则图形转化为规则图形进行计算是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据题意找出每一段的顶点坐标，从而找出顶点坐标的规律．
【详解】解：由题意可知：
第1段抛物线的顶点坐标为：，
第2段抛物线的顶点坐标为：，
第3段抛物线的顶点坐标为：，
第4段抛物线的顶点坐标为：，
第段抛物线的顶点坐标：当为奇数，；当为偶数，；
故第2021段抛物线的顶点为：，即．
故答案为：．
三．解答题（一）（本大题共3小题，每道题6分，共18分）
17. 【分析】利用因式分解法求解即可
【详解】解：（1）x2-4x+3=0，
∴（x-1）（x-3）=0，
解得：x1=1，x2=3；
18. 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据，得到，结合，即可得证．掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，即：，
又，
∴．
19. 【分析】（1）先根据网格找到A、B、C的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）先根据网格找到A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）根据（1）（2）说画图形求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）由图可知，的坐标为（-3，-2），的坐标为（3，-1），
故答案为：（-3，-2）；（3，-1）．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转变化，轴对称变化，画旋转图形和轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
四．解答题（二）（本大题共4小题，每道题8分，共32分）
20. (1)见解析
(2)
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程．
（1）由根的判别式可得答案；
（2）由，根据，计算可得．
【详解】（1）证明：在中，
，
，
方程总有两个实数根；
（2）解：，，
，即，
解得：．
21．(1)该种商品每次降价的百分率为
(2)第一次降价后至少要售出该种商品20件
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据数量关系列出方程或不等式是解决问题得关键．
（1）设该种商品每次降价的百分率为，根据“两次降价后的售价原价”，列出方程，解方程即可得出结论；
（2）设第一次降价后售出该种商品件，则第二次降价后售出该种商品件，根据“总利润第一次降价后的单件利润销售数量第二次降价后的单件利润销售数量”表示出总利润，再根据总利润不少于3210元，即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，或（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为．
（2）设第一次降价后售出该种商品件，则第二次降价后售出该种商品件，
第一次降价后的单件利润为：（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：（元/件）．
依题意得：，
解得：，
即：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品20件．
22．(1)y＝，B点的坐标为（2，－1）
(2)m、n的值分别为：－1，1
(3)3
【分析】（1）将A、B的坐标代入y＝，即解答；
（2）将A、B点坐标代入即可得出m、n的值；
（3）将m、n的代入直线AB的解析式即可得到点C和点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出△ABD的面积．
【详解】（1）（1）把x＝－1，y＝2；x＝2，y＝b代入y＝，得：
2＝，b＝，
解得：k＝－2，b＝－1
∴双曲线为：y＝，
即B点的坐标为（2，－1）．
（2）由（1）得出B点的坐标为（2，－1），
将A、B点坐标代入中，可得
，解得
即m、n的值分别为：－1，1．
（3）将m、n的代入直线AB的解析式为y＝－x＋1．
∴直线AB与y轴的交点C的坐标为（0，1）．
∴D点的坐标为（0，－1），
∴△ABD的面积为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识进行求解是解决本题的关键．
23. (1)50， 7
(2)990人
(3)
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图：
（1）由“基本了解”的人数及其所占百分比即可求出总人数，总人数减去前三种了解程度的人数即可求出m的值；
（2）用总人数1500乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：接受问卷调查的学生共有：人，
不了解的人数有：人，
故答案为： 50， 7；
（2）解：根据题意得：
(人)，
答：估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为990人；
（3）解：由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 ．
五．解答题（三）（本大题共2小题，24题10分，25题12分，共22分）
24. (1)见解析
(2)①的半径4，②
【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理．
（1）连接，根据圆周角定理得出，再根据平行线的性质得出，即可求证与相切；
（2）①设的半径为r，则，，根据勾股定理可得，列出方程求解即可；
②过点O作于点F，用等面积法求出，进而得出，最后根据垂径定理可得．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴与相切；
（2）解：①设的半径为r，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴的半径4；
②过点O作于点F，
∵，，
∴，
则，
解得：，
根据勾股定理可得：，
∵，
∴．
25. (1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）待定系数法求解二次函数解析式即可；
（2）化成顶点式，可得坐标，勾股定理可求得长度；
（3）如图，作，根据，，，设，根据，求解值，进而可得点坐标；设直线的解析式为，待定系数法求解析式为，进而可设过点且平行于直线的解析式为，代入点，计算求解后可得解析式，然后与二次函数解析式联立求解即可．
【详解】（1）解：将A（0，3），B（－1，0）代入中得，
解得，a＝－1，c＝3，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：∵，
∴点D的坐标是（1，4），点E的坐标是（1，0），
∴DE＝4，BE＝2，
∴，
∴BD的长是．
（3）解：存在，点P坐标为或 ．
如图，作，
由题意知，
∵，，
∴，
∴，
设，
则，
解得，
∴；
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设过点且平行于直线的解析式为，
将点代入得，
解得，
∴过点且平行于直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴；
综上所述，存在点P，使△PBD是以BD为直角边的直角三角形，点坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，顶点式，勾股定理，正切值，二次函数与特殊三角形的综合．解题的关键在于熟练掌握二次函数的知识并灵活运用．