2024年浙江省杭州市九年级中考数学三模冲刺训练试题

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1．2024的倒数是（ ）
A．2024B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查相反数，掌握只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：2024的相反数是，
故选C．
2．如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可．
【详解】
解：该直口杯的主视图为
故选：D．
3. 第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000平方米，
数据216000用科学记数法表示为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把一个大于10的数记成的形式，其中，n为正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【详解】解：根据科学记数法的概念可得，
，
故选：A．
已知直线，将一块含角的直角三角板（）按如图所示的方式放置，
并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：，，
，
故选：C．
如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离为，
则这两棵树之间的坡面的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】是的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出的长．
【详解】解：如图，，，m，
∴AB=2BC，
∴，即，
解得：m，
∴m，
故选：C．
6. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程的定义及根的判别式与根的关系．根据一元二次方程的定义得的系数不为0，根据一元二次方程有实数根，可得，列出不等式，求这两个不等式的公共解集即可得出答案．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，即，
∵原方程有实数根，
∴，
解得，
∴实数的取值范围是且，
故选：C ．
7 . 如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况．实验数据记录如下表：
下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧测力计的示数与支点O的距离之间关系的图像如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
【答案】C
【分析】仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并平滑曲线连接这些点，即可画出函数图像；观察所画图形，回想常见几种函数的图像特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数关系式；把代入上面所得关系式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与O点的距离不断增大时的弹簧测力计示数变化情况．
【详解】解：由图像猜测y与x之间的函数关系为反比例函数．
所以设
把代入求得
∴
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为，
把代入得，
∴当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是，
随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴交于点A，B两点，点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，根据可知是直径，再由圆周角定理求出，由锐角三角函数的定义得出及的长，根据即可得出结论．
【详解】解：连接，
∵，
∴是直径，
根据同弧对的圆周角相等得，
∵，
∴，
∴，即圆的半径为2，
∴
．
故选C．
已知点，在函数（，为常数）的图象上，
则下列判断正确的是（ ）
A 当时，若，则B. 当时，若，则
C. 当时，若，则D. 当时，若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
依据题意，由点，在函数，为常数）的图象上，从而，，进而根据和分别进行分析即可得解．
【详解】解：由题意，点，在函数，为常数）的图象上，
，．
当时，
A、若，
．
．
．
．
，故A错误，故本选项不符合题意；
B、若，
．
．
或．
的符号不确定．
故B错误，故本选项不符合题意；
当时，
C、若，
．
．
或．
的符号不确定．
故C错误，故本选项不符合题意；
D、若，
．
．
．
．
，故D正确，故本选项符合题意．
故选：D．
如图，在正方形中，点E，F分别在， 上（不与顶点重合），且，
在上取一点G，连结、，若，，则为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，正切的计算，等边对等角，巧设参数计算是解题的关键．
延长交于点H，则可得到，，然后得到，设，，则，，然后根据得到，然后计算解题即可．
【详解】解：延长交于点H，
∵是正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
设，，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，
故选B．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 已知 则代数式 的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，先由题意得到，然后代入代数式化简解题即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，
故答案为：．
年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
【答案】人
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
13. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，
此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是____________

【答案】米
【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，
从而可得米，然后在中，
利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点D，

根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，米．
即该主塔的高度是米．
故答案为：米
14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与半径为10的交于两点，若，则k的值是 ．
【答案】25
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，圆的性质，两点间的距离公式，判断出是等边三角形是解本题的关键．先设点，根据对称性质得，再证是等边三角形，用两点间的距离公式列出等式，再求解即可得出结论．
【详解】解：设点，
反比例函数的图象与半径为10的交于两点，
所以两点关于直线对称，
，
的半径为10，
，
，即，
，
是等边三角形，
，
，即，
化简得：，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
故答案为：25
15. 如图，在正方形中，为对角线，以点B为圆心，为半径画弧，再以为直径画半圆．若，则阴影部分的面积为_________．（结果保留）
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是正方形和扇形面积计算，解直角三角形的相关计算，掌握正方形的性质是解题的关键．
先求以及弦组成的弓形面积为：，然后由于对称性可知A、E、D三点形成的阴影部分面积等于C、E、D三点形成的空白部分面积，因此可以得到总的阴影部分面积．
【详解】解：记为直径画半圆与交于点，连接，
∵为直径，
∴，
∴点O为正方形的中心，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴以及弦组成的弓形面积为：，
∵正方形是轴对称图形，
∴A、E、D三点形成的阴影部分面积等于C、E、D三点形成的空白部分面积，
∴总的阴影部分面积，
故答案为：．
16. 如图，在中，点E和点F分别在和上，，将沿直线EF翻折，点D落在边上的点G处，若 则 ___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形与折叠，相似三角形的判定和性质，连接,交于,交于，先证明，然后根据面积比等于相似比的平方得到，设，则，表示出，，再设，则，然后推导，则有，得到，代入求比值即可．
【详解】连接,交于,交于，
∵由翻折得到，
∴，
∵，
∴ ，
∵四边形为平行四边形 ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
由翻折得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）2．（2），
【分析】（1）分别计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，再合并即可.
（2）分别求出每个不等式的解集，并将其解集表示在数轴上即可．
【详解】（1）解：


．
（2） 解：解不等式，
，
解得:．
解不等式，
，
解得：．
所以原不等式组的解集是：．
18. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程和分式方程的解法，正确掌握方程的解法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）先把方程两边乘以，把分式方程转化为一元一次方程求解，然后进行验根即可．
【小问1详解】
解：
或,
解得：，；
【小问2详解】
两边同时乘以得：
解方程得：，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为．
19. 先化简，再求值：（），其中x＝+1．
【答案】
【解析】
【分析】先根据分式的各个运算法则化简，然后代入求值即可．
【详解】解：（）
＝
＝
＝，
当x＝+1时，
原式＝＝．
20. 如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高为，
长度均为的连杆，与始终在同一平面上．

转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度．
将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，使，
此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？
（精确到，参考数据：，）
【答案】(1)
(2)减少了
【分析】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）如图2中，作于O．解直角三角形求出即可解决问题．
（2）作DF⊥l于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，求出，再求出即可解决问题．
【详解】（1）如图2中，作于O．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）作DF⊥l于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
，，
∴
，
∴下降高度：
．
21. 第19届亚运会”于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
【答案】(1)甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元
(2)乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少
【分析】
（1）根据等量关系：700元购买甲规格数量900元购买乙规格的数量，列出方程求解即可；
（2）设乙规格购买套，根据题意列出总费用与所满足的关系式为一次函数，再求出的取值范围，用一次函数的增减性可求解．
【详解】（1）解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
如图，在菱形中，点G在边 上，连接 并延长交 的延长线于点F，
连结交于点E，连结．
（1）若请直接写出的度数；
（2）求证：；
（3）若 求的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定与性质是关键．
（1）根据菱形的性质得到，，，然后求出和的度数，然后解题即可；
（2）先证明，可以得到，然后根据菱形的性质为，即可得到，再根据公共角可以得到，即可解题；
（3）设，则，，然后求出，，然后根据解题即可．
【小问1详解】
解：∵是菱形，，
∴，，，
∴，，
∴；
【小问2详解】
∵是菱形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
【小问3详解】
解：设，则，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
23. ．某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】(1)①；②米
(2)米
【分析】
（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
【详解】（1）
解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：，，，
设改造前的抛物线解析式为，
∴，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；

②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后与上升相同的高度，且，
∴对称轴为直线，则有，
当时，，
∴，
∴，，
∴改造后抛物线解析式为：，
当时，
改造前：，
改造后：，
∴（米），
∴的长度为米；
（2）
如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，
∵当时，，
当时，，
∴，，
∴，
由题意可列不等式：，
解得：，
∵，
要使最大，需最小，
∴当时，的值最大，最大值为米．
24. 已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据三角形外角定理得，由圆心角是圆周角的一半得，再用外角定理得，两边加上等腰的两个相等底角得，即得；
（2）根据和的内角和，根据对顶角相等及第（1）问结论，转化成与，，相关的角，最后得到，即得；
（3）过作于，连接，如图所示，根据（1）（2）中结论，由垂径定理及等腰直角三角形判定与性质确定，设，则，由三角形相似的判定与性质，根据相似比列方程求解得到的值，在中，由勾股定理求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
，，
，即，
，
，
，而，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：设与交于点，如图所示：
，且，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，即，
，即，
，
；
【小问3详解】
解：过作于，连接，如图所示：
由（1）知，由（2）知，
，
，
是等腰直角三角形，即，
设，则，
，，
，
，即，解得，
在等腰中，，
，
在中，由勾股定理可得．
……
10
15
20
25
30
……
……
45
30
22.5
18
15
……