2024年广东九年级中考数学三模冲刺训练试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．2024的倒数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两个数乘积为1，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵
∴2024的倒数是
故选：A．
2. 59．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
3. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：由数轴得：，，
故选项A不符合题意；
∵，∴，故选项B不符合题意；
∵，，∴，故选项C不符合题意；
∵，，∴，故选项D符合题意；
故选：D．
5. 将一块含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了“两直线平行，内错角相等”的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可求出的度数．
【详解】
，
，
．
故选：C．
如图，在菱形中，对角线与相交于点，交于点．
若，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了主要考查了菱形的性质和直角三角形的性质，由菱形的性质可得，由可得E是的中点，再用直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴．
∴，
∴．
故选：B．
7．在同一平面直角坐标系中，函数与（其中a，b是常数，）的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键．
【详解】解：若，，则经过二、三、四象限，反比例函数位于一、三象限，故A选项符合题意；
若，，则经过一、二、四象限，反比例函数位于二、四象限，故B选项不符合题意；
若，，则经过一、二、三象限，反比例函数位于一、三象限，故C选项不符合题意；
若，，则经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限，故D选项不符合题意．
故选：A．
8 . 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（ ）

A．是的平分线B．
C．点在线段的垂直平分线上D．
【答案】D
【分析】A根据作图的过程可以判定是的角平分线；B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则．
【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
9 .如图（a），A，B是⊙O上两定点，，圆上一动点P从点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段AP的长度是．图（b）是y随x变化的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（ ）
A. 8B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图形，合理分析动点的运动时间是解题关键．
根据最长时经过的路程所用的运动时间，求出总路程所用的时间是之前的三倍，即可解答．
【详解】解：如图，当点运动到过圆心，即为直径时，最长，
由图（b）得，最长时为6，此时，
，
，
此时点路程为90度的弧，
点从点运动到点的弧度为270度，
运动时间，
故选：B．
10 .定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断．
【详解】解：①∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点是点的“倍增点”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点，
∵点是点的“倍增点”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值是，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据提公因式法及平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12. 若分式的值为0，则x的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【详解】解：分式的值为0，
∴且．
解得：．
故答案为：．
将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后，
所得到的新抛物线的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】主要考查了函数图象的平移，根据图象的平移规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的新抛物线的解析式为．
故答案为：．
14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定是解题的关键．根据菱形的性质得出，，，，即可求出，再证，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，

则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16. （1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解二元一次方程组，熟练掌握实数的混合运算和解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根计算即可；
（2）根据解二元一次方程组的方法解方程组即可．
【详解】（1）解：
；
（2），
①+②得，，
∴，
把代入②得，，
∴，
∴方程组的解为
17. 某文具店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元就可享受打折优惠．小韦准备买6支钢笔和若干本笔记本．已知每支钢笔15元，每本笔记本8元，那么她至少买多少本笔记本才能享受打折优惠？
【答案】她至少买14本笔记本才能享受打折优惠
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设她买x本笔记本才能享受打折优惠，根据满200元就可享受打折优惠列出不等式求解即可．
【详解】解：设她买x本笔记本才能享受打折优惠，
由题意得，，
解得，
∵x为整数，
∴x的最小值为14，
∴她至少买14本笔记本才能享受打折优惠
答：她至少买14本笔记本才能享受打折优惠．
18. 小明、小华一起到广州游玩，他们决定在三个热门景点（A．广州塔；B．白云山；C．广州博物馆）中各自随机选择一个景点游玩．
（1）小华选择到广州博物馆游玩的概率是______；
（2）用画树状图或列表的方法，求小明、小华选择到不同景点游玩的概率．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明、小华选择到不同景点游玩的结果数，再利用概率公式可得出答案．
小问1详解】
解：由题意得，小华选择到广州博物馆游玩的概率是；
【小问2详解】
解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明、小华选择到不同景点游玩的结果有：（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B），共6种，
∴小明、小华选择到不同景点游玩的概率为．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 综合与实践
【实践背景】目前我国已是隧道数量最多、建设规模最大、发展速度最快的隧道大国，我国西部因山地众多，交通不便，因此修建隧道既可缩减通行距离，也可增强两地经济联系．
【问题情境】A县与B县隔山相望，A县要先绕行C地才可到达B县．为缩减路程，A县政府计划修建隧道连通A，B两县．
【数据收集】某实践小组利用课余时间到该隧道实地进行数据测量、收集，并绘制如图所示的示意图．经过测量得到，，．
【问题解决】
（1）尺规作图：作边上高；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）修建隧道后的路程比原来缩短了多少千米？（参考数据：，，，，结果精确到0.01）
【答案】（1）见解析 （2）千米
【解析】
【分析】此题主要考查了复杂作图以及锐角三角函数关系，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
（1）直接利用过直线外一点作直线的垂线作法得出答案；
（2）直接利用锐角三角函数关系分别得出，，的长进而得出答案．
【小问1详解】
如图所示：D点即为所求；
【小问2详解】
在中，
，
，
在中
，
，
，
∴，
答：修建隧道后的路程比原来缩短了千米．
20. 花坛水池中央有一喷泉，水管，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，为增强欣赏效果，喷头不定时自动升降，上下升降的范围是．如图，建立平面直角坐标系，水的落地点距水池中央的水平距离为，水流所成抛物线的最高点距离水面．
（1）求的值以及抛物线顶点坐标；
（2）升降喷头时，水流所成的抛物线形状不变．某一时刻，身高的小丽同学，恰好站在距花坛中心水管的位置，问喷头在升降过程中，水流是否会打湿小丽的头发？
【答案】（1），，顶点坐标为
（2）不会打湿小丽的头发
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键．
（1）将一般式化为顶点式，根据顶点的纵坐标为4，求出的值，得到顶点坐标，求出时的的值，即可求出的值．
（2）令求出值，求出点下降时的值，进行比较即可．
【小问1详解】
解：∵，且最高点距离水面，
∴，
∴，
∴，顶点坐标为，
当时，，解得：，
∴；
故：，，顶点坐标为；
【小问2详解】
当时，，
当点下降时，，
故不会打湿小丽的头发．
21. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知A点的横坐标是2．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）将直线向下平移m个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴和y轴分别交于点D，E．若，求m的值．
【答案】（1）正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为；
（2）．
【解析】
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的中心对称性，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）设A点坐标为，把分别代入和，可求出k的值，，即可求出答案；
（2）根据直线向下平移m个单位长度，可得直线解析式为：，所以点D的坐标为，过点C作轴于点F，根据，可得，可得点C的坐标，然后利用反比例函数即可解决问题．
【小问1详解】
设A点坐标为，
把分别代入和，
得出：，
解得，
∴A点坐标为，
∴正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
∵直线向下平移m个单位长度，
∴直线解析式为：，
当时，，
∴点D的坐标为，
如图，过点C作轴于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点C在直线上，
∴，
∴，
∴点C的坐标是，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
解得（负值舍去），
∴．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：
如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．

复习回顾：求的长．
探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
① 当点G是的中点时，求证：；
② 设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③ 如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
【答案】(1)；
(2)①见解析；②；③的长为或．
【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；
（2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立；
②利用勾股定理求得，利用垂径定理得到，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解；
③分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】（1）解：连接，

∵的直径垂直弦AB于点E，且，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴；
（2）解：①连接，

∵点G是的中点，
∴，
∴，
∵的直径垂直弦AB于点E，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，

∵的直径垂直弦AB于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
③当时，

在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
当时，

在中，，
在中，，
∴，
同理，
∴，即，
∴；
综上，的长为或．
23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）4．
【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴A，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：连接、，如图所示:
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）