2024年广东省珠海市金湾区中考一模数学试题

这是一份2024年广东省珠海市金湾区中考一模数学试题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进35吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A．卖掉35吨粮食B．亏损35吨粮食
C．运出35吨粮食D．吃掉35吨粮食
2．下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．“学习强国”平台上线的某天，全国大约有人在此平台上学习，用科学记数法表示的数的原数为（ ）
A．126300000B．12630000C．1263000000D．1263000
4．下面的几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ）
A．9，8.5B．11，8C．10，9D．9，8
7．如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
8．如图，天平右盘中的每个砝码的质量为10g，则物体M的质量的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，与相切于点B，的延长线交于点C，连接．若，则的度数为（ ）
A．18°B．27°C．36°D．54°
10．如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．若，是一元二次方程的两个实数根，则 ．
13．因式分解： ．
14．如图，已知一圆在扇形的外部，沿扇形的，从点A滚动一周，恰好到达点B．如果，，圆的半径为 ．
15．如图，将绕点C顺时针旋转，使点B落在边上的点D处，点A落在点E处，与相交于点F，若，，，则的长为 ．
三、解答题
16．计算：．
17．如图，点B、C、E、F在同一直线上，，，．求证：．
18．先化简，再选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值：．
19．如图，一次函数和反比例函数的图象交于点，与y轴交于点A．

(1)求反比例函数的解析式：
(2)直接写出时x的取值范围．
20．“书香为伴，阅享美好”，珠海市图书馆开展“世界读书日”主题系列活动，为了让同学们获得更好的阅读体验，图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全市学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生人数为________名，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是________度；
(3)李老师准备从甲、乙、丙、丁四位学生代表中随机选择两位进行面对面的访问调查．请用列表或画树状图的方法，求李老师选中乙、丙这两位同学的概率．
21．如图，点E是矩形的边上的一点，且．

(1)尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)试判断四边形的形状，并说明理由．
22．根据以下素材，探索完成任务．
23．如图1，等腰是的内接三角形，，连接并延长交于点D，连接

(1)求证：D是中点；
(2)如图2，延长交于E、交于F，其中，．
①求线段的长；
②求的正弦值．
24．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，与y轴相交于C，已知抛物线对称轴为直线，直线经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一个点D（不与点C重合），使得，请求出点D的坐标；
(3)如图2，点E是直线上一动点，过E作x轴的垂线交抛物线于F点，连接，将沿折叠，如果点E对应的点M恰好落在y轴上，求此时点E的坐标．
时间/小时
7
8
9
10
人数
7
9
11
3
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1
某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2
某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共50件．
素材3
学校花费400元后，文具店赠送m张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1
探求商品单价
请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2
求奖品的购买方案
购买钢笔和笔记本数量的方案．
任务3
确定兑换方式
运用数学知识，确定符合条件的一种兑换方式．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了相反意义的量，理解“一是它们的意义相反，二是它们都是数量．”是解题的关键．
【详解】解：粮库把运进35吨粮食记为“”，
“”表示运出35吨粮食；
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了科学记数法，将还原成即可求解；掌握表示一个的数的方法：“从右往左数到最后一个非“”数字，小数点移动的位数为就是．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了几何体的三视图，分别根据俯视图是从上面看到的图形进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、该几何体的俯视图是三角形，故该选项符合题意；
B、该几何体的俯视图是圆，故该选项不符合题意；
C、该几何体的俯视图是圆，中间有圆心，故该选项不符合题意；
D、该几何体的俯视图是正方形，故该选项不符合题意；
故选：A
5．C
【分析】根据幂的乘方法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法和除法法则逐项计算，即可判断．
【详解】，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算正确，符合题意；
，故D计算错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法和除法．熟练掌握各运算法则是解题关键．
6．D
【分析】根据中位数、众数的意义求解即可．本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
【详解】解：抽查学生的人数为：（人，
这30名学生的睡眠时间出现次数最多的是9小时，共出现11次，因此众数是9小时，
将这30名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，
因此中位数是8小时．
故选：D
7．B
【分析】依据，即可得到，再根据，即可得出答案．
【详解】解：如图，

，
，
又，
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
8．C
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用及不等式组的解集在数轴上的表示方法．通过看图得出具体的信息，从而得出物体M的质量m的取值范围．
【详解】解：∵由左图可知，由右图可知，
∴m的取值范围是：．
在数轴是表示为
故选：C．
9．B
【分析】如图：连接，由切线性质有，则由直角三角形角的性质可得的度数，再由及三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：如图，连接
∵与相切于点B
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握切线的性质是解答本题的关键．
10．A
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为
y=(4－x)··=,
两个三角形重合时面积正好为.
由二次函数图象的性质可判断答案为A,
故选A.
【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论.
11．x≥-4
【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．
【详解】解：由题意得：x+4≥0，
∴x≥-4，
故答案是：x≥-4．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，直接代入数值，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴
故答案为：
13．/
【分析】根据完全平方公式分解即可．
【详解】原式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，理解完全平方公式的形式是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了扇形的弧长，由扇形弧长公式得，再由圆的周长公式即可求解；理解扇形的弧长与圆的周长之间的关系，掌握扇形弧长公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
解得：；
故答案：．
15．
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，通过题意构造辅助线是解题的关键．
如图，过点作于点，证明，得到，，再证明，得到，由及旋转可得到，由勾股定理得到，即可求出长．
【详解】解：如图，过点作于点，
由旋转可知：，，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了实数的混合运算，先进行乘方、去绝对值、特殊角三角函数值化简，再进行计算，即可求解；掌握，是解题的关键．
【详解】解：原式
．
17．见详解
【分析】根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可．此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据等式的性质得出解答．
【详解】证明：，
，
即，
在与中，
，
∴
．
18．，当时，原式=
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
，，，
取，原式．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
（1）将点代人一次函数解出值，即可得到反比例函数解析式；
（2）根据函数图象直接写出不等式解集即可．
【详解】（1）解： 点在一次函数图象上，
，解得．
，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：．
（2）令，即，
解得：（舍去）或，
∴
，
根据图像可知，时的取值范围为：．
20．(1)100，见解析
(2)36
(3)
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与树状图法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）用B的人数除以对应百分比可得样本容量；用样本容量减去其它四类的人数可得D类的人数，进而补全条形统计图；
（2）用360乘A“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；
（3）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．；
【详解】（1）解：此次被调查的学生人数为：（名），
故答案为：；
D类的人数为：（名），
补全条形统计图如下：
（2）解：在扇形统计图中，“艺术类”所对应的圆心角度数是：，
故答案为：；
（3）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中乙、丙两位同学的有2种情况，
∴恰好同时选中乙、丙两位同学的概率为．
21．(1)见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）四边形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
22．任务1：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；任务2：钢笔30支，笔记本20本；任务3：文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．
【分析】本题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程．
任务1：设笔记本的单价为元，根据用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件列出分式方程，解方程即可；
任务2：设购买钢笔为支，笔记本为本，根据数量共50件，总的花费为400元，列出方程，求出、的值即可；
任务3：在（2）的基础上，结合钢笔和笔记本数量进行列式解答即可．
【详解】解：任务1：设笔记本的单价为元，根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
这时．
笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：设购买钢笔为支，笔记本为本，根据题意，得
解得
可购买钢笔30支，笔记本20本
任务3：当有钢笔30支，笔记本20本时，设有张兑换券兑换钢笔，
根据题意，得，
整理得，
，且，均为正整数，
经尝试检验得，
文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．
23．(1)见详解
(2)①②
【分析】（1）根据三角形的内接圆，圆心是三角形的垂直平分线的交点，结合等腰三角形的三线合一，即可作答．
（2）①先证明，再通过两个对应角相等的三角形是相似三角形，得出，再结合已知线段以及半径，代入数值进行计算，即可作答．
②通过等面积法求出，再运用正弦的定义列式代入数值，即可作答．
【详解】（1）解：∵等腰是的内接三角形， ，
∴是的中垂线，
∴
∵
∴
∴D是中点
（2）解：连接
∵ 是的直径
∴
∵（1）知

∴
∴
∵
∴
∴
∵，．
∴
即
解得
在中，；
（3）过点C作

∵
∴
∴
则在中，
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形的相关性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由直线的解析式求出、点的坐标，由对称轴得，代入抛物线的解析式，解方程组，即可求解；
（2）作直线关于轴对称直线，交轴于，交抛物线于，由对称的性质得，，设直线的解析式为，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，解方程组，即可求解；
（3）①当在轴下方时，由平行线的性质及折叠的性质得，，由等腰三角形的判定方法得，设，则，求出和，即可求解；②当在轴上方时，同理可求解．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，
当时，，
，；
设抛物线的解析式为，则有
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，作直线关于轴对称直线，交轴于，交抛物线于，
，，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
联立直线和抛物线的解析式得：
，
解得：或，
．
（3）解：①如图，当在轴下方时，
轴，
，
由折叠得：，
，
，
设，
则，
，，
，
解得： ，（舍去），
；
；
②如图，当在轴上方时，
同理可证：，
设，
则，
，，
，
解得： ，（舍去），
；
；
综上所述：E的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法，平行于坐标轴上两点距离，勾股定理，等腰三角形的判定等，掌握待定系数法，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键．