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山东省淄博市淄川区2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
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这是一份山东省淄博市淄川区2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题，文件包含SX_数学试题docx、SX_数学参考答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. A 2. C 3. C 4. C 5. C 6. B 7. B 8. D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. ACD 10. AD 11. ACD 12. BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. n2-n
14．7
15.64
16.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 【解析】（1）的展开式的所有项的二项式系数和为． 2分
展开式中第三项为：，
所以． 4分
（2）
第四项的二项式系数最大， 6分
8分
（3），
， 10分
令，可得 12分
18.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设的公差为d，选择①，结合等差数列求和公式列方程求，由此可得的通项公式；选择②，由条件结合等比中项列方程求，由此可得的通项公式；选择③，结合等差数列求和公式和通项公式列方程求，由此可得的通项公式；
（2）由（1），利用组合求和法，结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求数列{}的前n项和．
【小问1详解】
若选择①：设的公差为d，
因为，，
所以，
所以，
所以；
若选择②：因为成等比数列，
所以，
又，所以，
又，设的公差为，
所以，解得，
所以；
若选择③：设的公差为d，
因为，
所以，又，
即，
解得，
所以；
【小问2详解】
由题知．
所以，
所以，
所以，
所以.
19. 【答案】（1）V（r）=（300r﹣4r3） （0，5）
（2）见解析
【解析】
【详解】试题分析：（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.
（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元
∴蓄水池的总建造成本为元
所以即
∴
∴
又由可得
故函数的定义域为
（2）由（1）中，
可得（）
令，则
∴当时，，函数为增函数
当，函数为减函数
所以当时该蓄水池的体积最大
考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数.
20．
【答案】；证明见详解
解析：(1)由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
(2)由(1)得，，且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，假设能取到，则，故；
当时，，单增，假设能取到，则，故；
综上所述，在恒成立
【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题．
【题目栏目】导数\导数的综合应用
【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第20题
21.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用与关系可证得数列自第二项起为等比数列，由等比数列通项公式可求得此时，验证可知数列为分段数列，由此可得通项公式；
（2）①由（1）可得，当时，采用错位相减法可求得，验证可知满足的表达式，由此可得结论；
②采用作差法可确定数列的单调性，得到，由此可构造不等式求得范围.
【详解】（1）当时，；
当时，，，，
即；
又，，
数列自第二项起为等比数列，公比为，此时；
经检验：不满足，.
（2）①由（1）得：，则；
当时，，，
，
；
经检验：满足，；
②当时，，
当时，，，则当时，，
又，，即；
，即，解得：或，
即实数的取值范围为.
22.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【小问1详解】
因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. A 2. C 3. C 4. C 5. C 6. B 7. B 8. D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. ACD 10. AD 11. ACD 12. BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. n2-n
14．7
15.64
16.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 【解析】（1）的展开式的所有项的二项式系数和为． 2分
展开式中第三项为：，
所以． 4分
（2）
第四项的二项式系数最大， 6分
8分
（3），
， 10分
令，可得 12分
18.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设的公差为d，选择①，结合等差数列求和公式列方程求，由此可得的通项公式；选择②，由条件结合等比中项列方程求，由此可得的通项公式；选择③，结合等差数列求和公式和通项公式列方程求，由此可得的通项公式；
（2）由（1），利用组合求和法，结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求数列{}的前n项和．
【小问1详解】
若选择①：设的公差为d，
因为，，
所以，
所以，
所以；
若选择②：因为成等比数列，
所以，
又，所以，
又，设的公差为，
所以，解得，
所以；
若选择③：设的公差为d，
因为，
所以，又，
即，
解得，
所以；
【小问2详解】
由题知．
所以，
所以，
所以，
所以.
19. 【答案】（1）V（r）=（300r﹣4r3） （0，5）
（2）见解析
【解析】
【详解】试题分析：（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.
（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元
∴蓄水池的总建造成本为元
所以即
∴
∴
又由可得
故函数的定义域为
（2）由（1）中，
可得（）
令，则
∴当时，，函数为增函数
当，函数为减函数
所以当时该蓄水池的体积最大
考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数.
20．
【答案】；证明见详解
解析：(1)由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
(2)由(1)得，，且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，假设能取到，则，故；
当时，，单增，假设能取到，则，故；
综上所述，在恒成立
【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题．
【题目栏目】导数\导数的综合应用
【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第20题
21.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用与关系可证得数列自第二项起为等比数列，由等比数列通项公式可求得此时，验证可知数列为分段数列，由此可得通项公式；
（2）①由（1）可得，当时，采用错位相减法可求得，验证可知满足的表达式，由此可得结论；
②采用作差法可确定数列的单调性，得到，由此可构造不等式求得范围.
【详解】（1）当时，；
当时，，，，
即；
又，，
数列自第二项起为等比数列，公比为，此时；
经检验：不满足，.
（2）①由（1）得：，则；
当时，，，
，
；
经检验：满足，；
②当时，，
当时，，，则当时，，
又，，即；
，即，解得：或，
即实数的取值范围为.
22.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【小问1详解】
因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
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