2024年重庆市高考数学三诊试卷-普通用卷

这是一份2024年重庆市高考数学三诊试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−1=0}，集合B={a+1,a−1,3}，若A⊆B，则a=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
2.设复数z满足2z−iz−=1，则z的虚部为( )
A. 13B. −13C. 3D. −3
3.已知一种服装的销售量y(单位：百件)与第x周的一组相关数据统计如表所示，若两变量x，y的经验回归方程为y =−1.3x+7.9，则a=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
4.若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为π4，则该圆锥的侧面积为( )
A. 2πB. 2πC. 2 2πD. 4π
5.重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为( )
A. C240040B. C240024C. C240012D. C240010
6.已知f(x)是定义域为R的奇函数且满足f(x)+f(2−x)=0，则f(20)=( )
A. −1B. 0C. 1D. ±1
7.当点P(−1,0)到直线l：(3λ+1)x+(λ+1)y−(4λ+2)=0的距离最大时，实数λ的值为( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
8.已知α∈(0,π3)，且2sin2α=4csα−3cs3α，则cs2α=( )
A. 29B. 13C. 79D. 2 23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.命题“存在x>0，使得mx2+2x−1>0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. m>−2B. m>−1C. m>0D. m>1
10.已知双曲线C：x2−2y2=λ(λ≠0)，则其离心率可能为( )
A. 2B. 3C. 2D. 62
11.若函数f(x)=alnx−2x2+bx既有极小值又有极大值，则( )
A. ab0，lg4a+lg2b=1，且|lga|=|lgb|，则a+b=______.
14.已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1内有一个动点M，满足MA=MD1，且MB=1，则四棱锥M−ADD1A1体积的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=exx+a.
(1)当a=1时，求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)= 3sin(2ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其所对应的角为A，B，C，且f(A)=32，AB⋅AC=2 3，a= 5，求该三角形的周长.
17.(本小题15分)
我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定：学校供暖器的噪声不能超过50分贝、热效率不能低于70%.某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，这批供暖器的噪声(单位：分贝)和热效率的频率分布直方图如图所示：
假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率.
(1)求a，b的值；
(2)如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽2件，求恰有1件噪声不超过25分贝且热效率不低于90%的概率；
(3)当x∈[90,100]，设供暖器的噪声不超过x−502(分贝)的概率为p1，供暖器的热效率不低于x%的概率为p2，求p1+p2的取值范围.
18.(本小题17分)
设圆D：x2+y2+2x−88=0与抛物线C：y2=2px(p>0)交于E，F两点，已知|EF|=16.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：4x+3y−16=0与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，动点M(异于点A，B)在抛物线C上，连接MB，过点A作AN//MB交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求：
①点P的轨迹方程；
②△PAB面积的取值范围.
19.(本小题17分)
已知n≥4且n∈N*，设S是空间中n个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上.dAB表示点A，B间的距离，记集合τ(S)={dAB|∀A,B∈S,A≠B}.
(1)若四面体ABCD满足：AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD=1.
①求二面角C−AD−B的余弦值：
②若S={A,B,C,D}，求τ(S).
(2)证明：4card(τ(S))≥n−1.
参考公式：x12+x22+⋯+xn2≥1n(x1+x2+⋯+xn)2
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|x2−1=0}={−1,1}，集合B={a+1,a−1,3}，
若A⊆B，则a=0.
故选：B.
根据集合的包含关系求解．
本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：设z=a+bi(a,b都为实数)，
因为复数z满足2z−iz−=1，
所以2a+2bi−i(a−bi)=1，
即2a−b+(2b−a)i=1，
则2a−b=1，2b−a=0，
解得，b=13.
故选：A.
由已知结合复数的四则运算及复数的基本概念即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算及复数基本概念的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可知，x−=15×(1+2+3+4+5)=3，
y−=15×(6+6+a+3+1)=16+a5，
两变量x，y的经验回归方程为y =−1.3x+7.9，
则−1.3×3+7.9=16+a5，解得a=4.
故选：C.
先求出x，y的平均值，再结合线性回归方程的性质，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：圆锥的母线长为2，母线与底面所成角为π4，
所以底面圆的半径为r=2sinπ4= 2，
所以该圆锥的侧面积为S侧=π× 2×2=2 2π.
故选：C.
由题意求出圆锥底面圆的半径，再计算圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的结构特征应用问题，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：为保证调研结果的代表性，
设从该校去年招收的成渝地区学生中抽取n人，
则n2400=402400+2000+1400+1800+400，
则n=12，
即从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为C240012.
故选：C.
由分层抽样，结合组合问题求解．
本题考查了分层抽样，重点考查了组合问题，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(−x)=−f(x)，且f(0)=0，
又由f(x)满足f(x)+f(2−x)=0，即f(2−x)=−f(x)，
则有f(2−x)=f(−x)，变形可得f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，
故f(20)=f(0)=0.
故选：B.
根据题意，先分析函数的周期，由奇函数的性质可得f(0)=0，由此分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：直线l：(3λ+1)x+(λ+1)y−(4λ+2)=0，整理得λ(3x+y−4)+(x+y−2)=0，
由3x+y−4=0x+y−2=0，可得x=1y=1，
故直线恒过点A(1,1)，
点P(−1,0)到A(1,1)的距离dmax= (−1−1)2+(0−1)2= 5，
故kPA=1−01+1=12；
即直线l：(3λ+1)x+(λ+1)y−(4λ+2)=0的斜率k=−3λ+1λ+1，
故−3λ+1λ+1⋅12=−1，解得λ=1.
故选：B.
直接利用直线的方程和定点直线系以及点到直线的距离即可求解．
本题考查了直线的方程，定点的直线系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为α∈(0,π3)，
所以csα≠0，00，使得mx2+2x−1>0，即m>1−2xx2=(1x)2−2×1x=(1x−1)2−1，
即x=1时，1−2xx2的最小值为−1，
故m>−1；
所以命题“存在x>0，使得mx2+2x−1>0”为真命题的一个充分不必要条件是：{m|m>−1}的真子集，
结合选项可得，符合条件的答案为：CD.
故选：CD.
转化为m>1−2xx2，结合二次函数的性质求得m>−1；进而求解结论．
本题考查了不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：当λ>0时，原方程化为x2λ−y2λ2=1，
此时a2=λ，b2=λ2，c2=a2+b2=3λ2，
由e2=c2a2=32，可得e= 62；
当λ0b4>0−a4>0，∴b2+16a>0b>0a0)的最小正周期为π，
所以2π2ω=π，即ω=1，所以f(x)= 3sin(2x+π3)，
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z).
(2)因为f(A)= 3sin(2A+π3)=32，所以sin(2A+π3)= 32，解得A=π6，
因为AB⋅AC=bccsA= 32bc=2 3，所以bc=4，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA得：5=b2+c2−4 3，
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=13+4 3=(2 3+1)2，
所以b+c=2 3+1，
则△ABC的周长为a+b+c=2 3+1+ 5.
【解析】(1)依题意求出ω的值，再将2x+π3代入正弦函数的单调递增区间中，即可求出函数f(x)的单调递增区间；
(2)求出A的值，由条件结合余弦定理可求三角形的周长．
本题考查了正弦函数的性质，考查了余弦定理的应用，考查了整体思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意得(0.01+0.03+a+0.06+a+0.02)×5=1，
解得a=0.04，
(0.008+0.02+b+0.04+0.06+0.04)×5=1，
解得b=0.032；
(2)供暖器的噪声不超过25分贝的概率为0.05，其热效率不低于90%的概率为0.3+0.2=0.5，
每1件供暖器噪声和热效率符合题意的概率为0.5×0.05=0.025，
∴抽2件中恰有1件符合题意的概率为C21×0.025×0.975=0.04875；
(3)∵x∈[90,100]，
∴x−502∈[20,25]，则p1=0.01×x−902=0.005x−0.45，
当x∈[90,95),p2=(95−x)×0.06+0.2=5.9−0.06x,
∴p1+p2=5.45−0.055x，则p1+p2∈(0.225,0.5],
当x∈[95,100]，p2=(100−x)×0.04=4−0.04x，
∴p1+p2=3.55−0.035x，则p1+p2∈[0.05,0.225]，
∴p1+p2的取值范围是[0.05,0.5].
【解析】(1)直接根据频率分布直方图的性质求解即可；
(2)利用二项分布的概率公式求解即可；
(3)分别求出p1，p2，可得p1+p2=3.55−0.035x，再根据x∈[90,100]即可求解．
本题考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)圆D化为标准方程(x+1)2+y2=89，
则圆心D(−1,0)，半径为 89，
设EF与x轴交于点G，如图，
∵圆D和抛物线C都关于x轴对称，则E，F两点也关于x轴对称，|EF|=16，
∴在Rt△EGD,EG=8,DE= 89，∴DG=5，则OG=4，
∴抛物线C过点(4,8)，即82=2p×4，则p=8，
则抛物线C方程为y2=16x；
(2)由 4x+3y−16=0y2=16x，解得点A(1,4)，B(16,−16)，则|AB|=25，
设动点M(y0216,y0)(y0≠−4,−16)，
则直线MA的斜率为16y0+4，直线MA:y=16(x−1)y0+4+4，
直线MB的斜率为16y0−16，直线AN:y=16y0−16(x−1)+4，
将抛物线C代入直线AN得y2−(y0−16)y−16+4(y0−16)=0，
解得点N((y0−20)216,y0−20)，则直线BN的斜率为16y0−36，
∴直线BN:y=16(x−16)y0−36−16，
①联立y=16(x−1)y0+4+4y=16(x−16)y0−36−16，
消去y0，化简得y2+6y−32=8x，
又点P在直线l的左边，则4x+3y−16