2024年浙江省九年级中考数学模拟预测训练试卷及解析
展开1.的相反数是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】根据相反数的定义进行求解即可.
【详解】解:的相反数是,
故选A.
2 .下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别,熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可.
【详解】解:A选项:既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故A选项错误;
B选项:既是中心对称图形,又是轴对称图形,故B选项正确;
C选项:不是中心对称图形,但是轴对称图形,故C选项错误;
D选项,是中心对称图形,但不是轴对称图形,故D选项错误,
故选:B.
3.第届亚运会将于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行,杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积平方米,将数用科学记数法表示为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为,其中,为整数,且比原来的整数位数少1,据此判断即可.
【详解】解:,
故选:C.
4.下图是某平台销售的折叠椅子及其左视图,已知与地面平行,则( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质,邻补角的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.根据两直线平行内错角相等的性质即可求出,根据邻补角的性质求出.
【详解】解:根据题意得: ,,
,
,
故选:D.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.对角线AC,BD相交于点O.点E,F分别是AO,AD的中点,连接EF,则△AEF的周长为( )
A.6B.7C.8D.9
【思路点拨】因为四边形ABCD是矩形,所以AD=BC=8,∠BAD=90°,OB=OD=OA=OC,在Rt△BAD中,可得BD=10,推出OD=OA=OB=5,因为E.F分别是AO.AD中点,根据三角形中位线定理即可得到结论.
【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=8,∠BAD=90°,OB=OD=OA=OC,
在Rt△BAD中,∵BD===10,
∴OD=OA=OB=5,
∵E.F分别是AO,AD中点,
∴EF=OD=,AE=,AF=4,
∴△AEF的周长为9,
故选:D.
6.如图,点A,B,C,D在⊙O上,AC是⊙O的直径,∠BAC=40°,则∠D的度数是( )
A.40°B.50°C.60°D.90°
【思路点拨】由圆周角定理得到∠ABC=90°,由∠BAC=40°,求出∠C=90°﹣40°=50°,即可得到∠D=∠C=50°.
【解析】解:∵AC是圆的直径,
∴∠ABC=90°,
∵∠BAC=40°,
∴∠C=90°﹣40°=50°,
∴∠D=∠C=50°.
故选:B.
7.4月23日是世界读书日,某学校举行“快乐阅读,健康成长”读书活动.小明随机调查了本校九年级20名同学近2个月内每人阅读课外书的数量,数据如下表所示:
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是( )
A.7,8B.6,7C.,7D.7,7
【答案】D
【分析】本题主要考查了求中位数和求众数,一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数,一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数,据此求解即可.
【详解】解:∵阅读量为7本的人数最多,
∴众数为7;
把阅读量按照从低到高排列,处在第10名和第11名的阅读量分别为7本,7本,
∴中位数为,
故选:D.
8.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【分析】先分别求出各不等式的解集,再求其公共解集即可.
【详解】解:,
由①得,
由②得,
不等式组的解集为.
故选:B.
如图,四边形ABCD是边长确定的正方形,点E、F分别在边DC、BC上,∠EAF=45°,
求△AEF的面积,只需要知道( )
A.△CEF的面积 B.△ADE的面积 C.△ABF的面积
D.△CEF、△ADE、△ABF的面积都必须要知道
【思路点拨】将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,故AH=AF,∠BAH=∠DAF,证明△AEF≌△AEH(SAS),可得S△AEF=S△AHF=S△ABF+S△ABH=S△ABF+S△ADE=(S正方形ABCD﹣S△ECF)÷2,即可得到答案.
【解析】解:将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,如图:
由旋转的性质得,AH=AF,∠BAH=∠DAF,
∵∠EAF=45°,∠BAD=90°,
∴∠DAE+∠BAF=45°,
∴∠BAH+∠BAF=45°,
∴∠FAH=∠EAF=45°,
在△AEF和△AEH中,
,
∴△AEF≌△AEH(SAS),
∴S△AEF=S△AHF=S△ABF+S△ABH=S△ABF+S△ADE=(S正方形ABCD﹣S△ECF)÷2,
∵四边形ABCD是边长确定的正方形,
∴只需要知道△CEF的面积即可求出△AEF的面积,
故选:A.
已知直线y=﹣x﹣3与抛物线y=(x﹣m)2﹣4对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点,
则m的取值范围是( )
A. B.或 C.m≤1 D.m≤1或
【思路点拨】依据题意,当直线y=﹣x﹣3与抛物线y=(x﹣m)2﹣4相切时符合题意,则﹣x﹣3=(x﹣m)2﹣4,即x2﹣(2m﹣1)x+m2﹣1=0,从而Δ=(2m﹣1)2﹣4(m2﹣1)=0,可得m的值;又当抛物线过(0,﹣3),且对称轴在y轴右侧,则m2﹣4=﹣3(m>0).
求出m=1,此时刚好在对称轴左侧有一个交点,又继续向左平移符合题意,故m≤1,进而可以判断得解.
【解析】解:由题意,当直线y=﹣x﹣3与抛物线y=(x﹣m)2﹣4相切时符合题意,
∴﹣x﹣3=(x﹣m)2﹣4,即x2﹣(2m﹣1)x+m2﹣1=0.
∴Δ=(2m﹣1)2﹣4(m2﹣1)=0.
∴m=.
又当抛物线过(0,﹣3),且对称轴在y轴右侧,
∴m2﹣4=﹣3(m>0).
∴m=1,此时刚好在对称轴左侧有一个交点.
又继续向左平移符合题意,
∴m≤1.
综上,m≤1或m=.
故选:D.
二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。
11. 因式分解:______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用,一定要注意如果多项式的各项含有公因式,必须先提公因式.先提公因式,再利用平方差公式继续分解即可解答.
【详解】解:,
故答案为:.
12.如图,AB∥CD,CB平分∠ACD,∠ABC=35°,则∠BAE= 度.
【思路点拨】根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD=35°,根据角平分线的定义得到∠ACB=∠BCD=35°,根据平行线的性质即可得到结论.
【解析】解:∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠BCD=35°,
∵CB平分∠ACD,
∴∠ACB=∠BCD=35°,
∴∠BAE=∠ACD=35°×2=70°,
故答案为:70.
13.一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球,摸到白球的概率为,那么黑球的个数是 .
【思路点拨】用白球个数除以白球的概率求出球的总个数,继而可得答案.
【解析】解:根据题意知,袋中球的总个数为2÷=8(个),
∴黑球个数为8﹣2=6(个),
故答案为:6.
如图,正六边形ABCDEF的边长为2,以顶点A为圆心,AB的长为半径画圆,
则图中阴影部分的面积为 .
【答案】/
【分析】延长FA交⊙A于G,如图所示:根据六边形ABCDEF是正六边形,AB=2,利用外角和求得∠GAB=,再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°, 利用扇形面积公式代入数值计算即可.
【详解】解:延长FA交⊙A于G,如图所示:
∵六边形ABCDEF是正六边形,AB=2,
∴∠GAB=,
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°,
∴,
故答案为.
如图,平面直角坐标系中,与x轴相切于点B,作直径,
函数的图象经过点C,D为y轴上任意一点,则的面积为 .
【答案】5
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,切线的性质;根据反比例函数系数k的几何意义可得,由切线的性质可得轴,再根据三角形的面积公式列式求解即可.
【详解】解:∵点C在函数的图象上,
∴,
∵与轴相切于点,
∴轴,
∴轴,
∴,
故答案为:5.
16.毕达哥拉斯树,也叫“勾股树”,是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究,如图,在中,,分别以的三条边为边向外作正方形,连接BF,CD,过点C作于点M,若,,则的面积为 .
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理,三角形全等的判定定理和性质定理,含30度角直角三角形的性质,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
先由已知条件利用的三角形全等的判定定理证出,然后得到,,进而得到,,然后利用勾股定理求出,最后利用三角形面积公式求解即可.
【详解】解:∵四边形和四边形是正方形
∴,,,
∴,
∴,
在和中,
,
,
,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴的面积.
故答案为:.
.
三.解答题(共8小题,其中第17、18题每题6分,第19、20题每题8分,第21、22题每题10分,第23、24题每题12分,共72分)
17.(1)计算:. (2)化简:(x﹣2y)2﹣x(x﹣4y).
【思路点拨】(1)利用绝对值的性质,负整数指数幂计算即可;
(2)利用完全平方公式,单项式乘多项式法则计算即可.
【解析】解:(1)原式=3﹣4
=﹣1;
(2)原式=x2﹣4xy+4y2﹣x2+4xy
=4y2.
18. 先化简,再求值:(),其中x=+1.
【答案】
【解析】
【分析】先根据分式的各个运算法则化简,然后代入求值即可.
【详解】解:()
=
=
=,
当x=+1时,
原式==.
19.某校为加强书法教学,了解学生现有的书写能力,随机抽取了部分学生进行测试,
测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级,分别用A,B,C,D表示,
并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
请根据统计图中的信息解答以下问题;
本次抽取的学生共有_______人,扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°,
并把条形统计图补充完整;
依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分,
则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分,中位数是_______分,平均数是_______分;
若该校共有学生2800人,请估计一下,书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人:
A等级的4名学生中有3名女生和1名男生,
现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”,
请用列表或画树状图的方法,求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率.
【答案】(1)40;36;见解析
(2)70;70;66.5
(3)280
(4)
【分析】(1)由C等级人数及其所占百分比可得总人数,用360°乘以A等级人数所占比例即可得;
(2)由中位数,众数,平均数的定义结合数据求解即可;
(3)利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得;
(4)列表或画树状图得出所有等可能的情况数,找出刚好抽到一男一女的情况数,即可求出所求的概率.
【详解】(1)本次抽取的学生人数是(人),
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是,
故答案为40人、36°;
B等级人数为(人),
补全条形图如下:
(2)由条形统计图可知众数为:70
由A、B、C的人数相加得:4+6+16=26>20,所以中位数为:70
平均数为:
(3)等级达到优秀的人数大约有(人);
(4)画树状图为:
∵共有12种等可能情况,1男1女有6种情况,
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为.
20.如图,四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BD于点E,CG⊥BD于点F,FG=CF,连接AG.
(1)求证:四边形AEFG是矩形;
(2)若∠ABD=30°,AG=2AE=6,求BD的长.
【思路点拨】(1)由平行四边形的性质得AB=CD,AB∥CD,则∠ABE=∠CDF,再证明△ABE≌△CDF(AAS),得AE=CF,则FG=CF,然后证明四边形AEFG是平行四边形,即可得出结论;
(2)由矩形的性质得EF=AG=6,再由勾股定理得BE=3,然后由全等三角形的性质得BE=DF=3,即可得出结论.
【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABE=∠CDF,
∵AE⊥BD,CG⊥BD,
∴AE∥CG,∠AEB=∠AEF=∠CFD=90°,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴AE=CF,
∵FG=CF,
∴四边形AEFG是平行四边形,
又∵∠AEF=90°,
∴平行四边形AEFG是矩形;
(2)解:∵AG=2AE=6,
∴AE=3,
由(1)可知,四边形AEFG是矩形,
∴EF=AG=6,
∵∠ABD=30°,
∴AB=2AE=6,
∴BE===3,
由(1)可知,△ABE≌△CDF,
∴BE=DF=3,
∴BD=BE+EF+DF=3+6+3=6+6.
21.如图,直线AB:y=kx+b分别交坐标轴交于A(﹣1,0)、B(0,1)两点,与反比例函数的图象交于点C(2,n).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)在如图所示的条件下,直接写出关于x的不等式的解集;
(3)将直线AB沿y轴平移与反比例函数交于点P,使得S△PAC=6S△ABO,求点P坐标.
【思路点拨】(1)利用待定系数法求得直线AB的解析式,然后代入点C(2,n)求得n=3,然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可;
(2)根据图象即可求解;
(3)分两种情况:把AB向上或向下平移时,如图,过点P作PE∥y轴,交直线AB于E,设P(x,),则E(x,x+1),利用三角形面积公式得到S△APC=PE(xC﹣xA),即可得到关于x的方程,解方程即可.
【解析】解:(1)∵直线AB:y=kx+b分别交坐标轴交于A(﹣1,0)、B(0,1)两点,
∴,解得,
∴直线AB为y=x+1,
把C(2,n)代入y=x+1,得n=3,
∴C(2,3),
把C(2,3)代入得,m=6,
∴反比例函数的解析式为y=;
(2)关于x的不等式的解集为0<x<2;
(3)∵A(﹣1,0),B(0,1),
∴S△AOB==,
∴S△PAC=6S△ABO=3,
分两种情况:把AB向上或向下平移时,如图,
过点P作PE∥y轴,交直线AB于E,设P(x,),则E(x,x+1),
∴S△APC=•PE•(xC﹣xA)=×|﹣x﹣1|×3=3,
解得x1=,x2=(舍去),x3=3,x4=﹣2(舍去),
∴P(,)或(3,2).
22.如图,⊙O是四边形ABCD的外接圆,BD为⊙O的直径,DE是⊙O的切线交BC的延长线于点E.
(1)求证:∠E=∠BAC;
(2)若∠E=∠ACB,当AB=4,CE=1,求⊙O的半径.
【思路点拨】(1)根据圆周角定理和切线的性质证明即可;
(2)结合(1)证明△BDC∽△DEC,得 ,然后利用勾股定理即可解决问题.
【解析】(1)证明:∵DE是⊙O的切线,
∴∠BDE=90°,
∴∠E+∠DBC=90°,
∵BD为⊙O直径,
∴∠BAD=90°,
∴∠BAC+∠CAD=90°,
∵∠CAD=∠CBD,
∴∠BAC=∠E;
(2)解:∵∠E=∠ACB,
由(1)知∠E=∠BAC,
∴∠ACB=∠BAC,
∴BC=AB=4,
∵BD为⊙O直径,
∴∠BCD=90°,
∴∠DCE=∠BCD=90°,
∴∠E+∠CDE=90°,
∵DE是⊙O的切线,
∴∠BDE=90°,
∴∠BDC+∠CDE=90°,
∴∠E=∠BDC,
∴△BDC∽△DEC,
∴=,
∴DC2=BC•EC=4×1=4,
∴DC=2,
在Rt△BCD中,由勾股定理得:BD===2,
∴⊙O的半径为.
23.如图,顶点为的抛物线与轴交于两点,与轴交于点,直线的表达式为.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点满足到四点距离之和最小,求点的坐标.
(3)在坐标轴上是否存在一点,使得以点为顶点的三角形与相似?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)P(,);(3)Q1(0,0),Q2(9,0),Q3(0,).
【分析】(1)先求得点和点的坐标,然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式得到关于、的方程,从而可求得、的值;
(2)连接AD,交BC相交,交点即为所求点P,点满足到四点距离之和最小,先求出A、D点坐标,然后求得的解析式,最后可求得点的坐标;
(3)先根据坐标求出、、的长,依据勾股定理的逆定理证明为直角三角形,然后分为和三种情况求解即可.
【详解】解:(1)把代入,得:,
.
把代入得:,
,
将、代入得:,解得,.
抛物线的解析式为.
(2)如图所示:连接AD,交BC相交于点P,
∵,,
∴
当点在AD与BC的交点上时,点满足到四点距离之和最小.
∵点D是抛物线的顶点,
∴对称轴为,点D为,
∵点A、B抛物线与x轴交点,
∴点A为,
设的解析式为,则,解得:,.
的解析式为.
联立解析式得:
解得:,
点的坐标为.
(3)又,3,,
,,.
,
.
,,
,.,
.
又,
.
当的坐标为时,.
如图所示:连接,过点作,交轴与点.
为直角三角形,,
.
又,
.
,即,解得:.
.
如图所示:连接,过点A作,交轴与点.
为直角三角形,,
.
又,
.
,即,解得:.
∴
.
综上所述,当的坐标为或或时,以、、为顶点的三角形与相似.
24.如图1,在正方形ABCD中,点E是对角线BD上一点,连接EA,将线段EA绕点E逆时针旋转,使点A落在射线CB上的点F处,连接EC.
【问题引入】
(1)证明:EF=EC;
【探索发现】
(2)延长FE交直线CD于点M,请将图1补充完整,猜想此时线段DM和线段BF的数量关系,并说明理由;
【拓展应用】
(3)如图2,若AB=9,延长AE至点N,使NE=AE,连接DN.当△ADN的周长最小时,请求线段DE的长.
【思路点拨】(1)先根据正方形的性质证明△BEA≌△BEC(SAS),再结合旋转即可证明;
(2)过点F作FH⊥BC交BD于点H,先根据正方形的性质证明FH∥CD,从而得到∠HFE=∠M,再根据EF=EC可证△HEF≌△DEM(ASA),即可证明;
(3)取AD的中点G,连接EG,根据题意表示出△ADN的周长=AD+DN+AN=9+2(AE+EG),可得当△ADN的周长最小时,AE+EG最小,此时,C,E,G三点共线,再根据条件证明△DEG∽△BEC即可求解.
【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BA=BC,∠ABE=∠CBE=45°,
∵BE=BE,
∴△BEA≌△BEC(SAS),
∴EA=EC.
由旋转得:EA=EF,
∴EF=EC;
(2)解:图1补充完整
猜想DM=BF.
理由如下:过点F作FH⊥BC交BD于点H,
则∠HFB=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,
∴∠HFB=∠BCD,
∴FH∥CD,
∴∠HFE=∠M,
∵EF=EC,
∴∠EFC=∠ECF,
∵∠FCD=90°,
∴∠EFC+∠M=90°,∠ECD+∠ECF=90°,
∴∠M=∠ECM,
∴EC=EM,
∴EF=EM,
∵∠HEF=∠DEM,
∴△HEF≌△DEM(ASA),
∴DM=FH,
∵∠HBF=45°,∠BFH=90°,
∴∠BHF=45°,
∴BF=FH,
∴DM=BF.
(3)解:如图2,取AD的中点G,连接EG,
∵NE=AE,
∴点E是AN的中点,
∴,
∵△ADN的周长=AD+DN+AN=9+2(AE+EG),
∴当△ADN的周长最小时,AE+EG最小,此时,C,E,G三点共线,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=BC=9,AD//BC,∠BAD=90°,
在Rt△ABD中,,
∵点G是AD的中点,
∴,,
∵AD∥BC,
∴△DEG∽△BEC,
∴,
∴BE=2DE,
∵,
∴,即,
∴.
人数
4
5
6
5
课外书数量(本)
5
6
7
8
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