湖南省怀化市第三中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试卷

这是一份湖南省怀化市第三中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简-+b的结果是（ ）
A. 1B. b+1C. 2aD. 1-2a
若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（ ）
A. 0B. 1C. -1D. 2
在下列各数中：，（-4）2，-（-3），-52，-|-2|，（-1）2004，0，其中是负数的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足x-y=7，那么k的值是（ ）
A. -2B. 8C. D. -8
已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足，则此等腰三角形的周长为( )
A. 7或8B. 6或10C. 6或7D. 7或10
函数y=-x2+2（m-1）x+m+1的图象如图，它与x轴交于A，B两点，线段OA与OB的比为1：3，则m的值为（ ） A. 或2 B. C. 1 D. 2

(第6题图) (第7题图) (第10题图)
在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A. a≤﹣2 B. a＜ C. 1≤a＜或a≤﹣2 D. ﹣2≤a＜
将一个棱长为1的正方体水平放于桌面（始终保持正方体的一个面落在桌面上），则该正方体正视图面积的最大值为（ ）
A. 2B. +1C. D. 1
若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则的值为（ ）A. B. 49！ C. 2450 D. 2！
如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则△A9B9A10的边长为（ ）
A. 32B. 64C. 128D. 256
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
函数y=-中自变量x的取值范围是 ．
如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD=4，DB=6，则弦BC的长是______．
关于x的方程有实数根，则k的取值范围是____________．

(第12题图) (第15题图) (第16题图)
若一个正方形的边长增加了2 cm，面积相应地增加了32 cm2，则这个正方形原来的边长为_________．
如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ___cm2 （结果保留π）
如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③-1≤a≤-；④4ac-b2＞8a；其中正确的结论是 .
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
（8分）计算：（1）（）2-2sin30°-（π-3）0+|-|．（2） 计算（1+）（1+）（1+)(1+)(1+)+ .
18.（8分）已知x，y是实数，且（x+y-5）2与互为相反数，求实数yx的立方根．
19.（10分）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-4，0），B （1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）连接AC、BC，判断△ABC的形状，并证明；（3）若点P为二次函数对称轴上点，求出使△PBC周长最小时，点P的坐标．

20.（10分）如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC=EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若cs∠CAD=，AF=6，MD=2，求FC的长．

21.（12分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：

请结合图表完成下列各题：
（1）①求表中a的值；②频数分布直方图补充完整；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．
22.（12分）如图，双曲线与直线y2=k2x+b相交于A（1，m+2），B（4，m-1），点P是x轴上一动点．
（1）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；（2）求双曲线与直线y2=k2x+b的解析式；
（3）当△PAB是等腰三角形时，求点P的坐标．
23.（12分）在等边△ABC中，点D在BC边上（不与点B、点C重合），点E在AC的延长线上，DE=DA（如图1）．（1）求证：∠BAD=∠EDC；（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．
①依题意将图2补全；
②若点D在BC边上运动，DA与AM始终相等吗？请说明理由．
（14分）如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连接AC、FC．（1）求证：∠ACF=∠ADB； （2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．

1-10. A ，B，B，A，A，D，C，C，C，D.
11.-2＜x≤3
12.4
13.k≥-6
14.7cm
15.π
16.①②③
17.(1)解：原式=2-2×-1+=2-1-1+=．
(2)解：原式=
=
=
=2.
18.解：∵（x+y-5）2+=0，
∴，
解得：x=3，y=2，
则yx=23=8，8的立方根为2．
19.解：（1）抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-1），
即y=ax2+3ax-4a，
∴-4a=2，解得a=-，
∴抛物线解析式为y=-x2-x+2；
（2）△ABC为直角三角形．理由如下：
当x=0时，y=-x2-x+2=2，则C（0，2），
∵A（-4，0），B （1，0），
∴AC2=42+22，BC2=12+22，AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°；
（3）抛物线的对称轴为直线x=-，
连接AC交直线x=-于P点，如图，
∵PA=PB，
∴PB+PC=PA+PC=AC，
∴此时PB+PC的值最小，△PBC周长最小，
设直线AC的解析式为y=kx+m，
把A（-4，0），C（0，2）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+2，
当x=-时，y=x+2=，则P（-，）
∴当P点坐标为（-，）时，△PBC周长最小．
20.（1）证明：连接OF，
∵四边形ACD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD+∠DCA=90°，
∵EC=EF，
∴∠DCA=∠EFC，
∵OA=OF，
∴∠CAD=∠OFA，
∴∠EFC+∠OFA=90°，
∴∠EFO=90°，
∴EF⊥OF，
∵OF是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接MF，
∵AM是直径，
∴∠AFM=90°，
在Rt△AFM中，cs∠CAD==，
∵AF=6，
∴=，
∴AM=10，
∵MD=2，
∴AD=8，
在Rt△ADC中，cs∠CAD==，
∴=，
∴AC=，
∴FC=-6=
21.解：（1）①由题意和表格，可得
a=50-6-8-14-10=12，
即a的值是12；
②补充完整的频数分布直方图如下图所示，
（2）∵测试成绩不低于80分为优秀，
∴本次测试的优秀率是：；
（3）设小明和小强分别为A、B，另外两名学生为：C、D，
则所有的可能性为：（AB）、（AC）、（AD）、（BC）、（BD）、（CD）
所以小明和小强分在一起的概率为：．
22.解：（1）∵点A（1，m+2），B（4，m-1）是反比例函数和直线的交点坐标，
∴0＜x＜1或x＞4；
（2）∵A（1，m+2），B（4，m-1）是反比例函数y1=上，
∴，解得
∴A（1，4），B（4，1）
∵点A，B在直线y2=k2x+b上，
∴，解得
∴双曲线的解析式为，直线的解析式为y=-x+5；
（3）设点P（a，0），
则PA2=（a-1）2+42，AB2=18，PB2=（a-4）2+12
①当PA=PB时，（a-1）2+42=（a-4）2+12
解得a=0，
∴P1（0，0），
②当PA=AB时，（a-1）2+42=18，
解得，，
∴，，
③当PB=AB时，（a-4）2+12=18，
解得，，
∴，，
综上述，P1（0，0），，，，．
23.解：（1）如图1，∵DE=DA，
∴∠E=∠DAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACD=60°，
即∠BAD+∠DAC=∠E+∠EDC=60°，
∴∠BAD=∠EDC；
（2）①补全图形如图2；
②证法1：由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，
∵DE=DA，
∴DM=DA，
由（1）可得，∠BAD=∠EDC，
∴∠MDC=∠BAD，
∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°-∠B=120°，
∴∠MDC+∠ADB=120°，
∴∠ADM=180°-120°=60°，
∴△ADN是等边三角形，
∴AD=AM；
证法2：连接CM，
由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，
∵DE=DA，
∴DM=DA，
由（1）可得，∠BAD=∠EDC，
∴∠MDC=∠BAD，
∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°-∠B=120°，
∴∠MDC+∠ADB=120°，
∴∠ADM=180°-120°=60°，
∴△ADM中，∠DAM=（180°-60°）÷2=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAM，
由轴对称可得，∠DCE=∠DCM=120°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°-60°=60°，
∴∠B=∠ACM，
在△ABD和△ACM中，
，
∴△ABD≌△ACM（ASA），
∴AD=AM．
24.（1）证明：连接AB，
∵OP⊥BC，
∴BO=CO，
∴AB=AC，
又∵AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵∠ABD=∠ACF，
∴∠ACF=∠ADB．

（2）解：过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A作AN⊥BF于N，连接AF，
则AN=m，
∴∠ANB=∠AMC=90°，
在△ABN和△ACM中
，
∴Rt△ABN≌Rt△ACM（AAS）
∴BN=CM，AN=AM，
又∵∠ANF=∠AMF=90°，
在Rt△AFN和Rt△AFM中
，
∴Rt△AFN≌Rt△AFM（HL），
∴NF=MF，
∴BF+CF=BN+NF+CM-MF，
=BN+CM=2BN=n，
∴BN=，
∴在Rt△ABN中，AB2=BN2+AN2=m2+=m2+，
在Rt△ACD中，CD2=AB2+AC2=2AB2=2m2+，
∴CD=．
（3）解：的值不发生变化，
过点D作DH⊥AO于H，过点D作DQ⊥BC于Q，
∵∠DAH+∠OAC=90°，∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠OAC=∠ADH，
在△DHA和△AOC中
，
∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS），
∴DH=AO，AH=OC，
又∵BO=OC，
∴HO=AH+AO=OB+DH，
而DH=OQ，HO=DQ，
∴DQ=OB+OQ=BQ，
∴∠DBQ=45°，
又∵DH∥BC，
∴∠HDE=45°，
∴△DHE为等腰直角三角形，
∴=，
∴=．